2021-2022学年江苏省无锡市新区中考二模数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．将抛物线y=x 2先向左平移2个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（ ）
A ．y=（x ﹣2）2+3
B ．y=（x ﹣2）2﹣3
C ．y=（x+2）2+3
D ．y=（x+2）2﹣3
2．已知5a b =，下列说法中，不正确的是（ ）
A ．50a b -=
B ．a 与b 方向相同
C ．//a b
D ．||5||a b = 3．如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则线段的长为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点C ，B ，E 在y 轴上，Rt △ABC 经过变化得到Rt △EDO ，若点B 的坐标为（0，1），OD ＝2，则这种变化可以是（ ）
A ．△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移5个单位长度
B ．△AB
C 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移5个单位长度
C ．△ABC 绕点O 顺时针旋转90°，再向左平移3个单位长度
D．△ABC绕点O逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度
5．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，其对称轴为x＝1，下列结论：①abc＞0；②2a＋b＝0；③4a＋2b＋c＜0；
④若(－，y1)，(，y2)是抛物线上两点，则y1＜y2，其中结论正确的是( )
A．①②B．②③C．②④D．①③④
6．据统计，2018年全国春节运输人数约为3 000 000 000人，将3 000 000 000用科学记数法表示为（）
A．0.3×1010B．3×109C．30×108D．300×107
7．山西有着悠久的历史，远在100 多万年前就有古人类生息在这块土地上．春秋时期，山西大部分为晋国领地，故山西简称为“晋”，战国初韩、赵、魏三分晋，山西又有“三晋”之称，下面四个以“晋”字为原型的Logo 图案中，是轴对称图形的共有（）
A．B．C．D．
8．如图，在平面直角坐标系中，以A（-1，0），B（2，0），C（0，1）为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点坐标的是（）
A．（3，1）B．（-4，1）C．（1，-1）D．（-3，1）
9．方程的解为（）
A．x=﹣1 B．x=1 C．x=2 D．x=3
10．若不等式组的整数解共有三个，则a的取值范围是（）
A ．5＜a ＜6
B ．5＜a ≤6
C ．5≤a ＜6
D ．5≤a ≤6
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM 的周长为 . 12．计算：364-的值是______________．
13．已知抛物线2y ax bx c =++开口向上且经过点()1,1，双曲线1y 2x
=经过点()a,bc ，给出下列结论：bc 0①>；b c 0+>②；b ③，c 是关于x 的一元二次方程()21x a 1x 02a
+-+
=的两个实数根；a b c 3.--≥④其中正确结论是______(填写序号) 14．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B′重合，AE 为折痕，则EB′＝ _______．
15．如果两个相似三角形对应边上的高的比为1：4，那么这两个三角形的周长比是___．
16．将多项式32m mn -因式分解的结果是 ．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）已如：⊙O 与⊙O 上的一点A
（1）求作：⊙O 的内接正六边形ABCDEF ；（ 要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）
（2）连接CE ，BF ，判断四边形BCEF 是否为矩形，并说明理由．
18．（8分）如图，已知二次函数2231284
y x mx m m =-++-的图象与x 轴交于A ，B 两点(A 在B 左侧)，与y 轴交于点C ，顶点为D ．
（1）当2m =-时，求四边形ADBC 的面积S ；
（2）在（1）的条件下，在第二象限抛物线对称轴左侧上存在一点P ，使2PBA BCO ∠=∠，求点P 的坐标；
（3）如图2，将（1）中抛物线沿直线3184y x =-向斜上方向平移734
个单位时，点E 为线段OA 上一动点，EF x ⊥轴交新抛物线于点F ，延长FE 至G ，且OE AE FE GE =，若EAG ∆的外角平分线交点Q 在新抛物线上，求Q 点坐标．
19．（8分）如图所示，点B 、F 、C 、E 在同一直线上，AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，连接AC 、DF ，且AC=DF ，BF=CE ，求证：AB=DE ．
20．（8分）为了解今年初三学生的数学学习情况，某校对上学期的数学成绩作了统计分析，绘制得到如下图表．请结合图表所给出的信息解答下列问题： 成绩
频数 频率 优秀
45 b 良好
a 0.3 合格
105 0.35 不合格 60 c
