高中数学 模块综合测评(含解析)新人教A版高二选修2-3数学试题

模块综合测评
(时间:120分钟满分:100分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图,从A地到B地要经过C地和D地,从A地到C地有3条路,从C地到D地有2条路,从D地到B地有4条路,则从A地到B地不同走法的种数是( )
A.9
B.24
C.3
D.1
解析:由分步乘法计数原理得,不同走法的种数是3×2×4=24.
答案:B
2.设随机变量ξ~N(0,1),P(ξ>1)=p,则P(-1<ξ<0)等于( )
A.p
B.1-p
C.1-2p
D.-p
解析:∵P(ξ>1)=p且对称轴为ξ=0,知P(ξ<-1)=p,
∴P(-1<ξ<0)=-p.
答案:D
3.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=1,2,…,则P(2<X≤4)为( )
A. B. C. D.
解析:由已知P(2<X≤4)=.
答案:A
4.在一次独立性检验中,得出列联表如下:
合
A
计
B
2
00
8
00
10
00
1
80 a
18
0+a
合计
3
80
8
00+a
11
80+a
且最后发现,两个分类变量A和B没有任何关系,则a的可能值是( )
A.200
B.720
C.100
D.180
解析:A和B没有任何关系,也就是说,对应的比例基本相等,根据列联表可得
基本相等,检验可知,B选项满足条件.
答案:B
5.从装有3个黑球和3个白球(大小、形状、质地都相同)的盒子中随机摸出3个球,用ξ表示摸出的黑球个数,则P(ξ≥2)的值为( )
A. B. C. D.
解析:根据条件,摸出2个黑球的概率为,摸出3个黑球的概率为,故
P(ξ≥2)=.
答案:C
6.在4次独立重复试验中,随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率,则事件A在一次试验中发生的概率的取值X围是( )
A.[0.4,1)
B.(0,0.6]
C.(0,0.4]
D.[0.6,1)
解析:设事件A发生一次的概率为p,则事件A的概率可以构成二项分布,根据独立重复试验的概率公式可得p(1-p)3≤p2(1-p)2,即可得4(1-p)≤6p,p≥0.4.又0<p<1,故
0.4≤p<1.
答案:A
7.某种动物活到20岁的概率是0.8,活到25岁的概率是0.4,则现龄20岁的这种动物活到25岁的概率是( )
A.0.32
B.0.5
C.0.4
D.0.8
解析:记事件A表示“该动物活到20岁”,事件B表示“该动物活到25岁”,由于该动物只有活到20岁才有活到25岁的可能,故事件A包含事件B,从而有P(AB)=P(B)=0.4,
所以现龄20岁的这种动物活到25岁的概率为P(B|A)==0.5.
答案:B
8.小明,小光,小亮,小美,小青和小芳6人拍合影,要求小明必须排在从右边数第一位或第二位,小青不能排在从右边数第一位,小芳必须排在从右边数第六位,则不同的排列种数是( )
A.36
B.42
C.48
D.54
解析:第一类,若小明排在从右边数第一位有种排法;若小明排在从右边数第二位,则有种排法,所以不同的排列种数是=42.
答案:B
9.设a为函数y=sin x+cos x(x∈R)的最大值,则二项式的展开式中含x2项的系数是( )
A.192
B.182
C.-192
D.-182
解析:由已知a=2,则T k+1=(a)6-k·=(-1)k a6-k·x3-k.
令3-k=2,则k=1,含x2项的系数为-×25=-192.
答案:C
10.某大楼安装了5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁,在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒.如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是( )
A.1205秒
B.1200秒
C.1195秒
D.1190秒
解析:共有=120个闪烁,119个间隔,每个闪烁需用时5秒,每个间隔需用时5秒,故共需要至少120×(5+5)-5=1195(秒).
答案:C
11.某人抛掷一枚硬币,出现正、反面的概率都是.构造数列{a n},使
a n=记S n=a1+a2+a3+…+a n,则S2=2且S8=2时的概率为( )
A. B. C. D.
解析:当前2次同时出现正面时,S2=2,要使S8=2,则需要后6次出现3次反面,3次正面,相
应的概率为P=.
