高中数学 第一章 导数及其应用 1.1 变化率与导数(第1课时)课堂探究 新人教A版选修2-2(2

人教A版选修2-2
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究新人教A版选修2—2
探究一求函数的平均变化率
求平均变化率的主要步骤是：
（1)计算Δy：计算函数值的改变量Δy＝f（x1)－f(x0)．
(2）计算Δx：计算自变量的改变量Δx＝x1－x0。

（3)结论：平均变化率错误!＝错误!。

【典型例题1】已知函数f(x）＝3x2＋2。

（1）求在区间［x0,x0＋Δx］上的平均变化率;
(2)求当x0＝2,Δx＝0.1时的平均变化率;
（3)若令x′0＝x0＋Δx(x0＝2，Δx＝0。

1)，分析（2)中的平均变化率的几何意义．思路分析：解答本题要紧扣平均变化率的定义，先求Δy，Δx，再求错误!。

解：（1)∵f(x)＝3x2＋2，∴f(x0)＝3x02＋2，f(x0＋Δx)＝3（x0＋Δx）2＋2＝3x02＋6x0·Δx ＋3(Δx）2＋2。

∴Δy＝f(x0＋Δx）－f(x0)＝6x0·Δx＋3(Δx)2。

∴f（x)在［x0，x0＋Δx］上的平均变化率为Δy
Δx
＝错误!＝6x0＋3Δx。

（2）当x0＝2，Δx＝0。

1时，平均变化率为错误!＝6×2＋3×0.1＝12。

3.
（3）错误!＝错误!＝错误!，它表示曲线f(x）＝3x2＋2上点A（2,14)，B（2。

1,15.23）连线的斜率．
【典型例题2】已知某运动物体的位移公式为s＝s（t)＝错误!t2，求该运动物体在第2 s 后的0.1 s内的平均速度．（位移单位：m，时间单位：s)
解:∵Δs＝s(2＋0。

1）－s（2），
∴Δs＝1
2
×2.12－
1
2
×22＝0。

205。

∴错误!＝错误!＝2.05，即错误!＝错误!＝2。

05（m/s)．
探究二求瞬时速度
1．求运动物体瞬时速度的三个步骤
第一步,求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s（t0＋Δt）－s(t0)．
第二步，求平均速度v＝错误!。

第三步，求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，错误!无限趋近的常数v即为瞬时速度．2．求错误!(当Δx无限趋近于0时）的极限的方法
（1）在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．
(2)求出错误!的表达式并化简(如对Δx约分）后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0,求出结果即可．
【典型例题3】一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，求a.
思路分析:先根据瞬时速度的求法得到汽车在t＝2时的瞬时速度的表达式，再代入求出a 的值．
解:∵s＝at2＋1，
∴s（2＋Δt）＝a(2＋Δt)2＋1＝4a＋4aΔt＋a（Δt）2＋1。

于是Δs＝s（2＋Δt)－s(2)＝4a＋4aΔt＋a（Δt)2＋1－(4a＋1)＝4aΔt＋a(Δt）2，∴错误!＝错误!＝4a＋aΔt。

因此错误!错误!＝错误!（4a＋aΔt）＝4a，
依题意有4a＝12,∴a＝3。

探究三利用定义求函数在某一点处的导数
利用导数定义求函数在一点处的导数，通常用“三步法”．
(1)计算函数值的增量:
Δy＝f(x0＋Δx)－f（x0）;
（2）计算函数值的增量与自变量增量Δx的比：错误!；
(3）计算上述增量的比值当Δx→0时的极限，即错误!错误!＝错误!错误!。

【典型例题4】求函数y＝f（x）＝x－错误!在x＝1处的导数．
思路分析：解答本题要紧扣导数的定义,函数f(x)＝x－错误!在x＝1处的导数就是f（x）＝x－错误!在x＝1处的瞬时变化率．
解:∵Δy＝（1＋Δx）－错误!－错误!
＝Δx＋1－错误!＝Δx＋错误!，
∴错误!＝错误!＝1＋错误!，
∴lim
Δx→0Δy
Δx
＝错误!错误!＝2.
∴f′(1）＝2。

探究四易错辨析
易错点：对导数的概念理解不清而导致出错
【典型例题5】设函数f(x)在点x0处可导，且f′（x0）已知，求下列各式的极限值．
(1)错误!错误!；
（2）错误!错误!。

错解：（1）错误!错误!＝f′(x0)．
(2）错误!错误!
＝错误!错误!错误!＝错误!f′(x0)．
错因分析：在导数的定义中，增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx是哪种形式，Δy 必须选择相对应的形式．如(1）中Δx的改变量为Δx＝x0－(x0－Δx)，（2）中Δx的改变量为2h＝（x0＋h)－（x0－h)．
正解：(1）错误!错误!
＝－错误!错误!＝－f′(x0）．
(2)错误!错误!＝f′（x0)．。