20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题2.10 函数的综合运用(解析版)

第十讲 函数的综合运用
考向一 新概念题
【例1】对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2－a
b ，a ≤b ，b 2
－ab ，a >b .
设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．
【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－316，0
【解析】 函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x 2－x ，x ≤0，
－x 2＋x ，x >0的图象如图所示．
设y ＝m 与y ＝f (x )图象交点的横坐标从小到大分别为x 1，x 2，x 3.
由y ＝－x 2
＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，得顶点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.当y ＝14时，代入y ＝2x 2
－x ，得14＝2x 2－x ，解
得x ＝1－34(舍去正值)，∴x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
1－34，0.
又∵y ＝－x 2
＋x 图象的对称轴为x ＝1
2，∴x 2＋x 3＝1，又x 2，x 3>0，
∴0<x 2x 3<⎝⎛⎭⎫x 2＋x 322＝1
4.
又∵0<－x 1<3－14，∴0<－x 1x 2x 3<3－116，∴1－3
16<x 1x 2x 3<0. 【举一反三】
1.设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为( ) A .]2,49(--
B ．[－1,0]
C ．(－∞，－2]
D .),4
9
(+∞-
【答案】A
【解析】令F (x )＝f (x )－g (x )＝x 2－3x ＋4－(2x ＋m )＝x 2－5x ＋4－m ，则由题意知F (x )＝0在[0,3]上有
两个不同的实数根，因而2(0)0(3)054(4)0F F m ⎧≥⎪⎪
≥⎨⎪∆=-->⎪⎩
，即40
2049m m m -≥⎧⎪--≥⎨⎪>-⎩，解之得－94<m ≤－2，故选A
考向二 函数性质与零点定理综合运用
【例2】已知偶函数f (x )满足f (x )=f (π−x )，当x ∈[−π
2,0]时，f (x )=2x −cosx ，则函数f (x )在区间[−π,π]内的零点个数为 。

【答案】7
【解析】由题意可得f (x )对称轴x =
π
2,x =0,所以周期为T =π,
由图可知,在x ∈[−π
2,0]上有两个根,其中一个为x =0,根据周期性可知f(π)=f(−π)=0,(−π,−π
2),(−π
2,0),(0,π
2),(π
2,π)上各有一个零点,所有共7个零点.选B .
【举一反三】
1.已知定义域为R 的函数()y g x =满足以下条件：①()(),33x R g x g x ∀∈-=+；②
()(2)
g x g x =+；③当
[]
1,2x ∈时,
2()242
g x x x =-+-.若方程
()()()log 10,1a g x x a a =+>≠且在[)0,+∞上至少有5个不等的实根,则实数a 的取值范围为（）
A ．303a <<
B ．505a <≤
C ．5
05
a <<D ．12a ≥
【答案】C
2.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()()[]
20,1f x f x x =+∈，当时，()2f x x =，若方程()0(0)ax a f x a +-=>恰有三个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是（）
A .1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
B .[]0,2
C .()1,2
D .[)1,+∞ 【答案】A
3.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当(]
1,3x ∈-时，()(]()(]
21,1,1{12,1,3x x f x t x x -∈-=--∈，其中0t >，若方程()3x
f x =恰有3个不同的实数根，则t 的取
值范围为（） A .40,3⎛
⎫ ⎪⎝⎭B .2,23⎛⎫ ⎪⎝⎭C .4,33⎛⎫ ⎪⎝⎭D .2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】B
【解析】
由()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，故()f x 的周期为4，()1,2x ∈时，
()()1f x t x =-，()2,3x ∈时，()()3f x t x =-，()5,6x ∴∈时，()()5f x t x =-，()
6,7x ∈时，
()()7f x t x =-，()0,3
x
t f x >=
恰有
3个不同的实数根，
()()22
21,762,233
t t t ∴->-∴>，故选B .