（1）该校初三学生共有多少人？求表中a ，b ，c 的值，并补全条形统计图．初三（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
21．（8分）如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从B点出发，沿B→C→D→A匀速运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，图象如图2所示．
（1）在这个变化中，自变量、因变量分别是、；
（2）当点P运动的路程x＝4时，△ABP的面积为y＝；
（3）求AB的长和梯形ABCD的面积．
22．（10分）计算：
（1）（22）2﹣|﹣4|+3﹣1×6+20；
（2）
2
2
211
1442
x x
x x x x
--
⋅-
--+-
．
23．（12分）解不等式组
211
14(2)
x
x x
+-
⎧
⎨
+>-⎩
24．如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C．求证：BC是⊙O的切线；若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解析】
先得到抛物线y=x 2的顶点坐标（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后的对应点的坐标为（-2，-1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】
解：抛物线y=x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到对应点的坐标为（-2，-1），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-1．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
2、A
【解析】
根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．
【详解】
A 、50a b -=，故该选项说法错误
B 、因为5a b =，所以a 与b 的方向相同，故该选项说法正确，
C 、因为5a b =，所以//a b ，故该选项说法正确，
D 、因为5a b =，所以||5||a b =；故该选项说法正确，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．
3、C
【解析】
设BN=x ，则由折叠的性质可得DN=AN=9-x ，根据中点的定义可得BD=3，在Rt △BND 中，根据勾股定理可得关于x
的方程，解方程即可求解．
【详解】
设，则.
由折叠的性质，得.
因为点是的中点，
所以.
在中，
由勾股定理，得，
即，
解得，
故线段的长为4.
故选C.
【点睛】
此题考查了折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，熟练掌握折叠的性质及勾股定理是解答本题的关键．4、C
【解析】
Rt△ABC通过变换得到Rt△ODE,应先旋转然后平移即可
【详解】
∵Rt△ABC经过变化得到Rt△EDO，点B的坐标为（0，1），OD＝2，
∴DO＝BC＝2，CO＝3，
∴将△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位长度，即可得到△DOE；
或将△ABC绕点O顺时针旋转90°，再向左平移3个单位长度，即可得到△DOE；
故选：C．
【点睛】
本题考查的是坐标与图形变化旋转和平移的知识，解题的关键在于利用旋转和平移的概念和性质求坐标的变化
5、C
【解析】
试题分析：根据题意可得：a0，b0，c0，则abc0，则①错误；根据对称轴为x=1可得：=1，则-b=2a，即
2a+b=0，则②正确；根据函数的轴对称可得：当x=2时，y0，即4a+2b+c0，则③错误；对于开口向下的函数，离对称轴越近则函数值越大，则，则④正确.
点睛：本题主要考查的就是二次函数的性质，属于中等题.如果开口向上，则a0，如果开口向下，则a0；如果对称轴在y轴左边，则b的符号与a相同，如果对称轴在y轴右边，则b的符号与a相反；如果题目中出现2a+b和2a-b 的时候，我们要看对称轴与1或者-1的大小关系再进行判定；如果出现a+b+c，则看x=1时y的值；如果出现a-b+c，则看x=-1时y的值；如果出现4a+2b+c，则看x=2时y的值，以此类推；对于开口向上的函数，离对称轴越远则函数值越大，对于开口向下的函数，离对称轴越近则函数值越大.
6、B
【解析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.
【详解】
解：根据科学计数法的定义可得，3 000 000 000=3×109，故选择B.
【点睛】
本题考查了科学计数法的定义，确定n的值是易错点.
7、D
【解析】
根据轴对称图形的概念求解．
【详解】
A、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、不是轴对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，故此选项正确．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
8、B
【解析】
作出图形，结合图形进行分析可得.
如图所示：
①以AC为对角线，可以画出▱AFCB，F（-3，1）；
②以AB为对角线，可以画出▱ACBE，E（1，-1）；
③以BC为对角线，可以画出▱ACDB，D（3，1），
故选B.
