2020届全国名校高考冲刺压轴卷数学文（解析版）

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2020届全国名校高考冲刺压轴卷
数学文科（一）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}(,)|1,01A x y y x x ==+≤≤，集合{}(,)|2,010B x y y x x ==≤≤，则集合A B I ＝（
）
A ．{}
1,2B ．{}|01x x ≤≤
C ．()
{}
1,2D ．∅
2．已知复数z 满足(2)3i z i -=+，则||(z =)A ．5
B ．5
C ．10
D ．10 3．下列函数中，与函数
的单调性和奇偶性一致的函数是（
）
A. B. C. D.
4．某学校上午安排上四节课，每节课时间为40分钟，第一节课上课时间为，课间休息10分
钟.某学生因故迟到，若他在之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于10分钟的概率为
（）
A.
5
1
B.
10
3 C.
5
2 D.
5
45．函数
()
2
3sin 3sin cos f x x x x =+的最小正周期是（
）
A. 4π
B. 2π
C. π
D.
2
π
6．若01a b <<<，则b
a ，a
b ，log b a ，1log a
b 的大小关系为（）
A. 1log log b a b a
a b a b
>>> B. 1log log a b
b a
b a b a
>>>C. 1log log b a b a
a a
b b
>>> D. 1log log a b
b a
a b a b
>>>7．若实数x ，y 满足条件10
262x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪
+⎩…………
，则2z x y =-的最大值为(
)
A ．10
B ．6
C ．4
D ．2
-
8． 已知双曲线22
2
2
1(0,0)x
y
a b a b -=>>，四点1
(4,2)P ，2
(2,0)P ，3
(4,3)P -，4
(4,3)P 中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为( ) A ．
52
B ．
52
C ．
72
D ．
72
9． 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( ) A ．7
B ．9
C ．10
D ．11
1010．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（ ）
A. 25
B. 5
C.
29 D. 6
11． ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC =u
u u r u u u r g ，点P 是ABC ∆内（包括边界）的一动点，且32()55
AP AB AC R λλ=-∈u u u r u u u r u u u r
，则
||AP u u u r 的最大值是( ) A ．
332
B ．37
C ．39
D ．41
1212．． 在四面体ABCD 中，1AB BC CD DA ====，6
2AC =，2BD =，则它的外接球的面积(S = ) A ．4π
B ．8
3
π
C ．43
π
D ．2π
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
1313．数列．数列{}n a 中，148,2a a ==且满足且满足.
.212(*)n n n a a a n N ++=-∈，数列{}n a 的通项公式 14． 已知()f x 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，若(3)f a f -<（4），则a 的取值范围为 ．
1515．在．在ABC ∆中，角
的对边分别为
，A
a B
b B
c cos cos cos 与是-
的等差中项且
，ABC ∆的
面积为34，则
的值为的值为______________________________．．
1616．已知抛物线．已知抛物线x y C 4:=的焦点是，直线
交抛物线于两点，分别从两点向直线
作垂线，垂足是
，则四边形
的周长为的周长为______________________________．．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （1717））
（本小题满分12分） 在右图所示的四边形ABCD 中，∠BAD ＝9090°，°， ∠BCD ＝150150°，°，
∠BAC ＝6060°，°，AC ＝2，AB ＝3＋1．
（Ⅰ）求BC ；
（Ⅱ）求△ACD 的面积． （1818））
（本小题满分12分） 二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数x （0＜x ≤1010）与销售价格）与销售价格y （单位：万元万元//辆）进行整理，得到如下的对应数据：