答案:D
12.用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法共有( )
A.288种
B.264种
C.240种
D.168种
解析:先涂A,D,E三个点,共有4×3×2=24种涂法,然后再按B,C,F的顺序涂色,分为两类:一类是B与E或D同色,共有2×(2×1+1×2)=8种涂法;另一类是B与E与D均不同色,共有1×(1×1+1×2)=3种涂法.所以涂色方法共有24×(8+3)=264种.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
13.一台机器生产某种产品,如果生产出一件甲等品可获利50元,生产出一件乙等品可获利30元,生产出一件次品,要赔20元,已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1,则这台机器每生产一件产品平均预期可获利元.
解析:50×0.6+30×0.3-20×0.1=37(元).
答案:37
14.已知随机变量ξ~B(n,p),若E(ξ)=4,η=2ξ+3,D(η)=3.2,则P(ξ=2)=.
解析:由已知np=4,4np(1-p)=3.2,∴n=5,p=0.8,
∴P(ξ=2)=p2(1-p)3=.
答案:
15.(x-y)4的展开式中x3y3的系数为.
解析:T r+1=(x)4-r·(-y)r=···(-1)r.由已知4-=3,2+=3,
∴r=2.∴x3y3的系数为(-1)2=6.
答案:6
16.1号箱中有同样的2个白球和4个红球,2号箱中有同样的5个白球和3个红球,现随机地从1号箱中取出1球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出1球,则从2号箱中取出红球的概率是.
解析:“从2号箱中取出红球”记为事件A,“从1号箱中取出红球”记为事件B,则
P(B)=,
P()=1-P(B)=,P(A|B)=,
P(A|)=.
故P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=.
答案:
三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(12分)已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于的展开式的常数项,且(a2+1)n的展开式中系数最大的项等于54,求a的值.
分析:首先根据条件求出指数n,再使用二项式展开的通项公式及二项式系数的性质即可求出结果.
解:的展开式的通项为T r+1=,
令20-5r=0,得r=4,故常数项T5==16.
又(a2+1)n展开式的各项系数之和等于2n,
由题意知2n=16,得n=4.
由二项式系数的性质知,(a 2+1)4展开式中系数最大的项是中间项T3,故有a4=54,解得a=±.
18.(12分)研究某特殊药物有无副作用(比如服用后恶心),给50个患者服用此药,给另外50个患者服用安慰剂,记录每类样本中出现恶心的数目如下表:
有恶心
无
恶心
合
计
服用药物
1
5
3
5
5
服用
安慰剂4
4
6
5
合计
1
9
8
1
1
00
试问此药物有无恶心的副作用?
分析:根据列联表中的数据代入公式求得K2的观测值,与临界值进行比较判断得出相应结论.
解:由题意,问题可以归纳为独立检验假设H 1:服该药物(A)与恶心(B)独立.为了检验假设,
计算统计量K2的观测值k=≈7.86>6.635.
故拒绝H1,即不能认为药物无恶心副作用,也可以说,在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为该药物有恶心的副作用.
19.(12分)某5名学生的总成绩与数学成绩如下表:
学生 A B C D E
总成绩(x)
4
82
3
83
4
21
3
64
3
62
数学成绩(y)
7
8
6
5
7
1
6
4
6
1
(1)画出散点图;
(2)求数学成绩对总成绩的回归方程;
(3)如果一个学生的总成绩为450分,试预测这个学生的数学成绩(参考数
据:4822+3832+4212+3642+3622=819794,482×78+383×65+421×71+364×64+362×61=137760).
分析:利用回归分析求解.
解:(1)散点图如图所示:
(2)设回归方程为x+,
=≈0.132,
-0.132×=14.6832,
所以回归方程为=14.6832+0.132x.
(3)当x=450时,=14.6832+0.132×450=74.0832≈74,即数学成绩大约为74分.
20.(12分)现有甲、乙两个项目,对甲项目每投资10万元,一年后利润是1.2万元、1.18
万元、1.17万元的概率分别为;已知乙项目的利润与产品价格的调整有关,在每次调整中价格下降的概率都是p(0<p<1),设乙项目产品价格在一年内进行2次独立的调整,记乙项目产品价格在一年内的下降次数为ξ,对乙项目每投资10万元,ξ取0,1,2时,一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元.随机变量ξ1,ξ2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润.