9、B
【解析】
观察可得最简公分母是（x-3）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】
方程的两边同乘(x−3)(x+1)，得
(x−2) (x+1)=x(x−3)，
，
解得x=1.
检验：把x=1代入(x−3)(x+1)=-4≠0.
∴原方程的解为：x=1.
故选B.
【点睛】
本题考查的知识点是解分式方程，解题关键是注意解得的解要进行检验.
10、C
【解析】
首先确定不等式组的解集，利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
解不等式组得：2＜x≤a ，
∵不等式组的整数解共有3个，
∴这3个是3，4，5，因而5≤a ＜1．
故选C ．
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a 的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、1．
【解析】
∵AB ＝5，AD ＝12，
∴根据矩形的性质和勾股定理，得AC ＝13.
∵BO 为R ｔ△ABC 斜边上的中线
∴BO ＝6.5
∵O 是AC 的中点，M 是AD 的中点，
∴OM 是△ACD 的中位线
∴OM ＝2.5
∴四边形ABOM 的周长为：6.5＋2.5＋6＋5＝1
故答案为1
12、-1
【解析】
－1．故答案为：－1．
13、①③
【解析】
试题解析：∵抛物线2y ax bx c =++开口向上且经过点（1，1），双曲线12y x =经过点（a ，bc ），∴0112a a b c bc a ⎧⎪>⎪++=⎨⎪⎪=⎩
，∴bc ＞0，故①正确；
∴a ＞1时，则b 、c 均小于0，此时b +c ＜0，当a =1时，b +c =0，则与题意矛盾，当0＜a ＜1时，则b 、c 均大于0，此时b +c ＞0，故②错误； ∴21(1)02x a x a
+-+
=可以转化为：2()0x b c x bc +++=，得x =b 或x =c ，故③正确； ∵b ，c 是关于x 的一元二次方程21(1)02x a x a +-+=的两个实数根，∴a ﹣b ﹣c =a ﹣（b +c ）=a +（a ﹣1）=2a ﹣1，当a ＞1时，2a ﹣1＞3，当0＜a ＜1时，﹣1＜2a ﹣1＜3，故④错误；
故答案为①③．
14、1.5
【解析】
在Rt △ABC 中，5AC ，∵将△ABC 折叠得△AB′E ，∴AB′＝AB ，B′E ＝BE ，∴B′C ＝5－3＝1．设B′E ＝BE ＝x ，则CE ＝4－x ．在Rt △B′CE 中，CE 1＝B′E 1＋B′C 1，∴（4－x ）1＝x 1＋11．解之得32
x =
． 15、1:4
【解析】
∵两个相似三角形对应边上的高的比为1∶4，
∴这两个相似三角形的相似比是1：4
∵相似三角形的周长比等于相似比，
∴它们的周长比1：4，
故答案为：1：4.
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高、相似三角形的周长比都等于相似比.
