攀枝花市七中高2011届四月月考理科试题

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攀枝花市七中高2011届四月月考理科试题
命题人：李黎明 审题人：孔荣
一、选择题：
1．如果复数i m m m m )65()3(2
2
+-+-是纯虚数，则实数m 的值为 A ．0
B ．2
C ．0或3
D ．2或3
2．若集合{|2,}x
M y
y x R ==∈,{|1}P y y x ==≥, 则M P ⋂=
A ． {|1}y y >
B ． {|1}y y ≥
C ． {|0}y y >
D ． {|0}y y ≥ 3.已知命题p 、q ,“非p 为真命题”是“p 或q 是假命题”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知函数),0,0)(sin(πϕπωϕω≤≤->>+=A x A y 一个周期的图象（如图），则这个函数的一个解析式为（ A ．32sin(22
y x π
=+
B ．2sin(3)6
y x π
=+
C. 2sin(3)6y x π
=-
D ．2sin(3)2
y x π
=-
5．设常数0a >，2
4(ax 展开式中3x 的系数为3
2，则23lim()n n a a a a →∞+++
+=
A .
B .
C . 2
D . 1
6. 有下列四个命题：
①在空间中，若B O A AOB B O OB A O OA '''∠=∠'''则,//,//； ②直角梯形是平面图形；
③{正四棱柱}⊆{直平行六面体}⊆{长方体}；
④在四面体P ABC -中，AC PB BC PA ⊥⊥,，则点A 在平面PBC 内的射影恰为
PBC ∆的垂心，其中逆否命题为真命题的个数是
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
7. 若()m
f x x ax =+的导函数为()21f x x '=+，则数列1
{
}(*)()n N f n ∈的前n 项和为 A ．
1
n n + B ．
2
1
n n ++ C ．1n n - D ．1
n n
+
8．从8名学生（其中男生6人，女生2人）中按性别用分层抽样的方法抽取4人参加接力比赛，若女生不排在最后一棒，则不同的安排方法种数为
A ．1440
B ．960
C ．720
D ．360
9．已知椭圆的一个焦点为F ，若椭圆上存在点P ，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF 相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为
A ．
3 B ．23 C ．2 D ．5
9
10．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨。

