等边三角形性质与判定练习题

第 1课时等边三角形的性质和判定（课堂训练）
一．选择题（共 8 小
题）
1．如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠ β的度数是
（）A ． 180°B． 220°C． 240° D ． 300°
2．下列说法正确的是（）
A ．等腰三角形的两条高相等C．有一个角是 60 °的锐角三角形是等边三角形
B ．等腰三角形一定是锐角三角形 D ．三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等3．在△AB
C 中，① 若 AB=BC=CA ，则△ ABC 为等边三角形；②若∠ A= ∠ B=∠ C，则△ABC
为等边三角形；③有两个角都是 60°的三角形是等边三角形；④一个角为 60°的等腰三角形
是等边三角形．上述结论中正确的有
（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图， CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高，将△ BCD 沿 CD 折叠， B 点恰好落在AB 的中
点 E 处，则∠ A 等于（）A．25°B． 30°C．45°D． 60°
5．如图，已知D、 E、 F 分别是等边△ABC的边AB、BC、A C上的点，
且 DE⊥ BC 、 EF⊥ AC 、FD ⊥AB ，则下列结论不成立的是（）
A ．△ DEF是等边三角形B．△ ADF ≌△ BED ≌△ CFE
C．DE=ABD ．S△ABC=3S △ DEF
6．如图，在△ ABC 中，D、E 在 BC 上，且 BD=DE=AD=AE=EC，则∠ BAC的度数是（）
A． 30°B． 45°C． 120°D． 15°
7．如图，在△ ABC 中， AB=AC ，∠ A=120 °， BC=6cm ，AB 的垂直平分线交BC 于点 M ，交 AB 于点 E ， AC 的垂直平分线交BC 于点 N ，交 AC 于点 F，则 MN 的长为（）
A ． 4cmB． 3cmC． 2cmD． 1cm
第 1 题第 4 题第 5 题第 7 题
8．已知∠ AOB=30 °，点 P 在∠ AOB 内部， P1与 P 关于 OB 对称， P2与 P 关于 OA 对称，
则 P1， O， P2三点所构成的三角形是（）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
二．填空题（共10 小题）
9．已知等腰△ ABC 中， AB=AC ，∠ B=60 °，则∠
A= _____ ____ 度．
10．△ ABC 中，∠ A= ∠B=6 0°，且 AB=10cm ，则
BC= _________ cm．
11．在△ ABC 中，∠ A= ∠ B= ∠ C，则△ABC
是_________ 三角形．
12．如图，将两个完全相同的含有 30°角的三角板拼接在一
起，则拼接后的△ ABD 的形状是_________
13．如图， M 、 N 是△ ABC 的边 BC 上的两点，且BM=MN=NC=AM=AN．则∠ BAN=
_________．
..
14．如图，用圆规以直角顶点O 为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、 B 两点，
若再以 A 为圆心，以OA 为半径画弧，与弧AB 交于点 C，则∠ AOC 等于多少？
15．已知：如图，△ ABC是等边三角形， BD是中线，延长 BC到 E，使 CE=CD，不添辅助线，请你写出三个正确结论(1)_______ _______；(2)______________ ；
(3)______________.
A
D
BCE
16．如图，将边长为6cm 的等边三角形△ABC沿BC方向向右平移后得△DEF，DE、AC
相交于点 G，若线段CF=4cm ，则△ GEC 的周长是_________cm．
17．如图，在等边△ABC 中，D、E 分别是 AB 、AC 上的点，且 AD=CE ，则∠ BCD+ ∠CBE=
_________度．
..
课后作业
1.
2.等边三角形是轴对称图形，它有_________条对称轴。

3.等边三角形两个内角的平分线所成的钝角的度数是 _____________.
4.若一个三角形有两个外角都是120°，则这个三角形是 __________ 三角形。

5.等边三角形的两条中线相交所成的锐角的度数是____ _____。

6.若等腰三角形腰上的中线垂直于腰，则这个三角
形是_________三角形。

7.若右图所示，已知点 D在 BC上，点 E 在 AD上， BE=AE=CE,并且∠ 1=∠ 2= 6 0° .
求证：△ ABC是等边三角形。

7．如下图：等边△ABC，D 是三角形外一点，若 AD=AC ，则∠ BDC=_____________度。

8、已知△ ABC 中，∠A=∠ B=60°，AB=3cm则△ ABC的周长________
△A BC 是等腰三角形，周长为 15cm 且∠ A=60 °，则 BC=_______
9．三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠ 1+∠ 2=_______°．
10．如图，△ ABD 与△ AEC 都是等边三角形， AB ≠AC ．下列结论中，正确的是_________．
①BE=CD ；② ∠ BO D=60 °；③ ∠BDO= ∠CEO．
11.如右图所示，在等边三角形ABC 的边 AB 、 AC 上分别截出
AD =AE ，△ ADE是等边三角形吗？说明理由。