4.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，且()f x 是偶函数，当[]
0,1x ∈时，
()2f x x =．令()()g x f x kx k =--，若在区间[]1,3-内，函数()0g x =有4个不相等实根，
则实数k 的取值范围是
A ．()0,+∞
B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝
⎦ C ．10,4⎛⎤ ⎥⎝
⎦ D ．11,43
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
【答案】C
【解析】由题意知，()f x 是定义在R 上的周期为2的偶函数，令y kx k =+，作其与y =f (x )的图象如下，
函数()0g x =有4个不相等实根，等价于y kx k =+与y =f (x )有4个交点，∴1
{3 1 0
k k k k k +<+≤>，解得
104
k <≤
, 故选C ．
1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为:设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y =[x ]称为高斯函数,例如: [−2.1]=−3,[3.1]=3，已知函数f(x)=2x +31+2x+1
,则函数y =[f(x)]的值域为( )
A ．(1
2,3)
B ．{0,1}
C ．{0,1,2}
D ．{0,1,2,3}
【答案】C
【解析】f (x )的定义域为R ，f (x )=
2x +31+2x+1=
12(2x+1+1)+52
1+2
x+1=12
+52
·
11+2x+1
，
因为2x+1>0，所以0<5
2·1
1+2x+1<5
2，
所以f (x )的值域为(1
2,3)，所以y =[f (x )]的值域为{0,1,2}，故选C.
2．定义在[t,+∞)上的函数f(x)，g(x)单调递增，f(t)=g(t)=M ，若对任意k >M ，存在x 1,x 2(x 1<x 2)，使得f (x 1)=g (x 2)=k 成立，则称g(x)是f(x)在[t,+∞)上的“追逐函数”.若f(x)=x 2，则下列四个命题：①g(x)=2x −1是f(x)在[1,+∞)上的“追逐函数”；②若g(x)=lnx +m 是f(x)在[1,+∞)上的“追逐函数”，则m =1；③g(x)=2−1
x 是f(x)在[1,+∞)上的“追逐函数”；④当m ≥1时，存在t ≥m ，使得g(x)=2mx −1是f(x)在[t,+∞)上的“追逐函数”.其中正确命题的个数为（ ）
【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】对于①，易得M ＝1，∀k ＞1，有x 12=2x 2−1＝k ，
即为x 1=√k ，x 2＝log 2（k +1），当k ＝100时，√k ＞log 2（k +1），即不存在x 1＜x 2． 对于②，f (1)=1=g (1)=m =M ，得m=M ＝1，只需检验m=1时，是否符合题意， ∀k ＞1，有x 12＝1+ln x 2＝k ，即为x 1=√k ，x 2＝e k ﹣1，即有√k ＜e k ﹣1⇔k ＜e 2k ﹣2，
由x ＞1时，x ﹣e 2x ﹣2的导数为1﹣2e 2x ﹣2＜0，即有x ＜e 2x ﹣2，则存在x 1＜x 2；∴m=1满足题意 对于③，易得M ＝1，∀k ＞1，有x 12＝2−1
x 2=k ，即为x 1=√k ，x 2=1
2−k ，当k ＝4，不存在x 1＜x 2．
对于④，由题意f (t )=g (t )=M =t 2=2mt −1，
又m ≥1时，存在t ≥m ，取t=m+√m 2−1,此时M =t 2，且k>t 2,有x 12=2mx 2−1＝k ， 即为x 1=√k ，x 2=
k+1
2m
，令g （k ）=√k −k+12m =2m √k−k−1
2m
，k>t 2, ∴√k >t ，
∴g （k ）在（t 2，+∞）单调递减，∴g （k ）<g （t 2）=
2mt−t 2−1
2m
,又t=m+√m 2−1, ∴g （t 2）=0，
即g （k ）<0，∴x 1<x 2，故f （x ）在[1，+∞）上的“追逐函数”有②④故选：B ．
3．已知函数f(x)={xe x ,x ≥0−xe x
,x <0
（e 是自然对数底数），方程f 2(x)+tf(x)+1=0(t ∈R)有四个实数根，则t 的取值范围为（ ）
A ．(e +1
e ,+∞) B ．(−∞,−e −1
e ) C ．(−e −1
e ,−2) D ．(2,e +1
e ) 【答案】B
【解析】函数f(x)={xe x ,x ≥0−xe x ,x <0
，
当x≥0时，f′（x ）=e x +xe x ≥0恒成立，所以f （x ）在[0，+∞）上为增函数； 当x ＜0时，f′（x ）=-e x -xe x =-e x （x+1），
