【鲁教版】八年级数学上期末试题(附答案)

一、选择题
1．2020年5月1日，北京市正式实施《北京市生活垃圾管理条例》，生活垃圾按照厨余
垃圾，可回收物，有害垃圾，其他垃圾进行分类．小红所住小区5月和12月的厨余垃圾分出量和其他三种垃圾的总量的相关信息如下表所示：
厨余垃圾分出量如果厨余垃圾分出率=
100%⨯生活垃圾总量
(生活垃圾总量=厨余垃
圾分出量+其他三种垃圾的总量），且该小区12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍，那么下面列式正确的是（ ）
A ．6608400
14710
x x ⨯=
B ．6608400
147660840010
x x
⨯=
++
C ．6608400
1414
7
660840010
x x
⨯=⨯++ D ．784006601014660
8400
x x
++⨯=
2．下列计算正确的是（ ）
A ．1112a a a +=
B ．22
11
()()a b b a +--=0
C ．
m n a -﹣
m n
a
+=0 D ．
11a b b a
+--=0 3．化简232a b c a b c c b
a b c a c b c a b
-+-+--++--+--的结果是（ ）
A ．0
B ．1
C ．－1
D ．
2(2)
b c c a b
---
4．2
a a
b b a ++-的结果是( )．
A ．2a
-
B ．4a
C ．2
b a b
--
D ．
b a
- 5．下列因式分解正确的是（ ）
A ．m 2+n 2=(m+n)(m-n)
B ．a 3-a=a(a+1)(a-1)
C ．a 2-2a+1=a(a-2)+1
D ．x 2+2x-1=(x-1)2
6．下列计算一定正确的是（ ）
A ．235a b ab +=
B ．()
2
35
610a b a b -=
C ．623a a a ÷=
D ．()2
22a b a b +=+
7．若()(
)(
)
2
4
8
(21)2121211A =+++++，则A 的末位数字是（ ） A ．4
B ．2
C ．5
D ．6
8．已知2|5213|(310)0x y x y +-+--=，则x y 的立方根为（ ） A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
9．如图，△ABC 中，∠ABC ＝45°，CD ⊥AB 于D ，BE 平分∠ABC ，且BE ⊥AC 于E ，与CD 相交于点F ，DH ⊥BC 于H ，交BE 于G ，下列结论：①BD ＝CD ；②AD +CF ＝BD ；③CE ＝
1
2
BF ；④AE ＝BG ．其中正确的是（ ）
A ．①②
B ．①③
C ．①②③
D ．①②③④
10．在直角坐标系中，已知A （2，－2），在y 轴上确定一点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有（ ） A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
11．如图，已知∠A=∠D ， AM=DN ，根据下列条件不能够判定△ABN ≅△DCN 的是（ ）
A ．BM ∥CN
B ．∠M=∠N
C ．BM=CN
D ．AB=CD
12．已知两条线段15cm a =，8cm b =，下列线段能和a ，b 首尾相接组成三角形的是
（ ） A ．20cm
B ．7cm
C ．5cm
D ．2cm
二、填空题
13．计算：1
1|12|3-⎛⎫-= ⎪⎝⎭
______．
14．若关于x 的分式方程
11
222mx x x
-=---无解，则m =______． 15．因式分解()()2
6x mx x p x q +-=++，其中m 、p 、q 都为整数，则m 的最大值是______．
16．若2a x =，3b x =，则32a b x -=___________．
17．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A △，223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形；若48OA =，则
1n n n A B A +△的边长为______．
18．如图，等边△ABC 的边长为4，点D 在边AC 上，AD ＝1． （1）△ABC 的周长等于_____；
（2）线段PQ 在边BA 上运动，PQ ＝1，BQ ＞BP ，连接QD ，PC ，当四边形PCDQ 的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC ，QD ，并简要说明点P 和点Q 的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____．
19．如图，线段AB ，CD 相交于点O ，AO=BO ，添加一个条件， 能使AOC BOD ≅，所添加的条件的是___________________________．
20．AD 为ABC 的中线，AE 为ABC 的高，ABD △的面积为14，
7,
2AE CE ==则DE 的长为_________．
三、解答题