使用年数 2 4 6 8 10 售价
16
13
9.5
7
4.5
（Ⅰ）试求y 关于x
的回归直线方程；（参考公式：b ˆ＝n
i ＝1
∑x i y i －nx -y -n
i ＝1
∑x 2
i －nx -2，a ˆ＝y -－b ˆx -．）
（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为w ＝0.05x 2
－1.75x ＋17.2万元，根据（Ⅰ）中所求的回归方程，预测x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润z 最大？
A
B
C
D
（1919））
（本小题满分12分） 在四棱锥P -ABCD 中，△PAD 为等边三角形，底面ABCD 等腰梯形，
满足AB ∥CD ，AD ＝DC ＝
1
2
AB ＝2，且平面PAD ⊥平面ABCD ．
（Ⅰ）证明：BD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求点C 到平面PBD 的距离． （2020））
（本小题满分12分） 已知动点P 到直线l ：x ＝－＝－11的距离等于它到圆C ：x 2
＋y 2
－4x ＋1＝0的切线长（P 到切点的距离）．记动点P 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；
（Ⅱ）点Q 是直线l 上的动点，过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A ，B 两点，问是否存在常数λ，使得|AC |·|BC |＝λ|QC |2
？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由． 21.21.（本小题满分（本小题满分12分）
已知函数f (x )＝ln (mx )－x ＋1，g (x )＝(x －1)e x
－mx ，m ＞0． （Ⅰ）若f (x )的最大值为0，求m 的值；
（Ⅱ）求证：g (x )仅有一个极值点x 0，且 1 2
ln (m ＋1)1)＜＜x 0＜m ．
请考生在第（请考生在第（222222）），（2323）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．
22.22.（本小题满分（本小题满分10分）选修4-44-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，M (－2，0)0)．以坐标原点为极点，．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A (ρ，θ)为曲线C 上一点，B (ρ，θ＋
π
3
)，|BM |＝1． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）求（Ⅱ）求||OA |2
＋|MA |2
的取值范围． 23.23.（本小题满分（本小题满分10分）选修4-54-5：不等式选讲：不等式选讲 已知a ＞b ＞c ＞d ＞0，ad ＝bc ． （Ⅰ）证明：a ＋d ＞b ＋c ；
（Ⅱ）比较a a b b c d d c
与a b b a c c d d
的大小．
P
2019全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科（一）答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】【答案】C C
【解析】根据题意可得，12y x y x =+⎧⎨=⎩，解得1
2
x y =⎧⎨=⎩，满足题意01x ≤≤，所以集合A B I ＝(){}1,2．故选
C ．
2． 【答案】【答案】C C
【解析】：(2)3i z i -=+Q ，3213i z i i
+∴=-=+，||10z ∴=．故选：C ．
3．【答案】【答案】D D 【解析】函数
即是奇函数也是上的增函数，对照各选项：
为非奇非偶函数，
排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；为奇函数，但不是上的增函数，排除 ；
为奇函数，且是上的增函数，故选D.
4．【答案】【答案】A A 【解析】由题意知第二节课的上课时间为
，该学生到达教室的时间总长度为
分钟，其中在
进入教室时，进入教室时，听第二节的时间不少于
听第二节的时间不少于分钟，其时间长度为分钟，故所求的概率51
5010= ，故选A. 5．【答案】【答案】C C
【解析】 因为()
2
1cos23
3sin 3sin cos 3sin222x f x x x x x -=+=⨯+ 3333sin2cos23sin 222262x x x π⎛⎫=-+=
-+ ⎪⎝
⎭， 所以其最小正周期为222
T w ππ
π===，故选C.
6．【答案】【答案】D D
【解析】因为01a b <<<，所以10a a b
b a a >>>>.log log 1b b a b >>.
01
a <<,所以
1
1a >,
1
log 0
a
b <.综上：
1log log a
b
b
a
a b a b
>>>.
