立体几何求体积

立体几何求体积
一、求体积的方法常见有如下三种：
1、公式法：利用公式求出简单几何体体积。

2、等体积转化法：从不同的角度看待原几何体，通过改变顶点和底面，利用体积不变的原理，求原几何体的体积。

（一般指
三棱锥，找高优先）
3、割补法：对于给出的一个不规则的几何体，不能直接套用公式，常常需要通过“割”或“补”化复杂图形为已熟知的简单几何
体，并作体积的加、减法，从而较快地找到解决问题的突破口。

（注：“一找二证三求”的顺序和原则。

）
例1、在正四面体P ABC中,PA a,求此正四面体的体积.
例2、三棱柱ABC A'B'C'的体积是36，点M 在侧棱CC '上，求四棱锥M ABB 'A'的体积
A'
C'
B'
M
A C
B
例3、若ABCD －A 1B1C1D1 是棱长为a的正方体，E,F 分别是棱 A 1A 与CC1 的中点，求四棱锥C1-EB1FD 的体积。

例4、(10 安徽) 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2 ，
EF∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC 的中点，
(1)求证：FH∥平面EDB; （2）求证：AC⊥平面EDB; （3）求四面体B—DEF 的体积；
E F
D
C
H
A B 1
ABCDEFG 为多面体，平面ABED 与平面AGFD 垂直，点O在线段AD 上，
例5、(11 安徽) 如图，
OA 1,OD 2, VOAB , △O AC，△ODE ，△O DF 都是正三角形。

（1）证明直线BC ∥EF ；（2）求棱锥F-OBED的体积。

例6、(13·安徽)如图，四棱锥P－ABCD 的底面ABCD 是边长为 2 的菱形，∠BAD ＝60°.已知PB＝PD＝2，PA＝ 6.
(1)证明：PC⊥BD；(2)若E 为P A的中点，求三棱锥P－BCE 的体积．
例7、(辽宁卷)已知点P，A，B，C，D 是球O 表面上的点，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD 是边长为 2 3的正方形．若PA＝2 6，求△OAB 的面积．
例8、(13·广东)如图1，在边长为 1 的等边三角形ABC 中，D，E 分别是AB，AC 上的点，AD＝AE，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G.将△ABF 沿AF 折起，得到如图 2 所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝ 2
.
2
2
时，求三棱锥F－DEG 的体积V
(1)证明：DE∥平面BCF；(2)证明：CF⊥平面ABF；(3)当AD＝F-DEG.
3
2
练习：
1、求侧棱长为2，底面边长为 3 的正三棱锥的体积。

2、在边长为a的正方体ABCD A B C D 中，M，N，P分别是棱A1 B1，A1D1，A1A上的点，且满足
1 1 1 1
1 3
A M A
B ，A1N 2ND1，A1P A1A（如图1），试求三棱锥A1 MNP 的体积．
1 1 1
2 4
3、已知三棱锥P ABC，其中PA 4, PB PC 2, APB APC BPC 60
求：三棱锥P ABC的体积。

P
C
D A H
B
4、如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，E，F 分别为AB，AC 的中点，平面EB1C1F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比
3
5、如图，是一个平面截长方体的剩余部分，已知AB 4, BC 3, AE 5, BF 8, C G 12 ，
G 求几何体ABCD EFGH 的体积。

H
F
D
C
E
B
A
6、四面体S ABC 的三组对棱分别相等，且依次为 2 5, 13 ,5 ，求四面体S ABC 的体积。

S
C
A
B
7、如图, 在直三棱柱ABC －A 1B1C1 中，AC ＝3，BC＝4，A B 5，AA 1＝4，点 D 是AB 的中点.
求多面体ADC A1B1C1 的体积.
B B
1
D
C 4
C
1
A A
1。