专题13 幂的运算（含答案）

专题13 幂的运算
知识解读
1.幂的运算法则的正向运用
同底数幂的乘法：m a ·n a m n a +=（m ，n 为正整数）；幂的乘方：()m n mn a a =（m ，n 为正整数）； 积的乘方：()m m m ab a b =（m ，n 为正整数）；同底数幂的除法：m a ÷n a m n a -=（a ≠0，m ，n 为正整数，m >n ）
2.幂的运算法则的逆向运用
在解决一些问题时，常常根据题目需要，逆向运用幂的相关法则，以退为进，求得突破。

3.幂的运算法则的综合运用
一个算式中往往含有多个幂的运算，此时需要理清运算顺序，再准确地运用运算法则计算.
培优学案
典例示范
1.幂的运算法则的正向运用
例1 计算：（1）22()(b )a b c a c -+--=________________； （2）23(9)3n n +⨯-⨯＝________________；
（3）2
()()n n
a b b a ⎡⎤--⎣⎦＝________________；
【提示】（1）b －a －c ＝－（a －b ＋c ）；（2）－9＝－23-；（3）22()()n n b a a b -=-. 【技巧点评】
利用相反数或幂之间的关系，将非同底数的幂转化为同底数的幂，便于运用公式计算。

【跟踪训练1】
计算：（1）3()x y -·2()y x -·5()y x -；
（2）3
()m a b ⎡⎤-⎣⎦·2
()m
b a ⎡⎤-⎣⎦.
2.幂的运算法则的逆向运用
例2（1）已知m a ＝4，n a ＝8，则3m n a ++＝________； （2）若x ＝－2，y ＝
1
2
，则2x ·212()n n x y +＝________；
（3）若m 为正整数，且2m x ＝3，求32223()13()m m x x -的值； （4）比较大小：4442，3333，2225.
【提示】（1）3m n a ++＝m a ·n a ·3a ；（2）2x ·212()n n x y +＝22n x +·22n y +＝22()n xy +；
（3）32223()13()m m x x -＝643()13()m m x x -＝23223()13()m m x x -；（4）4442＝4111(2)，3333＝3111(3)，
2225＝2111(5).
【解答】
【技巧点评】…
幂的运算法则反过来： m n a +＝m a ·n a ； ()mn m n a a =；()m m m a b ab =（m ，n 为正整数）；m n a -=m a ÷n a （a ≠0，m ，n 为正整数，m >n ）.要根据题目特点，灵活地正向或反向运用法则，巧
妙解题。

【跟踪训练2】
（1）已知4m a =，4n b =，则214m n +-=_____________.
（2）已知3a x =，6b x =，18c x =，试问a ，b ，c 之间有怎样的关系？请说明理由.
3.幂的运算法则的综合运用
例3 （1）计算5132212332()()()n n m n m m a a b a b b -+---+--； （2）若a m ＝3，b m ＝
1
6
，求（ab ）2m 的值. 【提示】（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减；（2）（ab ）2m ＝a 2m b 2m ＝（am ）2（bm ）2. 【解答】
【技巧点评】
按照运算顺序，正确运用幂的运算法则进行计算
【跟踪训练3】
计算：（1）[3（m＋n）2]3[－2（m＋n）3]2；
（2）（－a2b）3－（a3）2b3－（－a4）·（ab）2·（－3b）；
（3）81m×27m－92×9m×35m－4.
【解答】
培优训练
直击中考
1.★（2017·重庆）计算x6÷x2正确的是（）
A.3
B.x3
C.x4
D.x8
2.★（2017·四川成都）下列计算正确的是
A.a5＋a5＝a10
B.a7÷a＝a6
C.a3·a2＝a6
D.(－a3)2·a2＝－a6
3.★（2017·山东济宁）计算（a2）3＋a2·a3－a2÷a－3的结果为（）
A.2a5－a
B.2a5－1
a
C.a5
D.a6
4.★计算：（1）（2017·江苏苏州）（a2）2＝ .
（2）（2017·天津）x7÷x4＝ .
（3）（2016·四川成都）（－x3y）2＝ .
5.★（2016·黑龙江大庆）若a m＝2，a n＝8，则a m－n＝ .
6.★（1）已知78＝a，87＝b，则5656＝ .（用含a，b的式子表示）
（2）已知2x＋3y－4＝0，则9x·27y＝ .
挑战竞赛
1.★★（江苏省竞赛试题）若x＝x n＋1＋2n，y＝2n－1＋2n－2，其中n为整数，则x与y的数量关系为（）
A.x＝4y
B.y＝4x
C.x＝12y
D.y＝12x
2.★★（希望杯试题）计算：
199820002000
20002000
73+15
37+35
⎛⎫
⨯
⎪
⎝⎭
＝ .
3.★★★（希望杯试题）设a，b，c，d为正整数，且a7＝b6，c3＝d2，c－a＝17，则d－b＝ .
4.★★★（希望杯试题）十进制的自然数可以写成2的方幂的降幂的多项式，如：
19（10）＝16＋2＋1＝1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝10011（2），即十进制的数19对应二进制的数10011.按照上述规则，十进制的数413对应二进制的数是 .。