7．【答案】【答案】B B ．
【解析】：先根据实数x ，y 满足条件1
262x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩………
…
画出可行域如图，
做出基准线02x y =-，
由图知，当直线2z x y =-过点(3,0)A 时，z 最大值为：最大值为：66．故选：B
．
8． 【答案】【答案】C C
【解析】：根据双曲线的性质可得3(4,3)P -，4(4,3)P 中在双曲线上，
则1(4,2)P
一定不在双曲线上，则2(2,0)P 在双曲线上， 2a ∴=，22169
1a b -=，解得2
3b =，2227c a b ∴=+=，7c ∴=，72
c e a ∴==
，故选：C ． 9． 【答案】【答案】B B
【解析】：模拟程序的运行，可得： 11,313i S lg lg ===->-，否；
131
3,51355i S lg lg lg lg ==+==->-，否；
151
5,71577
i S lg lg lg lg ==+==->-，否；
1717,917
9
9
i S lg
lg
lg
lg ==+==->-，否；
191
9,11191111
i S lg lg lg lg ==+==-<-，
是，输出9i =，
故选：故选：B B ． 1010．．【答案】【答案】C C
【解析】 由三视图可知，该几何体是四棱锥P ABCD -，如图所示， 其中侧棱PD ⊥平面,2,3,4ABCD AD CD PD ===，
则2
2
2
2
2
2
2
2425,345,23429PA PC PB =+==+==++=,
所以该几何体的最长的棱的长度为29，故选C ． 1111．． 【答案】【答案】B B ．
【解析】ABC ∆中，5AB =，10AC =，25AB AC =u
u u r u u u r g ， 510cos 25A ∴⨯⨯=，1
cos 2
A =
，60A ∴=︒，90B =︒； 以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，建立如图所示的坐标系， 如图所示，
5AB =Q ，10AC =，60BAC ∠=︒，
(0,0)A ∴，(5,0)B ，(5C ，53)， 设点P 为(,)x y ，05x 剟
，03y 剟，
Q 3255
AP AB AC λ=-u u u r u u u r u u u r
，
(x ∴，3)(55y =
，20)(55λ-，53)(32λ=-，23)λ-， ∴3223x y λλ=-⎧⎪
⎨=-⎪⎩， 3(3)y x ∴=-，①
直线BC 的方程为5x =，②， 联立①②，得523x y =⎧⎪
⎨=⎪⎩
，
此时
||AP u u u r 最大， 22
||5(23)37AP ∴
=+=． 故选：故选：B B ．
1212．． 【答案】【答案】D D 【解析】：如下图所示，
1AB BC CD DA ====Q ，2BD =，由勾股定理可得222AB AD BD +=，222
BC CD BD +=， 所以，90BAD BCD ∠=∠=︒，设BD 的中点为点O ，则12
22
OA OB OC OD BD =====， 则点O 为四面体ABCD 的外接球球心，且该球的半径为2
2
R =
， 因此，四面体ABCD 的表面积为2
2
244()22S R πππ==⨯=．故选：．故选：D D ．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 1313．．
【答案】=102n a n - 【解析】 由题意，211n n n n a a a a +++-=-，所以{}n a 为等差数列为等差数列..设公差为d ， 由题意得2832d d =+⇒=-，得82(1)102n a n n =--=-. 1414．．
【答案】17a -<<． 【解析】：()f x Q 是R 上的偶函数，且在[0，)+∞单调递增，
∴不等式(3)f a f -<（4）等价为(|3|)f a f -<（4），
即|3|4a -<，即434a -<-<，得17a -<<，
即实数a 的取值范围是17a -<<，故答案为：17a -<<
1515．．【答案】54. 【解析】由A a B b B c cos cos cos 与是-
的等差中项，得A
a
B b B c cos cos cos 2+
=- . 由正弦定理，得A A B B B C cos sin cos sin cos sin 2+=-,A
B B A B
C cos cos )
sin(cos sin 2⋅+=
- ，由C B A sin )sin(=+ 所以21cos -=A ,32π=A . 由34sin 21==∆A bc S ABC ，得16=bc . 由余弦定理，得
16)(cos 22
2
2
2
-+=-+=c b A bc c b a ，即54=+c b ，故答案为54．
1616．．【答案】.