21．计算
（1）
22019
20200 11
22021 32
-
⎛⎫⎛⎫
---⨯+
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
；
（2）
22
22
412
2
x x x
x x x x
--+
-
--
．
22．先化简，再求值：
22
2263
1121
x x x
x x x x
++
-÷
+--+
，其中2
x=-．
23．某公司招聘外卖送餐员，送餐员的月工资由底薪1000元加上外卖送单补贴（送一次外卖称为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下：
外卖送单数量补贴（元/单）
每月不超过500单6
超过500但不超过m单的部分()
700900
m
≤≤8
超过m单的部分10
（2）设5月份某“外卖小哥”送餐x单()
500
x>，求他这个月的工资总额（用含x,m的代数式表示）．
24．如图，点E在ABC的边AB上，90
ABC EAD
∠=∠=︒，
30
BAC ADE
∠=∠=︒，DE的延长线交AC于点G，交BC延长线于点F．AB=AD，
BH⊥DF，垂足为H．
（1）求HAE
∠的度数；
（2）求证：DH FB FH
=+．
25．小敏在学习了几何知识后，对角的知识产生了兴趣，进行了如下探究：
（1）如图1，∠AOB＝90°，在图中动手画图（不用写画法）．在∠AOB内部任意画一条射线OC；画∠AOC的平分线OM，画∠BOC的平分线ON；用量角器量得∠MON＝______．（2）如图2，∠AOB＝90°，将OC向下旋转，使∠BOC＝30°，仍然分别作∠AOC，∠BOC 的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数，若能，求出其值，若不能，试说明理由．
26．在ABC 中，,20A B C A B ∠+∠=∠∠-∠=︒， （1）求A ∠，B ，C ∠的度数；
（2）ABC 按角分类，属于什么三角形ABC 按边分类，属于什么三角形？
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据公式列出12月与5月厨余垃圾分出率，根据12月的厨余垃圾分出率约是5月的厨余垃圾分出率的14倍列方程即可． 【详解】
5月份厨余垃圾分出率=660
660x
+，12月份厨余垃圾分出率=8400
7840010
x + ，
∴由题意得6608400
147660840010
x x
⨯=
++，
故选：B ． 【点睛】
此题考查分式方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
2．D
解析：D 【分析】
直接根据分母不变，分子相加运算出结果即可． 【详解】
解：A 、
112
a a a
+=，故错误； B 、原式=2211()()a b a b +--=2
2
()a b -，故错误；
C 、原式=m n m n a ---=﹣2n
a
，故错误；
D 、原式=11a b a b
---=0，故正确． 故选D ． 【点睛】
本题主要考查了分式的加减法，解题的关键是掌握运算法则，此题基础题，比较简单．
3．A
解析：A 【分析】
通过变号，把分母变成同分母，相加即可． 【详解】 原式＝232a b c a b c c b
a b c a b c a b c
-+-+---+-+-+-，
＝23()(2)
a b c a b c c b a b c
-+--+--+-，
＝
232a b c a b c c b
a b c
-+-+--++-，
＝0. 故选：A 【点睛】
本题考查了分式的加减，先把分母通过变号变为同分母是解题关键．
4．C
解析：C 【分析】
根据分式的加减运算的法则计算即可． 【详解】
222
()()a a b a b a b a b b a a b a b a b
+-++=-=-
----. 故选：C 【点睛】
本题考查了分式加减运算的法则，熟记法则是解题的关键．
5．B
解析：B 【分析】
根据因式分解的定义判断即可． 【详解】
解：A 、等号左右两边不相等，故错误； B 、a 3-a=a(a+1)(a-1)，故正确； C 、右边不是整式的积，故错误； D 、等号左右两边不相等，故错误． 故选：B ． 【点睛】
因式分解与整式的乘法互为逆变形，并且因式分解是等式的恒等变形，变形前后一定相等．
6．B
解析：B 【分析】
分别根据合并同类项的法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则以及完全平方公式解答即可． 【详解】
A 、2a 与3b 不是同类项，故不能合并，故选项A 不合题意；
B 、（-a 3b 5）2=a 6b 10，故选项B 符合题意；
C 、a 6÷a 2=a 4，故选项C 不符合题意；
D 、（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，故选项D 不合题意． 故选B ． 【点睛】
本题主要考查了幂的运算性质、合并同类项的法则以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
7．D