由f′（x ）=0，得x=-1，当x ∈（-∞，-1）时，f′（x ）=-e x （x+1）＞0，f （x ）为增函数， 当x ∈（-1，0）时，f′（x ）=-e x （x+1）＜0，f （x ）为减函数，
所以函数f （x ）在（-∞，0）上有一个最大值为f （-1）= -（-1）e -1=1
e ，要使方程
f 2（x ）+tf （x ）+1=0（t ∈R ）有四个实数根，
令f （x ）=m ，则方程m 2+tm+1=0应有两个不等根，且一个根在（0，1e ）内， 一个根在（ 1
e ，+∞）内，再令g （m ）=m 2+tm+1，因为g （0）=1＞0， 则只需g （ 1
e ）＜0，即（1
e ）2+1
e t+1＜0，解得：t ＜−e −1
e ．
所以，方程f 2（x ）+tf （x ）+1=0（t ∈R ）有四个实数根的t 的取值范围是（-∞，−e −1
e ）．选B. 4．设函数f(x)={
|12x −4|+1,x ≤1x （x −2）2
+a,x >1
，若存在互不相等的4个实数x 1，x 2，x 3，x 4，使得f(x 1)
x 1
=
f(x 2)x 2
=
f(x 3)x 3
=
f(x 4)x 4
=7，则a 的取值范围为（ ）
A ．(6,12)
B ．[6,12]
C ．(6,18)
D ．[6,18] 【答案】C
【解析】由题可知f (x )=7x 有四个互不相等的实数根，
当x ≤1时，|12x −4|+1=7x 解得x =5
19或x =3
5，有两个不等实数根 故当x >1时，x （x −2）2
+a =7x 有两个个不等的实数根 即x 3−4x 2−3x =−a 有两个不等的实数根 令ℎ(x )=x 3−4x 2−3x
则h ′(x )=3x 2−8x −3，令h ′(x )=0解得x =−1
3或x =3 所以函数ℎ(x )在（1，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增 因为h (1)=−6,h (3)=−18
所以−18<−a <−6即6<a <18故选C.
5．已知函数f(x)满足f(x)+1=1
f(x+1)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x,若在区间（-1,1]上方程f(x)-mx-m=0有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是（） A ．[0,1
2) B ．[1
2,+∞) C ．[0,1
3) D ．(0,1
2] 【答案】D
【解析】设x ∈（﹣1，0），则（x+1）∈（0，1）， ∵当x ∈[0，1]时，f （x ）=x ，∴f （x+1）=x+1．
∵f （x ）+1=1
f(x+1)，可得f （x ）={x (0≤x ≤1)
1
x+1
−1 (−1≤x <0)
，方程f （x ）﹣mx ﹣x=0，化为f （x ）=mx+m ，
画出图象y=f （x ），y=m （x+1），M （1，1），N （﹣1，0），
可得k MN =1
2．∵在区间（﹣1，1]上方程f （x ）﹣mx ﹣x=0有两个不同的实根， ∴0<m ≤12，故答案为：D
6．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x∈R时，均有f(3+x)=f(2−x)，2≤f(x)≤8，则满足条件的f(x)可以是（）
A．f(x)=6+3cos2πx
5B．f(x)=5+3sinπx
5
C．f(x)={2,x∈Q
8,x∈C R Q D．f(x)={2,x≤0 8,x>0
【答案】C
【解析】由题意，A中，函数f(x)=6+3cos2πx
5
，则3≤f(x)≤9，不满足2≤f(x)≤8，所以不正确；
B中，函数f(x)=5+3sinπx
5
不满足f(3+x)=f(2−x)，所以不正确；
C中，函数f(x)={2,x∈Q
8,x∈C R Q，则3+x∈Q,2−x∈Q，且f(3+x)=f(2−x)=2，
同理x∈C R Q时，f(3+x)=f(2−x)=3，
显然2≤f(x)≤8成立，所以C是正确的；
D中，f(0)=2,f(5)=8，不满足f(3+2)=f(2−2)，即不满足f(3+x)=f(2−x)，所以是错误的，
综上所述，函数f(x)={
2,x∈Q
8,x∈C R Q是正确的，故选C.
7．已知函数定义在[1,+∞)上的函数f(x)={4−|8x−12|,1≤x≤2
1
2
f(x
2
),x>2，则下列说法中正确的个数是
（）
①关于x的方程f(x)−1
2n
=0，(n∈N)有2n+4个不同的零点
②对于实数x∈[1,+∞)，不等式xf(x)≤6恒成立
③在[1,6)上，方程6f(x)−x=0有5个零点
④当x∈[2n−1,2n]，(n∈N∗)时，函数f(x)的图象与x轴围成的面积为4
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】由表达式可知f(1.5)=4,f(3)=2,f(6)=1.