【解析】由题知， ，准线的方程是. . 设设 ，由 ，消去， 得
. 因为直线 经过焦点，所以
. 由抛物线上的点的几何
特征知 ，因为直线的倾斜角是，所以
，所以四边形
的周长是
，故答案为
.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （1717））
（本小题满分12分） 【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）在S △ACD ＝1
【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，由余弦定理得BC 2
＝AB 2
＋AC 2
－
2AB ·AC cos cos∠
∠BAC ＝6，
所以BC ＝6．
（Ⅱ）在△ABC 中，由正弦定理得BC sin sin∠∠BAC ＝AC sin sin∠∠ABC ，则sin sin∠∠ABC ＝22 ， 又0°＜∠ABC ＜120120°，所以∠°，所以∠ABC ＝4545°，从而有∠°，从而有∠ACB ＝7575°，°，
由∠BCD ＝150150°，得∠°，得∠ACD ＝7575°，又∠°，又∠DAC ＝3030°° ，所以△ACD 为等腰三角形，
即AD ＝AC ＝ 2，故S △ACD
＝1．
（1818）（本小题满分）（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）^y ＝－＝－1.45
1.45x ＋18.718.7（Ⅱ）（Ⅱ）x ＝3 A
B
C
D
【解析】（Ⅰ）由已知：x -＝6，y -
＝＝1010，，，5i ＝1
∑∑
x i y i
＝＝242242，，，5
i ＝1
∑∑
x 2
i
＝220220，，
^b
＝n
i ＝1
∑x i y i －nx
-y -n
i ＝1
∑x 2i －nx -2
＝－＝－1.451.451.45，，a ˆ＝y -－^b x -＝18.718.7；；
所以回归直线的方程为^y ＝－＝－1.451.45x ＋18.7 （Ⅱ）z ＝－＝－1.451.45x ＋18.718.7－－(0.05x 2
－1.75x ＋17.2)
＝－＝－0.050.05x 2
＋0.3x ＋1.5 ＝－＝－0.05(0.05(x －3)2＋1.951.95，，
所以预测当x ＝3时，销售利润z 取得最大值．
（1919））
（本小题满分12分） 【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
3
2
【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD 中，取AB 中点E ，连结DE ，则
DE ∥BC ，且DE ＝BC ．
故DE ＝ 1
2
AB ，即点D 在以AB 为直径的圆上，所以BD ⊥AD ．
因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD 平面ABCD ， 所以BD ⊥平面PAD ．
E P
O
B
A D
C
（Ⅱ）取AD 中点O ，连结PO ，则PO ⊥AD ，因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 由（Ⅰ）可知△ABD 和△PBD 都是直角三角形， 所以BD ＝AB 2
－AD 2
＝23，于是
S △PBD ＝
1 2PD •BD ＝23，S △BCD ＝ 1
2
BC •CD •sin120sin120°＝
°＝3， 易得PO ＝3，
设C 到平面PBD 的距离为h ，
由V P-BCD ＝V C-PBD 得 1 3S △PBD •h ＝ 1 3
S △BCD •PO ， 解得h ＝32．
（2020））
（本小题满分12分） 【答案】（1）y 2＝6x （Ⅱ）λ＝ 4
3 【解析】（Ⅰ）由已知得圆心为C (2(2，，0),0),半径半径r ＝3．设P (x ，y )，依题意可得 | x ＋1 |＝(x －2)2＋y 2－3，整理得y 2
＝6x ．
故曲线E 的方程为．的方程为． （Ⅱ）设直线AB 的方程为my ＝x －2，
则直线CQ 的方程为y =－m (x －2)2)，可得，可得Q (－1，3m )．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理得y 2－6my －1212＝＝0，那么y 1y 2＝－＝－121212，，