解析：D 【分析】
在原式前面加（2-1），利用平方差公式计算得到结果，根据2的乘方的计算结果的规律得到答案． 【详解】
()()()248(21)2121211A =+++++
=(
)(
)(
)
2
4
8
(21)(21)2121211-+++++ =()()()2
2
4
8
(21)2121211-++++ =()()4
4
8
(21)21211-+++ =()8
8
(2
1)2
11-++
=162，
∵2的末位数字是2，
2
2的末位数字是4，
3
2的末位数字是8，
4
2的末位数字是6，
5
2的末位数字是2，
，
∴每4次为一个循环，
∵1644
÷=，
∴162的末位数字与42的末位数字相同，即末位数字是6，
故选：D．
【点睛】
此题考查利用平方差公式进行有理数的简便运算，数字类规律的探究，根据2的乘方末位数字的规律得到答案是解题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
根据绝对值和平方式的非负性得到关于x、y的方程组，然后解方程组求得x、y值，代入求得x y即可求解．
【详解】
解：由题意，得：
52130 3100
x y
x y
+-=
⎧
⎨
--=
⎩
，
解得：
3
1 x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，
∴x y=（﹣1）3=﹣1，
∴x y的立方根为﹣1，
故选：B．
【点睛】
本题考查解二元一次方程组、绝对值和平方式的非负性、代数式求值、立方根，正确列出方程组是解答的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用ASA判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出
CE=AE=1
2
AC，又因为BF=AC所以CE=
1
2
AC=
1
2
BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角
形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是
斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．
【详解】
解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD＝CD．故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，
∵∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，且∠BFD＝∠EFC，∴∠DBF＝∠DCA．
又∵∠BDF＝∠CDA＝90°，BD＝CD，
∴△DFB≌△DAC．
∴BF＝AC；DF＝AD．
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故②正确；
在Rt△BEA和Rt△BEC中
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
又∵BE＝BE，∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC．
∴CE＝AE＝1
2
AC．
又由（2），知BF＝AC，
∴CE＝1
2AC＝
1
2
BF；故③正确；
连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD＝CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC．∴BG＝CG 在Rt△CEG中，
∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE＜CG．
∵CE＝AE，
∴AE＜BG．故④错误．
∴正确的选项有①②③；
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．在复杂的图形中有45°的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．
10．C
解析：C
【分析】
如果OA为等腰三角形的腰，有两种可能，①以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心AO为半径的圆弧与y轴有一个交点；②如果OA为等腰三角形的底，只有一种可能，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，所以符合条件的点一共4个．
【详解】
分二种情况进行讨论：
①当OA为等腰三角形的腰时，以O为圆心OA为半径的圆弧与y轴有两个交点，以A为圆心OA为半径的圆弧与y轴有一个交点；
②当OA为等腰三角形的底时，作线段OA的垂直平分线，与y轴有一个交点，
∴符合条件的点一共4个，
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，解题关键是根据两腰相等，分四种情况进行讨论．
11．C
解析：C
【分析】