(1)求ξ1,ξ2的概率分布和数学期望E(ξ1),E(ξ2);
(2)当E(ξ1)<E(ξ2)时,求p的取值X围.
分析:先列出分布列再求期望.
解:(1)ξ1的概率分布为
ξ11
.2
1.
18
1
.17
P
E(ξ1)=1.2×+1.18×+1.17×=1.18.由题设得ξ~B(2,p),即ξ的概率分布为
ξ0 1 2
P (
1-p) 2
2
p(1-p
)
p
2
故ξ2的概率分布为
ξ21
.3
1
.25
.2
P (
1-p) 2
2
p(1-p
)
p
2
所以ξ2的数学期望为
E(ξ2)=1.3×(1-p)2+1.25×2p(1-p)+0.2×p2=1.3×(1-2p+p2)+2.5×(p-p2)+0.2×p2=-p2-0.1p +1.3.
(2)由E(ξ1)<E(ξ2),得-p2-0.1p+1.3>1.18,整理得(p+0.4)(p-0.3)<0,解得-0.4<p<0.3.
因为0<p<1,所以当E(ξ1)<E(ξ2)时,p的取值X围是0<p<0.3.
21.(12分)为振兴旅游业,某省面向国内发行总量为2000万X的优惠卡,向省外人士发行的是金卡,向省内人士发行的是银卡.某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省旅游,
其中是省外游客,其余是省内游客.在省外游客中有持金卡,在省内游客中有持银卡.
(1)在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率;
(2)在该团的省内游客中随机采访3名游客,设其中持银卡人数为随机变量ξ,求ξ的分布列及均值E(ξ).
分析:先计算出省外、省内的游客人数,及持有金卡、银卡的人数,再运用概率知识求解.
解:(1)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡.
设事件B为“采访该团3人中,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”,事件A1为“采访该团3人中,1人持金卡,0人持银卡”,事件A2为“采访该团3人中,1人持金卡,1人持银卡”.
P(B)=P(A1)+P(A2)
=.
所以在该团中随机采访3人,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是.
(2)ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,
P(ξ=2)=,P(ξ=3)=.
所以ξ的分布列为
ξ0 1 2 3
P
所以E(ξ)=0×+1×+2×+3×=2.
22.(14分)某企业准备投产一批特殊型号的产品,已知该种产品的成本C与产量q的函数关
系式为C=-3q2+20q+10(q>0).
该种产品的市场前景无法确定,有三种可能出现的情形,各种情形发生的概率及产品价格p 与产量q的函数关系式如下表所示:
市场情形
概
率
价格p与产量q的函数关系式
好
.4
p=164-3q
中
.4
p=101-3q
差
.2
p=70-3q
设L1,L2,L3分别表示市场情形好、中、差时的利润,随机变量ξq表示当产量为q而市场前景无法确定时的利润.
(1)分别求利润L1,L2,L3与产量q的函数关系式;
(2)当产量q确定时,求均值E(ξq);
word
(3)试问产量q取何值时,E(ξq)取得最大值.
分析:本小题主要考查均值、利用导数求多项式函数最值等基础知识,考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的能力.
解:(1)由题意可得
L1=(164-3q)·q-
=-+144q-10(q>0).
同理可得L2=-+81q-10(q>0),
L3=-+50q-10(q>0).
(2)由均值定义,可知
E(ξq)=0.4L1+0.4L2+0.2L3=0.4×+0.4×+0.2×
=-+100q-10.
(3)由(2)可知E(ξq)是产量q的函数,
设f(q)=E(ξq)=-+100q-10(q>0),得f'(q)=-q2+100.
令f'(q)=0,解得q=10,q=-10(舍去).
由题意及问题的实际意义(或当0<q<10时,f'(q)>0;当q>10时,f'(q)<0),可知当q=10时,f(q)取得最大值,即E(ξq)最大时,产量q为10.
- 11 - / 11。