12．如图，△ ABC为等边三角形， AE=CD， AD、 BE 相交于点P， BQ⊥AD于点 Q， PQ=3， PE=1．（1）求证： AD=BE；
（2）求 AD的长
13．已知，如图，延长△ABC 的各边，使得 BF=AC ，AE=CD=AB ，顺次连接D， E， F，得到△ DEF 为等边三角形．求证：（ 1）△ AEF ≌△ CDE ；（ 2）△ ABC 为等边三角形..
14．如图，已知△ABC 为等边三角形，点 D、 E 分别在 BC 、AC 边上，且 AE=CD ， AD 与BE 相交于点 F．
（1）求证：△ ABE ≌△ CAD ；
（2）求∠ BFD 的度数．
15．如图， D 是等边△ ABC 的边 AB 上的一动点，以 CD 为一边向上作等边△ EDC ，连接AE ，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
16．已知：如图，在△ ABC 中， AB=BC ，∠ ABC=120 °，BE⊥ AC 于点 D ，且 DE=DB ，试判断△ CEB 的形状，并说明理由．
17．如图，已知B、C、E 三点共线，分别以BC、CE 为边作等边△ ABC 和等边
△CDE，连接 BD、AE 分别与 AC、CD 交于 M 、N，AE 与 BD 的交点为 F．
（ 1）求证： BD=AE ；（ 2）
求∠ AFB 的度数；（ 3）求
证： BM=AN ；
（ 4）连接 MN ，求证： MN ∥BC．
..
23．已知：如图 1，点 C 为线段 AB 上一点，△ ACM ，△ CBN 都是等边三角形， AN 交 MC 于点 E，BM 交 CN 于点 F．
（1）求证： AN=BM ；
（2）求证：△ CEF 为等边三角形；
（3）将△ ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°，其他条件不变，在图 2 中补出符合要求的形，并判断第（ 1）、（ 2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明
一、 CDDBDCCD
二、 9、 60； 10、 10； 11、等边； 12、等边三角形；13、 90 度； 14、60 度； 15、 6；
16、 60； 17、 130；18、①②
三、 19、（1）证明：∵△ABC 为等边三角形，
∴∠ BAC= ∠ C=60°， AB=CA ，即∠ BAE= ∠ C=60 °，
在△ ABE 和△ CAD 中，，
∴△ ABE ≌△ CAD （ SAS）．
（2）解：∵∠ BFD= ∠ ABE+ ∠ BAD ，
又∵△ ABE ≌△ CAD ，
∴∠ ABE= ∠ CAD ．
∴∠ BFD= ∠ CAD+ ∠ BAD= ∠ BAC=60 °．
20、解答：解：△ BDC ≌△ AEC．理由如下：
∵△ ABC 、△ EDC 均为等边三角形，
∴B C=AC ， DC=EC ，∠ BCA= ∠
ECD=60 °．从而∠ BCD= ∠ ACE ．
在△ BDC 和△ AEC 中，，
∴△ BDC ≌△ AEC （ SAS）．
21、解答：证明：（1）∵ BF=AC，AB=AE（已知）
∴F A=EC （等量加等量和相等）．（ 1 分）
∵△ DEF 是等边三角形（已知），
∴E F=DE （等边三角形的性质）．（ 2 分）
又∵ AE=CD （已知），
∴△ AEF ≌△ CDE （ SSS）．（ 4 分）
（ 2）由△ AEF ≌△ CDE ，得∠ FEA= ∠ EDC（对应角相等），
∵∠ BCA= ∠ EDC+ ∠ DEC= ∠ FEA+ ∠ DEC= ∠ DEF （等量代
换），△ DEF 是等边三角形（已知），
∴∠ DEF=60 °（等边三角形的性质），
∴∠ BCA=60 °（等量代换），
..
由△ AEF ≌△ CDE ，得∠ EFA=∠ DEC ，
∵∠ DEC+ ∠ FEC=60 °，
∴∠ EFA+∠ FEC=60 °，
又∠ BAC 是△ AEF 的外角，
∴∠ BAC= ∠ EFA+∠ FEC=60 °，
∴△ ABC 中， AB=BC （等角对等边）．（ 6 分）
∴△ ABC 是等边三角形（等边三角形的判定）．（7分）
22、解答：解：△ CEB是等边三角形．（1分）
证明：∵ AB=BC ，∠ ABC=120 °， BE⊥ AC ，
∴∠ CBE=∠ ABE=60 °．（ 3 分）
又DE=DB ， BE⊥ AC ，
∴ CB=C E．（ 5 分）
∴△ CEB 是等边三角形．（ 7 分）
23、（ 1）证明：∵△ ACM ，△ CBN 是等边三角形，
∴A C=MC ， BC=NC ，∠ ACM=60 °，∠ NCB=60 °，
∴∠ ACM+ ∠ MCN= ∠ NCB+ ∠ MCN ，
即：∠ ACN= ∠ MCB ，
在△ ACN 和△ MCB 中，
AC=MC ，∠ ACN= ∠ MCB ， NC=BC ，
∴△ ACN ≌△ MCB （SAS）．
∴A N=BM ．
（2）证明：∵△ AC N≌△ MCB ，
∴∠ CAN= ∠ CMB ．
又∵∠ MCF=180 °﹣∠ ACM ﹣∠ NCB=180 °﹣ 60°﹣ 60°=60°，∴∠ MCF= ∠ ACE ．
在△ CAE 和△ CMF 中
∠C AE= ∠ CMF ， CA=CM ，∠ ACE= ∠ MCF ，
∴△ CAE ≌△ CMF （ ASA ）．
∴ CE=CF ．
∴△ CEF 为等腰三角
形．又∵∠ ECF=60 °，
∴△ CEF 为等边三角
形．（ 3）解：如右图，
∵△ CMA 和△ NCB 都为等边三角形，
∴ MC=CA ， CN=CB ，∠ MCA= ∠ BCN=60 °，
∴∠ MCA+ ∠ACB= ∠BCN+ ∠ACB ，即∠ MCB= ∠ ACN ，
∴△ CMB ≌△ CAN ，
∴ AN=MB ，
结论 1 成立，结论 2 不成立．
..。