利用全等三角形的判断方法进行求解即可．
【详解】
A、因为 BM∥CN，所以∠ABM=∠DCN，又因为∠A=∠D， AM=DN，
所以△ABN≅△DCN(AAS)，故A选项不符合题意；
B、因为∠M=∠N ，∠A=∠D， AM=DN，
所以△ABN≅△DCN(ASA)，故B选项不符合题意；
C、BM=CN ，不能判定△ABN≅△DCN，故C选项符合题意；
D、因为AB=CD，∠A=∠D， AM=DN，
所以△ABN≅△DCN(SAS)，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】
本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边
的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
12．A
解析：A
【分析】
根据三角形任意两边的和大于第三边，进行分析判断．
【详解】
A 、15+8=23>20，能组成三角形，符合题意；
B 、7+8=15，不能组成三角形，不合题意；
C 、5+8=13<15，不能组成三角形，不合题意；
D 、2+8=10＜15，不能组成三角形，不合题意．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较．
二、填空题
13．【分析】根据实数的性质即可化简求解【详解】解：故答案为：【点睛】本题主要考查了实数的运算解题的关键是掌握负指数幂的运算
解析：4【分析】
根据实数的性质即可化简求解．
【详解】
解：1
|131(14)3--==-
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查了实数的运算，解题的关键是掌握负指数幂的运算． 14．2或1【分析】将分式方程化成整式方程按照一元一次方程无解的条件及分式方程无解的条件求得m 的值即可【详解】解：方程两边同时乘以（x ﹣2）得：1﹣mx ＝－1﹣2（x ﹣2）整理得：（2﹣m ）x ＝2∵无解∴
解析：2或1
【分析】
将分式方程化成整式方程，按照一元一次方程无解的条件及分式方程无解的条件求得m 的值即可．
【详解】 解：方程11222mx x x
-=---两边同时乘以（x ﹣2）得：
1﹣mx ＝－1﹣2（x ﹣2），
整理得：（2﹣m ）x ＝2，
∵无解，
∴当2﹣m ＝0，即m ＝2时，方程无解；
当x ﹣2＝0时，方程也无解，此时x ＝2，
则2（2﹣m ）＝2，
解得m ＝1．
故答案为：2或1．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，明确分式方程和整式方程无解的条件是解题的关键． 15．5【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系按多项式乘以多项式法则把式子变形然后根据pq 的关系判断即可【详解】解：∵(x ＋p)(x ＋q)=x2＋（p+q ）x+pq=x2＋mx-6∴p+q=mpq=
解析：5
【分析】
根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p 、q 的关系判断即可．
【详解】
解：∵(x ＋p)(x ＋q)= x 2＋（p+q ）x+pq= x 2＋mx-6
∴p+q=m ，pq=-6，
∴pq=1×（-6）=（-1）×6=（-2）×3=2×（-3）=-6，
∴m=-5或5或1或-1，
∴m 的最大值为5，
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用．
16．【分析】根据同底数幂除法逆运算及积的乘方逆运算解答【详解】∵∴故答案为：【点睛】此题考查整式的运算公式：积的乘方计算及同底数幂除法计算正确掌握计算公式并熟练应用是解题的关键 解析：89
【分析】
根据同底数幂除法逆运算及积的乘方逆运算解答．
【详解】
∵2a x =，3b x =，
∴32a b x -=3232328()()239
a b a b x x x x ÷=÷=÷=，
故答案为：
89
． 【点睛】 此题考查整式的运算公式：积的乘方计算及同底数幂除法计算，正确掌握计算公式并熟练应用是解题的关键．
17．【分析】根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出OA2=A2B2=OA3OA3=A3B3=OA4…再将解得OA3==OA2==OA1=找到规律进而得出答案【详解】解：∵△A1B1A2是等边
解析：12n -
【分析】
根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出OA 2=A 2B 2=
12OA 3，OA 3=A 3B 3=
12OA 4…，再将48OA =解得OA 3=1842⨯==312-，OA 2=1422⨯==212-，OA 1=1112122
-⨯==，找到规律，进而得出答案． 【详解】
解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，
∴A 1B 1=A 2B 1，∠B 1A 1A 2=∠A 1B 1A 2=60°