①当n=0时，方程f(x)−1
2n
=0等价为f(x)=1,∴对应方程根的个数为五个，而2n+4=4，故①错误；
②
由不等式xf(x)≤6等价为f(x)≤6
x ，在x∈[1,+∞)恒成立，作出函数y=6
x
图象如图，由图可知函
数y=6
x
图象总在f(x)的图象上方，所以不等式xf(x)≤6恒成立，故②正确；③
由f(x)−1
6x=0，得f(x)=1
6
x，设g(x)=1
6
x，则g(6)=1,∴在[1,6)上，方程f(x)−1
6
x=0有四个
零点，故③错误；
④令n=1得，[2n−1,2n]=[1,2]，当x∈[1,2]时，函数f(x)的图象与x轴围成的图形是一个三角形，
其面积为S=1
2
×1×4=2，故④错误，故选B.
8．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且满足f(x+1)=f(1−x)，若当x∈[0,1]时，f(x)=sinπ
2
x，则函数g(x)=f(x)−e−|x|在区间[−2018,2018]上零点的个数为（）
A．2017 B．2018 C．4034 D．4036
【答案】D
【解析】函数g （x ）=f （x ）﹣e ﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数⇔函数f(x)=sin π
2x 的图象与y=e ﹣|x|的图象交点个数．
由f(x)是定义在R 上的偶函数，且满足f(x +1)=f(1−x)，即f （﹣x ）=f （x ）． 又∵f(x +1)=f(1−x)，f （x ）是周期为2的偶函数． ∵当x ∈[0，1]时，f(x)=sin π
2x ， 作出y=f （x ）与y =e −|x |图象如下图，
可知每个周期内有两个交点，所以函数g （x ）=f （x ）﹣e ﹣|x|
在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为
2018×2=4036．故选：D ． 9．设函数()πsin 44f x x ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
9π0,16x ⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，若函数()()y f x a a R =+∈恰有三个零点1x ， 2x ， 3x 123()x x x <<，则1232x x x ++的值是
A ．
2
π
B ．3π4
C ．5π4
D ．π
【答案】B
【解析】函数()πsin 44f x x ⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭
9π0,16x ⎛⎫
⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝
⎭，故π54,,sin ,442t x y t ππ⎡⎤=+∈=⎢⎥⎣⎦ 根据题意得到12324,t t t π++= 12342444444x x x π
πππ⎛⎫
++⨯+++= ⎪⎝⎭
化简得到1232x x x ++=
3π
4
.故答案为：B. 10．设()3
2
f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知0k <或4k >时， ()0f x k -=只有一个实根，当04k <<时， ()0f x k -=有三个相异实根，给出下列命题： ①()40f x -=和()'0f x =有一个相同的实根； ②()0f x =和()'0f x =有一个相同的实根；
③()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根； ④()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根． 其中正确命题的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】A
【解析】根据三次函数()3
2
f x x bx cx d =+++，满足对k 是一个常数，当0k <或4k >时，
()0f x k -=只有一个实根，当04k <<时， ()0f x k -=有三个相异实根这样的条件，满足画
出函数()f x 的模拟图象如图：
()32f x x bx cx d =+++,
当04k k 或时， ()0f x k -=只有一个实数根；
当04k <<时， ()0f x k -=有三个相异实根，故函数即有极大值，又有极小值，且极小值为0，极大值为4，
故()40f x -= 与()0f x '=有一个相同的实数根，即极大值点，故（1）正确.
()0f x =与()0f x '= 有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确； ()30f x +=有一实根且函数最小的零点，
()10f x -=有3个实根均大于函数的最小零点，故（3）错误； ()50f x +=有一实根且小于函数最小零点，
()20f x -=有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）正确；所以A 选项正确.
11．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且满足f (x +2)−f (x )=0，当0≤x ≤1时，f (x )=x 2，又g (x )=k (x −1
4)，若方程f (x )=g (x )恰有两解，则k 的取值范围是（ ）
A ．{411
,−45
} B ．{1,
411
.−45
} C ．{43,
4
11
,−45
} D ．{1,43,
4
11
,−4
5
}
【答案】D
【解析】∵f (x +2)−f (x )=0
∴f(x)是周期为2的函数，根据题意画出函数的图象
过点A 时斜率为43,相切时斜率为1,过点B 的斜率为411,过点C 的斜率为−4
5故选D.