销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是
A ．12万元
B ．20万元
C ．25万元
D ．27万元 11．A ，B ，C 三点在半径为1的球O 面上，,A B 及,A C 的球面距离均为
2
π
，且OA 与平
面ABC B OA C --的大小为 A ．
6
π B ．
4π C ．
3π D ．2
π 12．已知()f x 是定义在R 上的函数，对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +=+，若函数
(1)f x -的图象关于直线1x =对称，且(1)2f =，则(2011)f 等于
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
二、填空题：
13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则数列{}n a 的公差d = . 14．若正数x 、y 满足2
2
1x y +=，则2x y +的最大值为________．
15．直线0l y --=与抛物线2
4y x =相交于A 、B 两点，与x 轴相交于点F ，若
()OF OA OB λμλμ=+≤，则
λ
μ
= ． 16．非空集合G 关于运算⊕满足：①对于任意a 、b ∈G ，都有a b ⊕G ∈；②存在G e ∈，使对一切G a ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为和谐集，现有下列命题：
①G ={,a bi a b +为偶数}，⊕为复数的乘法，则G 为和谐集；
②G ={二次三项式}，⊕为多项式的加法，则G 不是．．
和谐集； ③若⊕为实数的加法，G R ⊆且G 为和谐集，则G 要么为{0}，要么为无限集； ④若⊕为实数的乘法，G R ⊆且G 为和谐集，则G 要么为{0}，要么为无限集， 其中正确的有____________． 三、解答题：
17．（本小题满分12分）
在ABC △中，内角A B C ，，分别对应的边是a b c ，，，已知2c =，3
C π
=．
（Ⅰ）若ABC △，求a b ，；
（Ⅱ）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC △的面积． 18．（本小题满分12分）
为了缓解高考压力，某中学高三年级成立了文娱队，每位队员唱歌、跳舞至少会一项，其中会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人,设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且3(0)10
P ξ==
（Ⅰ）求文娱队的人数；（Ⅱ）求ξ的分布列并计算E ξ． 19．（本小题满分12分）
已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，AB CD ∥，1
12
AB CD =
=，90BAD ∠=︒，PAD ∆为正三角形，且面PAD 丄面ABCD ，异面直线PB 与AD 所成的
E 为PC 的中点．
（Ⅰ）求证：BE ∥平面PAD ； （Ⅱ）求点B 到平面PCD 的距离；
（Ⅲ）求平面PAD 与平面PBC 相交所成的锐二面角的大小．
20．（本小题满分12分）
已知数列{}n a ，{}n b 满足1
12,21,1n n n n n a a a a b a +==+=-，数列{}n b 的前n 项和为
2,n n n n S T S S =-．
（Ⅰ）求证数列⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n b 1是等差数列，并求数列{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）求证：1n n T T +>；
21．（本小题满分12分）
已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆短轴的两个端点与两个焦点围成正方形，右准线与x 轴的交点为E ，右焦点为2F ，且2||1F E =． (Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ) 若过2F 的直线交椭圆于,A B 两点，且OA OB +
与向量(1,4
-共线（O 为坐标原点），求OA 与OB 的夹角．
22．（本小题满分14分）
记1()log (0,1)1a
x
f x a a x
+=>≠-，()g x 是()f x 的反函数． （Ⅰ）若关于x 的方程：2log ()(1)(255)
a
t
f x x x x =--+在[0,1)x ∈上有实数解，求实数
t 的取值范围；
（Ⅱ）当a e =（e 是自然对数的底数）时，记()()(0)2
x
h x g x x =-≥，求函数()h x 的最大值；
（Ⅲ）当1a >时，求证：
1
ln ()2(1)
n
k k a g a a -=<
-∑（*
n N ∈）．
理科参考答案及评分标准
ACBDD BACAD CA 13．3；14．5；15．1
3
；16．②③ 三、解答题：
17．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，2
2
4a b ab +-=，
又因为ABC △
，所以
1
sin 2
ab C =4ab =． 2分
联立方程组2244a b ab ab ⎧+-=⎨=⎩，
，
解得2a =，2b =． 6分
（Ⅱ）由题意得sin()sin()4sin cos B A B A A A ++-=， 即sin cos 2sin cos B A A A =，
当cos 0A =时，2A π=，6
B π
=
，3a =
3b =， 8分
当cos 0A ≠时，得sin 2sin B A =， 由正弦定理得2b a =，
联立方程组2242a b ab b a ⎧+-=⎨=⎩
，，
解得3a =
3b =． 10分
所以ABC △
的面积1sin 23
S ab C =
=． 12分 18．解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有(7)x -人，那么只会一项的人数
是(72)x -人. （1）3
10(0)P ξ∴==，即27227310
x x C C --=，…………………3分
(72)(62)3,2(7)(6)10x x x x x --∴=∴=--. 故文娱队共有5人.………………6分
（2）11233
310
525(0),(1)C C P P C ξξ⋅=====，2
21
10
25
(2)C P C ξ===……………8分 ξ的分布列为
…………………………10分
3314
105105012E ξ∴=⨯+⨯+⨯= …………………………………………12分
20．解：（1）由1n n b a =-，得1n n b a =-，代入121n n n a a a +=+，
得12(1)1(1)(1)n n n b b b ++=+++，
整理，得110n n n n b b b b +++-=,从而有
1111n n
b b +-=，111211b a =-=-=，
1n b ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭
是首项为1，公差为1的等差数列，1
n n b ∴=，即1
n
b n
=
．…………………5分 （2）
1
112
S n n =+++
， 21
1
11
2
2n n n
T S S n n n
∴=-=++
+++，
11111123
22122
n T n n n n n +=
+++
++++++， 1111111
021********
n n T T n n n n n n +-=
+->+-=++++++，()2122n n +<+
∴1n n T T +>． ………………………………………………12分
22．解：（Ⅰ）由条件可知：2
(1)(255)t x x x =+-+，在[0,1)x ∈上有解．
'6(1)t x x =-，当[0,1)x ∈时，'()0t x <，所以()t x 在[0,1)上单调递减．
(1)()(0)t t x t <≤，即45t <≤． ……………………………………4分
（Ⅱ）()f x 的定义域为（-1，1），1
1
()()()1
x x a gx
f x x R a --==∈+，
当a e =时，1()(0)12
x x
e x h x x e -=-≥+，所以2'
2(1)()02(1)x x e h x e --=≤+， 所以()h x 在[0,)+∞上单调递减。

所以，0x ≥时，max ()(0)0h x h ==；…………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）的启示可以设ln ()(),(0)2
a
G x g x x x =-
≥ 则2'
'
2
ln (1)ln ()()02(1)x x a a a
G x g x a --=-=≤+， 所以()G x 在[0,)+∞上单调递减， 当0x >时，()(0)0G x G <=，即ln ()2
a
g x x <
所以21
1
1ln 111ln ln ()(...).2212(1)n n k n k a a a a g a a a a a a -=-
<+++=<--∑．……………… 14分。