∵∠MON=30°，
∴∠OB 1A 1=30°，∠OB 1A 2=90°
∴OA 1=A 1B 1=12
OA 2， 同理可得OA 2=A 2B 2=
12OA 3，OA 3=A 3B 3=12OA 4 ∵48OA =
∴OA 3=1842
⨯==312-，OA 2=1422⨯==212-，OA 1=1112122-⨯==， 以此类推△A n B n A n+1的边长为2n-1．
故答案为2n-1．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，根据得出的数值找到规律是解题的关键．
18．见解析过点C 作CE ∥AB 且CE=1作点D 关于AB 的对称点F 连接EF 交AB 于一点为Q 在AB 上BQ 之间截取PQ=1连接CPDQ 则四边形PCDQ 为所求的周长最小的四边形【分析】（1）根据三角形周长公式计算
解析：见解析，过点C 作CE ∥AB ，且CE=1，作点D 关于AB 的对称点F ，连接EF 交AB 于一点为Q ，在AB 上BQ 之间截取PQ=1，连接CP 、DQ ，则四边形PCDQ 为所求的周长最小
的四边形
【分析】
（1）根据三角形周长公式计算；
（2）过点C 作CE ∥AB ，且CE=1，作点D 关于AB 的对称点F ，连接EF 交AB 于一点为Q ，在AB 上BQ 之间截取PQ=1，连接CP 、DQ ，则四边形PCDQ 为所求的周长最小的四边形．
【详解】
（1）△ABC 的周长等于4312⨯=，
故答案为：12；
（2）如图：
故答案为：过点C 作CE ∥AB ，且CE=1，作点D 关于AB 的对称点F ，连接EF 交AB 于一点为Q ，在AB 上BQ 之间截取PQ=1，连接CP 、DQ ，则四边形PCDQ 为所求的周长最小的四边形．
．
【点睛】
此题考查等边三角形的性质，三角形周长计算公式，轴对称的性质，综合掌握各知识点是解题的关键．
19．或或或【分析】先根据对顶角相等可得再根据三角形全等的判定定理即可得【详解】由对顶角相等得：当时由定理可证当时由定理可证当时由定理可证当时则由定理可证故答案为：或或或【点睛】本题考查了对顶角相等三角形 解析：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD
【分析】
先根据对顶角相等可得AOC BOD ∠=∠，再根据三角形全等的判定定理即可得．
【详解】
由对顶角相等得：AOC BOD ∠=∠，
AO BO =，
∴当CO DO =时，由SAS 定理可证AOC BOD ≅，
当A B ∠=∠时，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，
当C D ∠=∠时，由AAS 定理可证AOC BOD ≅，
当//AC BD 时，则A B ∠=∠，由ASA 定理可证AOC BOD ≅，
故答案为：CO DO =或A B ∠=∠或C D ∠=∠或//AC BD ．
【点睛】
本题考查了对顶角相等、三角形全等的判定定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定
理是解题关键．
20．2或6【分析】利用面积法求出BD 即可求得CD 再分AE 在内部和外部求出DE 即可【详解】解：为的高△ABD 的面积为14AE=7∴∵为的中线∴CD=BD=4当AE 在内部时∵CE=2∴DE=CD-CE=2当
解析：2或6
【分析】
利用面积法求出BD ，即可求得CD ，再分AE 在ABC 内部和外部，求出DE 即可．
【详解】
解：AE 为ABC 的高，△ABD 的面积为14，AE=7， 1142∴⋅⋅=BD AE ， ∴2828=4,B 7
D ==A
E ∵AD 为ABC 的中线，
∴CD=BD=4， 当AE 在ABC 内部时
∵CE=2，
∴DE=CD-CE=2，
当AE 在ABC 外部时
∵CE=2，
∴DE=CD+CE=6，
故答案为：2或6
【点睛】
本题考查三角形的高、中线和面积，注意高可在三角形的内部和外部是解题的关键．
三、解答题
21．（1）12；（2）
3x
． 【分析】 （1）先分别计算负整数指数幂，逆运用同底数幂的乘法和计算零指数幂，再将结果相加即可；
（2）将原分式的分子分母分别因式分解后约分，再计算同分母分式的减法运算即可．
【详解】
解：（1）原式=2019122921⎛⎫--⨯⨯+ ⎪⎝⎭
=()9121--⨯+
=9+2+1
=12； （2）原式=2
(1)(2(2))(1))
(2x x x x x x x -+---- =
12x x
x x +-- =21x x
x +-+ =3x
． 【点睛】 本题考查零指数幂和负整数指数幂，同底数幂的乘法，分式的减法等．（1）中能逆运用同底数幂的乘法正确计算是解题关键；（2）中注意分式加减时，能约分，先给各自分别约分，再进行加减运算．
22．
21
x +，-2 【分析】 先将分式的分子分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再计算分式的乘法，最后计算分式的减法即可．
【详解】 解：2222631121
x x x x x x x ++-÷+--+ 2
22(3)(1)1(1)(1)3
