2012-高三下学期综合测试题数学(理)3.pdf

2012—2013学年度下学期高三二轮复习
数学（理）综合验收试题（3）【新课标】
本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

参考公式：
锥体的体积公式：V=Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高。

如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）；如果事件A,B独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）。

第I卷（共60分）
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若复数满足（为虚数单位）,则为（ ）
A．B．C．D．
2．已知变量、满足约束条件,则的最大值为（ ）
A．12B．11C．3D．
3．设a,b是两个非零向量（ ）
A．若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b
B．若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b|
C．若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得a=λb
D．若存在实数λ,使得a=λb,则|a+b|=|a|-|b|
4．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是（ ）
5．如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A．B．
C．D．
6．已知等差数列{an}的公差d不为0，等比数列{bn}的公比q是小于1的正有理数。

若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于（ ）
A．B．
C．D．
7．右图是一个算法的程序框图，该算法所输出的结果是（ ）
A．B．
C．D．
8．设,且,若能被13整除,则（ ）
A．0B．1
C．11D．12
9．等腰直角三角形ABC中，斜边BC=，一个椭圆以C为其焦点，另一个焦点在线段AB上，且椭圆经过A，B两点，则该椭圆的标准方程是（焦点在x轴上） （ ）
A． B．
C． D．
10．随机事件A和B，“成立”是“事件A和事件B对立”的（ ）条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．即不充分也不必要
11．设是正数,且,,,则
（ ）
A．B．C．D．
12．已知A与B是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为A∩B空集。

若n∈A时总有2n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为（ ）
A．62 B．66C．68D．74
第Ⅱ卷（共90分）
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13．已知函数，则f（x）的最小值为 ；
14．设命题:，命题: 对任何R，都有，命题且为假，P或Q为真，则实数的取值范围是 。

15．在△ABC和△AEF中，B是EF的中点，AB=EF=1，BC=6，，若，则与的夹角的余弦值等于 ；
16．观察下列不等式
，
……
照此规律，第五个不等式为 ．
三．解答题：
17．（本小题满分12分）
已知向量，，且
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）求函数的最小值，并求此时x的值
18． （本小题满分12分）
已知数列{an}的前n项和,且Sn的最大值为8．
（Ⅰ）确定常数k,求an；
（Ⅱ）求数列的前n项和Tn
19．（本小题满分12分）
如图所示几何体为组合体，由正三棱柱和三棱锥组成。

正三棱柱中，，；三棱锥中，，且。

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角平面角的正切值；
（Ⅲ）求点到平面的距离。

20．（本小题满分12分）
现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率:
（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率:
（Ⅲ）用分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望．
21．（本小题满分13分）
椭圆：（）的左、右焦点分别为、，右顶点为，为椭圆上任意一点．已知的最大值为，最小值为．
（Ⅰ） 求椭圆的方程；
（Ⅱ） 若直线：与椭圆相交于、两点（、不是左右顶点），且以 为直径的圆过点．求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
22． （本小题满分14分）设函数，已知 ，且（a∈R，且a≠0），函数（b∈R，c为正整数）有两个不同的极值点，且该函数图象上取得极值的两点A、B与坐标原点O在同一直线上。

（Ⅰ）试求a、b的值；
（Ⅱ）若时，函数的图象恒在函数图象的下方，求正整数的值。

参考答案
一．选择题
1．A；2．B；3．C；4．D；5．C；6．C；7．C；8．D；9．A；10． C； 11．C；12．B；
二．填空题
13．；14． 或 ；15．；16．；
三．解答题
17．解析：（Ⅰ）∵ ∴
∴　0≤≤2 4分
（Ⅱ）∵ ∴　；…………6分
∵
………………10分
∴　当，即或时，取最小值－。

……………………12分
18．解: （Ⅰ）当时,取最大值,即,故,
……………………2分
从而,又,所以 …………………4分
（Ⅱ）因为,
……………………………………………8分
所以 ………………12分
19．解法一：
（Ⅰ）在中，，，
∴，取中点，
， ，
在中，，，又均为锐角，∴， ---------------2分
，又外， ． ---------------4分
（Ⅱ）∵平面平面，∴，过作于，连结，则， 为二面角的平面角， ------------------------6分
易知=，∴，
二面角的平面角的正切值为－ ------------------------8分
（Ⅲ），点到平面的距离，就是到平面的距离，-------------------------------9分
过作于，则，的长度即为所求， 由上 （或用等体积求）----------------------------------12分
解法二：
如图，建立图示空间直角坐标系．
则，，，，．
（Ⅰ）
（Ⅱ）利用，其中分别为两个半平面的法向量，
或利用求解．
（Ⅲ）利用，其中为平面的法向量。

20．解析：依题意,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为．设“这4个人中恰有人去参加甲游戏”为事件,则． …………………………………………………………2分
（Ⅰ）这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为． …………4分
（Ⅱ）设“这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件,则,由于与互斥,故
所以这4人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为．………………6分
（Ⅲ）的所有可能的取值为,由于与互斥,与互斥,故
………………8分
所以的分布列为:
024………………10分
随机变量的数学期望．………………12分
21．解析：（Ⅰ） 是椭圆上任一点,且，
……………………2分
当时，有最小值；当或时, 有最大值．
， ， ．
椭圆方程为。

……………………6分
（Ⅱ）　设，，将代入椭圆方程得
．
………………7分
，，，
为直径的圆过点，，
或都满足，……………………10分
若直线恒过定点不合题意舍去，
若直线：恒过定点。

………………13分
22．解析：（Ⅰ），∴ ①
又，∴，即 ②
由①②得，．又时，①、②不成立，故．------2分
∴，设x1、x2是函数的两个极值点，则x1、x2是方程=0的两个根，，
∴x1+x2=，又∵ A．O、B三点共线，=，
∴=0，又∵x1≠x2，∴b=x1+x2=，∴b=0． ----------------6分
（Ⅱ）时，， -----------------------7分
由得，可知在上单调递增，在
上单调递减， ． ---------------------9分
①由得的值为1或2．（∵为正整数） -----------------11分
②时，记在上切线斜率为2的切点的横坐标为，
则由得，依题意得，
得与矛盾．
（或构造函数在上恒正）
综上，所求的值为1或2． -----------------------13分
1,3,5。