…8分 则|AC |·|BC |＝(1(1＋＋m 2) | y 1y 2 |＝12(112(1＋＋m 2)，|QC |2＝9(19(1＋＋m 2)．即|AC |·|BC |＝ 4 3|QC |2
，
所以λ＝ 4
3． 21.21.（本小题满分（本小题满分12分）
【答案】（Ⅰ）m ＝1（Ⅱ）见解析
【解析】（Ⅰ）由m ＞0得f (x )的定义域为的定义域为(0(0(0，＋∞，＋∞，＋∞))，
f '(x )＝ 1 x －1＝1－x x
，当x ＝1时，f '(x )＝0； 当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )单调递增；
当x ＞1时，f '(x )＜0，f (x )单调递减．
故当x ＝1时，f (x )取得最大值0，
则f (1)(1)＝＝0，即ln m ＝0，
故m ＝1．
（Ⅱ）g '(x )＝x e x －m ，令h (x )＝x e x －m ，
则h '(x )＝(x ＋1)e x ，当x ＝－＝－11时，h '(x )＝0；
当x ＜－＜－11时，h '(x )＜0，h (x )单调递减；
当x ＞－＞－11时，h '(x )＞0，h (x )单调递增．
故当x ＝－＝－11时，h (x )取得最小值h (－1)1)＝－＝－＝－e e －1－m ＜0． 当x ＜－＜－11时，h (x )＜0，h (x )无零点，
注意到h (m )＝m e m －m ＞0，则h (x )仅有一个零点x 0，且在，且在((－1，m )内．
由（Ⅰ）知ln x ≤x －1，又m ＞0，则 1 2ln (m ＋1)1)∈∈(0， 1 2
m )． 而h ( 1 2
ln (m ＋1))＝h (ln m ＋1) ＝m ＋1ln m ＋1－m ＜m ＋1(m ＋1－1)1)－
－m ＝1－m ＋1＜0，则x 0＞ 1 2
ln (m ＋1)1)，， 故h (x )仅有一个零点x 0，且 1 2
ln (m ＋1)1)＜＜x 0＜m ． 即g (x )仅有一个极值点x 0，且 1 2
ln (m ＋1)1)＜＜x 0＜m ．
22.22.（本小题满分（本小题满分10分）
【答案】（Ⅰ）（Ⅰ）((x ＋1)2＋(y －3)2＝1（Ⅱ）（Ⅱ）[10[10[10－－43，1010＋＋43]3]．．
【解析】（Ⅰ）设A (x ，y )，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
所以x B ＝ρcos (θ＋ π 3)＝ 1 2x －32y ；y B ＝ρsin (θ＋ π 3)＝32x ＋ 1 2y ， 故B ( 1 2x －32y ，32x ＋ 1
2y )．
由|BM |2＝1得( 1
2x －32y ＋2)2＋(32x ＋ 1 2y )2＝1， 整理得曲线C 的方程为的方程为((x ＋1)2＋(y －3)2
＝1．
（Ⅱ）圆C ：⎩
⎨⎧x ＝－＝－11＋cos α，y ＝3＋sin α（α为参数），则，则||OA |2＋|MA |2＝43sin α＋1010，， 所以所以||OA |2＋|MA |2∈[10[10－－43，1010＋＋43]3]．．
23.23.（本小题满分（本小题满分10分）选修4-54-5：不等式选讲：不等式选讲
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析
【解析】（Ⅰ）由a ＞b ＞c ＞d ＞0得a －d ＞b －c ＞0，即，即((a －d )2＞(b －c )2， 由ad ＝bc 得(a －d )2＋4ad ＞(b －c )2＋4bc ，即，即((a ＋d )2＞(b ＋c )2， 故a ＋d ＞b ＋c ．
（Ⅱ）a a b b c d d c a b b a c c d d ＝( a b )a －b ( c d )d －c ＝( a b )a －b ( d c
)c －d
， 由（Ⅰ）得a －b ＞c －d ，又 a
b ＞1，所以( a b )a －b ＞( a b )
c －
d ， 即( a b )a －b ( d c )c －d ＞( a b )c －d ( d c )c －d ＝(ad bc
)c －d ＝1， 故a a b b c d d c ＞a b b a c c d d
．。