x x x x x x x +-=-⋅++-+ 22(1)11x x x x -=
-++ 21
x =+，
当2x =-时，原式222211
=
==--+-． 【点睛】 本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则是解题的关键． 23．（1）3400元；（2）当500＜x≤m ，工资总额为8x ；当x ＞m ，工资总额为10x-2m
【分析】
（1）根据题意和表格中的数据可以求得若某“外卖小哥”4月份送餐400单，他这个月的工资总额；
（2）根据题意和表格中的数据可以写出各段工资总额与x 的关系式；
【详解】
解：（1）工资总额=1000+400×6=3400元
（2）当500＜x≤m ，工资总额为：1000+500×6+8（x-500）=8x
当x ＞m ，工资总额为：1000+500×6+8（m-500）+10（x-m ）=10x-2m
【点睛】
本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，分段分析解答．
24．（1）=15∠HAE ；（2）见解析
【分析】
（1）连接BG ，先根据等腰三角形的判定得出AG=AD ，再根据SSS 得出△AGH ≌△ABH ，从而得出=∠∠HAE HAG ，继而得出HAE ∠的度数；
（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ，根据垂直平分线的性质得出BF=BM ，再根据等腰三角形的判定得出DM=BM ，从而得出结论
【详解】
解：（1）连接BG
∵90EAD ∠=︒，30BAC ∠=︒，
∴∠DAG=120°，
∵30ADE ∠=︒，
∴30∠=∠=︒ADE AGD ，
∴AG=AD ，
∵AB=AD ，
∴AG=AB ，
∵30BAC ∠=︒，
∴75∠=∠=︒AGB ABG ，
∵BH ⊥DF ，90EAD ∠=︒，
∴=90∠∠=︒BHE EAD ，
∵=∠∠BEH AED ，
∴30∠=∠=︒ADE EBH ，
∴45∠=∠-∠=︒HBG ABG EBH ，
∵90FHB ∠=︒，
∴∠=∠HBG HGB ，
∴GH=BH ，
∵AG=AB ，AH=AH ，
∴△AGH ≌△ABH ，
∴=∠∠HAE HAG ，
∵30BAC ∠=︒，
∴=15∠HAE ；
（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ；
∵90ABC EAD ∠=∠=︒，
∴AD//BF ，
∴30∠=∠=︒F ADE ，
∵BH ⊥DF ，HM=HF ，
∴BF=BM
∴30∠=∠=︒F BMF
∵AB=AD ，90EAD ∠=︒
∴45ADB ∠=︒，
∵30ADE ∠=︒
∴15∠=︒MDB ，
∵30∠=︒=∠+∠BMF MBD MDB ，
∴==15∠∠MBD MDB ，
∴BM=DM=BF ，
∵DH=DM+HM ，
∴DH=FH+BF
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的性质，解
题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 25．（1）作图见解析，45；（2）能，45
【分析】
（1）以点O 为圆心，任意长为半径，画圆弧，并分别交OA 、OC 于点H 、点G ；再分别以
点H 、点G 为圆心，以大于12HG 的长度为半径画圆弧并相较于点P ，过点P 作射线OM 即为∠AOC 的平分线；同理得∠BOC 的平分线ON ；通过量角器测量即可得到∠MON ；
（2）根据题意，得114522
COM AOC BOC ∠=∠=+∠，12CON BOC ∠=∠，结合MON COM CON ∠=∠-∠，经计算即可得到答案．
【详解】
（1）作图如下
用量角器量得：∠MON ＝45
故答案为：45；
（2）∵∠AOC ，∠BOC 的平分线OM ，ON ，且∠AOB ＝90° ∴()11145222
COM AOC AOB BOC BOC ∠=∠=∠+∠=+∠ 12
CON BOC ∠=∠ ∴11454522
MON COM CON BOC BOC ∠=∠-∠=+
∠-∠=． 【点睛】
本题考查了角平分线、射线的知识；解题的关键是熟练掌握角平分线、角的运算的性质，从而完成求解．
26．（1）∠A=55°，∠B=35°，∠C=90°；（2）ABC 按角分类属于直角三角形，按边分类属于不等边三角形
【分析】
（1）根据三角形内角和定理根据方程组即可解决问题．
（2）根据三角形的分类解决问题即可．
【详解】
（1）由题意得：
20180A B C A B A B C ∠+∠=∠⎧⎪∠-∠=︒⎨⎪∠+∠+∠=︒⎩
，
解得：553590A B C ∠=︒⎧⎪∠=︒⎨⎪∠=︒⎩
，
∴∠A=55°，∠B=35°，∠C=90°；
（2）∵∠C=90°，∠A=55°，∠B=35°，
∴按角分类，属于直角三角形，
按边分类，属于不等边三角形．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形的分类等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．。