12．函数
f(x)=
|-1|,1,
{ 11,1,2x a x x =⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭ 1
,1,
{ 11,1,2x a x x -=⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭
若关于x
的方程
()()()222330f x a f x a -++=有五个不同的实数解12345,,,,x x x x x 求12345x x x x x ++++=
（ ）
A ．3
B ．5
C ．3a
D ．5 a 【答案】B
【解析】由2f 2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0得
f(x)=
3
2
或f(x)=a.由已知画出函数f(x)的大致图象,结合图象不难得知,要使关于x 的方程2f 2(x)-(2a+3)f(x)+3a=0有五个不同的实数解,即要使函数y=f(x)的图象与
直线y=
32 3
2
、y=a 共有五个不同的交点,结合图象
分析不难得出, 12345x x x x x ++++=5故选B
13.定义在实数集R 上的奇函数()f x 满足()()+2=-f x f x ，且当[]
1,1x ∈-时，()f x x =，则下列四个命题：
①()20180f =； ②函数()f x 的最小正周期为2； ③当[]
2018,2018x ∈-时，方程()1
2
f x =有2018个根；④方程()5lo
g f x x =有5个根． 其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C
【解析】∵()()2f x f x +=-，∴()()()42f x f x f x +=-+=，∴函数()f x 的最小正周期为
4，故②错误，∴()()()()20184504220f f f f =⨯+==-．
∵当[]
1,1x ∈-时，()f x x =，∴()00f =，即()20180f =，故①正确．
∵函数()f x 在实数集R 上为奇函数，∴()()f x f x -=-，∴()()2f x f x +=-，即函数()f x 关于直线1x =对称．画出函数()f x 的图象如图所示：
由图象可得，当[]
2,2x ∈-时，方程()12f x =
有2个根，故当[]2018,2018x ∈-时，方程()1
2
f x =有2018222018÷⨯=个根，故③正确；画出5lo
g y x =的图象如图所示，与函数()f x 有5个交点，故④正确，故选C ．
14.函数()f x 满足对任意x R ∈，都有()()2f x f x +=--，且()()21
1,10{ 2
log 1,01x
x f x x x --<<=+≤<，()11
44
g x x =-+，则函数()()()h x f x g x =-在()1,3-上的零点之和是__________．
【答案】
5
15已知函数．
（1）若函数在区间
上不单调，求的取值范围；
（2）若函数有一个正的零点和一个负的零点，求的取值范围．
【答案】（1）
；（2）
【解析】分析：（1）由二次函数
的对称轴，并结合条件，即可得到对称轴
满足的关系式，解之即得实数a 的取值范围；
法二：函数有一个正的零点和一个负的零点，即
16.已知二次函数()y f x =的最小值为3，且()()1311f f -==． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）若偶函数()()x
g x e f x =-（其中 2.71828
e =），那么，()g x 在区间()1,2上是否存在
零点？请说明理由．
【答案】（1）()2
245f x x x =-+（2）存在零点
【解析】试题分析：（1）待定系数法，己知函数类型为二次函数，又知f(-1)=f （3），∴对称轴是x=1，且函数最小值f （1）=3，所设函数()()2
13f x a x =-+，且0a >，代入f(-1)=11，可解a ． （2）由题意可得()2
245x
g x e x x =-+-，代入()()1,2g g ，由()()120g g ⋅<和根的存在性定
理，()g x 在区间（1，2）上存在零点．
试题解析：（1）∵()f x 是二次函数，且()()1311f f -==，∴二次函数图像的对称轴为1x =．
又()f x 的最小值为3，∴可设()()2
13f x a x =-+，且0a >，由()311f =，得2a =，
∴()()2
2213245f x x x x =-+=-+．
（2）由（1）可得()2
245x
g x e x x =-+-，∵()130g e =-<，()2
250g e =->，∴()g x 在
区间（1，2）上存在零点．学%科网
17.已知函数()2212
x
x
a a f x -+⋅=+． （1）当1a =时，判断函数()f x 的奇偶性并证明； （2）讨论()f x 的零点个数．
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析．
【解析】试题分析：（1）利用奇偶性的定义，判断并证明得()f x 为奇函数；（2）分参得2
12x
a =+，判断其单调性和值域，得零点个数的情况．