16、m （m+n ）（m ﹣n ）．
【解析】
试题分析：原式=22()m m n -=m （m+n ）（m ﹣n ）．故答案为：m （m+n ）（m ﹣n ）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
三、解答题（共8题，共72分）
17、（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
（1）如图，在⊙O 上依次截取六段弦，使它们都等于OA ，从而得到正六边形ABCDEF ；
（2）连接BE ，如图，利用正六边形的性质得AB=BC=CD=DE=EF=FA ，AB BC CD DE EF AF =====，则判断BE 为直径，所以∠BFE=∠BCE=90°，同理可得∠FBC=∠CEF=90°，然后判断四边形BCEF 为矩形．
【详解】
解:（1）如图，正六边形ABCDEF 为所作；
（2）四边形BCEF 为矩形．理由如下：
连接BE ，如图，
∵六边形ABCDEF 为正六边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA ，
∴AB BC CD DE EF AF =====，
∴BC CD DE EF AF AB ++=++，
∴BAE BCE =，
∴BE 为直径，
∴∠BFE=∠BCE=90°，
同理可得∠FBC=∠CEF=90°，
∴四边形BCEF 为矩形．
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的判定与正六边形的性质．
18、（1）4；（2）15(4P -，33)16；（3）3(1,)4Q -． 【解析】
（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，求出二次函数的顶点D 的坐标，然后求出A 、B 、C 的坐标，然后根据ABC ABD
S S S ∆∆=+即可得出结论；
（2）设点2(,43)P t t t ++是第二象限抛物线对称轴左侧上一点，将BOC ∆沿y 轴翻折得到COE ∆，点(1,0)E ，连接CE ，过点B 作BF CE ⊥于F ，过点P 作PG x ⊥轴于G ，证出PBG BCF ∆∆∽，列表比例式，并找出关于t 的方程即可得出结论；
（3）判断点D 在直线3184
y x =-上，根据勾股定理求出DH ，即可求出平移后的二次函数解析式，设点(m,0)E ，(,0)T n ，
过点Q 作QM EG ⊥于M ，QS AG ⊥于S ，QT x ⊥轴于T ，根据勾股定理求出AG ，联立方程即可求出m 、n ，从而求出结论．
【详解】
解：（1）过点D 作DE ⊥x 轴于点E
当2m =-时，得到22
43(2)1y x x x =++=+-， ∴顶点(2,1)D --，
∴DE=1
由2430x x ++=，得13x =-，21x =-；
令0x =，得3y =；
(3,0)A ∴-，(1,0)B -，(0,3)C ，
2AB ∴=，OC=3 11422
ABC ABD S S S AB OC AB DE ∆∆∴=+=⨯+⨯=． （2）如图1，设点2(,43)P t t t ++是第二象限抛物线对称轴左侧上一点，将BOC ∆沿y 轴翻折得到COE ∆，点(1,0)E ，连接CE ，过点B 作BF CE ⊥于F ，过点P 作PG x ⊥轴于G ，
由翻折得：BCO ECO ∠=∠，
2BCF BCO ∴∠=∠；
2PBA BCO ∠=∠，
PBA BCF ∴∠=∠，
PG x ⊥轴，BF CE ⊥，
90PGB BFC ∴∠=∠=︒，
PBG BCF ∴∆∆∽， ∴PG BF BG CF
=
由勾股定理得：
BC EC ==
CO BE BF CE ⨯=⨯
∴
OC BE BF CE ⨯===
∴
CF =， ∴34
PG BF BG CF ==， 43PG BG ∴=
243PG t t =++，1BG t =--，
24(43)3(1)t t t ∴++=--，
解得：1
1t =-(不符合题意，舍去)，2154t =-； 15(4P ∴-，33)16
． （3）原抛物线2(2)1y x =+-的顶点(2,1)D --在直线3184
y x =-上， 直线3184y x =-交y 轴于点1(0,)4
H -， 如图2，过点D 作DN y ⊥轴于N ，
DH =； ∴由题意，平移后的新抛物线顶点为1(0,)4H -，解析式为214
y x =-， 设点(m,0)E ，(,0)T n ，则OE m =-，12AE m =+，214
EF m =-， 过点Q 作QM EG ⊥于M ，QS AG ⊥于S ，QT x ⊥轴于T ，
OE AE FE GE =，
221
m GE m ∴=-，
∴222221241()()22124m m AG AE EG m m m +=+=++=--
GQ 、AQ 分别平分AGM ∠，GAT ∠，
QM QS QT ∴==，
点Q 在抛物线上，
21(,)4
Q n n ∴-， 根据题意得：2221441112242
421m n n m m n n m m ⎧-=-⎪⎪⎨+⎪++=--⎪--⎩ 解得：141
m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩
3(1,)4
Q ∴- 【点睛】
此题考查的是二次函数的综合大题，难度较大，掌握二次函数平移规律、二次函数的图象及性质、相似三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．
19、证明见解析
【解析】
试题分析：证明三角形△ABC ≅△DEF ,可得AB ＝DE .
试题解析：
证明：∵BF ＝CE ，
∴BC=EF ,
∵AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，
∴∠B =∠E =90°，AC=DF ,
∴△ABC △DEF, ∴AB=DE.
20、（1）300人（2）b=0.15，c=0.2；（3）1 6
【解析】
分析：(1)利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数;
(2)利用(1)中所求,结合频数÷总数=频率,进而求出答案;
(3)根据题意画出树状图,然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.
详解：（1）由题意可得：该校初三学生共有：105÷0.35=300（人），
答：该校初三学生共有300人；
（2）由（1）得：a=300×0.3=90（人），
b==0.15，
c==0.2；
如图所示：
（3）画树形图得：
∵一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种，
∴P（抽到甲和乙）==．
点睛：此题主要考查了树状图法求概率以及条形统计图的应用,根据题意利用树状图得出所有情况是解题关键.
21、（1）x，y；（2）2；（3）AB=8，梯形ABCD的面积=1．
【解析】
（1）依据点P运动的路程为x，△ABP的面积为y，即可得到自变量和因变量；
（2）依据函数图象，即可得到点P运动的路程x=4时，△ABP的面积；
（3）根据图象得出BC的长，以及此时三角形ABP面积，利用三角形面积公式求出AB的长即可；由函数图象得出
DC 的长，利用梯形面积公式求出梯形ABCD 面积即可．
【详解】
（1）∵点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，∴自变量为x ，因变量为y ．
故答案为x ，y ；
（2）由图可得：当点P 运动的路程x =4时，△ABP 的面积为y =2．
故答案为2；
（3）根据图象得：BC =4，此时△ABP 为2，∴
12AB •BC =2，即12
×AB ×4=2，解得：AB =8； 由图象得：DC =9﹣4=5，则S 梯形ABCD =12×BC ×（DC +AB ）=12×4×（5+8）=1． 【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象，弄清函数图象上的信息是解答本题的关键．
22、（1）1；（2）
2x x -． 【解析】
（1）先计算乘方、绝对值、负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减运算可得；
（2）先将分子、分母因式分解，再计算乘法，最后计算减法即可得．
【详解】
（1）原式=8-4+
13
×6+1 =8-4+2+1
=1． （2）原式=()()()
21121•122x x x x x x -+----- =
1122
x x x +--- =2x x -． 【点睛】
本题主要考查实数和分式的混合运算，解题的关键是掌握绝对值性质、负整数指数幂、零指数幂及分式混合运算顺序和运算法则．
23、﹣1≤x ＜1．
【解析】
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．
【详解】
解不等式2x+1≥﹣1，得：x≥﹣1，
解不等式x+1＞4（x ﹣2），得：x ＜1，
则不等式组的解集为﹣1≤x ＜1．
【点睛】
此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24、（1）详见解析；（2）BD=9.6.
【解析】
试题分析：(1)连接OB ，由垂径定理可得BE =DE ，
OE ⊥BD ，12BF DF BD == ，再由圆周角定理可得BOE A ∠=∠ ，从而得到∠ OBE ＋∠ DBC ＝90°，即90OBC ∠=︒ ，命题得证.
(2)由勾股定理求出OC ，再由△OBC 的面积求出BE ，即可得出弦BD 的长.
试题解析：(1)证明：如下图所示，连接OB .
∵ E 是弦BD 的中点，∴ BE ＝DE ，OE ⊥ BD ，12
BF DF BD ==
， ∴∠ BOE ＝∠ A ，∠ OBE ＋∠ BOE ＝90°.
∵∠ DBC ＝∠ A ，∴∠ BOE ＝∠ DBC ，
∴∠ OBE ＋∠ DBC ＝90°，∴∠ OBC ＝90°，即BC ⊥OB ，∴ BC 是⊙ O 的切线．
(2)解：∵ OB ＝6，BC ＝8，BC ⊥OB ，∴2210OC OB BC += ,
∵1122OBC S OC BE OB BC =⋅=⋅ ，∴68 4.810
OB BC BE OC -⨯=== ， ∴29.6BD BE ==.
点睛：本题主要考查圆中的计算问题，解题的关键在于清楚角度的转换方式和弦长的计算方法.。