试题解析：解法一：（Ⅰ）当1a =时，函数()1212
x
x
f x -+=+，该函数为奇函数． 证明如下：依题意得函数()f x 的定义域为R ，
又()1212x x f x ---+-=+2121x x -+=+1212
x
x
-+=-+()f x =-， ∴函数()f x 为奇函数． （Ⅱ）∵()212x f x a =-
+ ，∴()
0f x = ⇔ 2
12x
a =+， ∵函数2x
y =在R 上单调递增且值域为()0,+∞， ∴2
12x
y =
+在R 上单调递减且值域为()0,2 ， ∴当0a ≤或2a ≥时，函数()f x 无零点； 当02a <<时，函数()f x 有唯一零点．
（Ⅱ）问题等价于讨论方程()f x =0的解的个数．
由22012
x x
a a -+⋅=+，得220x a a -+⋅= ． 当0a =时，得20-=，即方程无解； 当0a ≠时，得22x
a
a
-=， 当
20a
a ->即02a <<时，方程有唯一解； 当20a
a
-≤即0a <或2a ≥时，方程无解． 综上所述，当0a ≤或2a ≥时，函数()f x 无零点； 当02a <<时，函数()f x 有唯一零点．
18．设a R ∈，函数()1
x x e a
f x e +=+（为e 自然对数义底数）
(Ⅰ)求a 的值，使得()f x 为奇函数． (Ⅱ)若关于x 的方程()2
2
a f x +=
在(],0-∞上有解，求a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）1a =- ；（Ⅱ）2a >．
【解析】试题分析：(Ⅰ)由奇函数得()00f =，得1a =-，进而检验()()f x f x -=-即可；
(Ⅱ) 由条件得212
x x e a a e ++=
+，化简得()
12x e a -=，易知0x =不成立，0x <时，21x a e =-，求()2
1x
g x e =
-的范围即可．
①当0x =时，此时()*不成立； ②当0x <时，21x a e =
-，而()21x g x e =-，在(],0-∞单调递增，∴()2
21x
g x e =>-． 综上所述a 的取值范围2a >．
19.已知函数()2
1f x ax bx =-+，()10f =，且()0f x ≥在R 上恒成立，()1ln g x x =-．
（1） 求()y f x =的解析式；
（2） 若有()()f m g n =，求实数n 的取值范围；
（3）求证： ()y f x =与()y g x =图像在区间[]
1,e 有唯一公共点． 【答案】（1）()2
21f x x x =-+；（2）0e n <≤；（3）见解析．
【解析】试题分析：（1）由题意可得，列出方程组，即可求解,a b 的值，得到函数的解析式；（2）由（1）和()()f m g n =，得()0g n ≥，即可求解实数n 的取值范围；（3）令
()()()()2
11ln h x f x g x x x =-=--+，得到()y h x =在[]1,e 上单调递增，根据零点的存在定
理，即可证得区间[]
1,e 上有唯一的零点．
()y h x =在[]1,e 上单调递增，又()110h =-<，()()2
e e 10h =->，()y h x ∴=在[]1,e 上
有唯一实数根，()()0f x g x ∴-=在[]1,e 上有唯一实数根，()()f x g x =在[]
1,e 上有唯一实数根
∴，()y f x =与()y g x =图像在区间[]
1,e 有唯一公共点． 20.已知函数()2
11(0)2f x ax ax b a =-+->，()()f x F x x
=．()f x 在[]3,4x ∈上有最大值9，最小值4．
（1）求实数a b ，的值；
（2）若不等式()22log 0F log x k x -⋅≥在2,4x ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；
（3）若方程(
)
1
|21
20|21 x
x
F λ⎛⎫
⎪-+-= ⎪-⎝⎭
有三个不同的实数根，求实数λ的取值范围． 【答案】（1） 2{
a b == （2） 0k ≤（3）0λ>
【解析】（1）函数()f x 的对称轴为=1x ，又0a >，∴()f x 在[]
3,4x ∈上单调递增， ()()3
314{ 2
4419
f a b f a b =
+-=∴=+-=，解得2
{ 0
a b ==．
（3）令|21 x
m =-，图像如下：
则方程(
)
1|21 20|21 x
x
F λ⎛⎫
⎪-+-= ⎪-⎝⎭
有三个不同的实数根，等价于关于m 的方程()120F m m λ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
有两个不等根，其中一根等于1，一根大于0且小于1，或者一根大于1，
一根大于0且小于1．将
22112=0m m m m λ-+⎛⎫
+- ⎪⎝⎭
整理成： ()22110m m λλ-+++=， 若一根等于1，一根大于0且小于1，将1m =代入得0λ=，此时，2210m m -+=只有唯一的根，不符要求，∴情况为：一根大于1，一根大于0且小于1， 令()()2
211h m m m λλ=-+++，则需满足()()010{
10
h h λλ=+>=-<，解得0λ>．
综上所述：0λ>为所求．。