2020_2021学年高中数学第二章平面向量及其应用4.1平面向量基本定理课后习题含解析北师大版必修

§4 平面向量基本定理及坐标表示
4.1 平面向量基本定理
课后篇巩固提升
基础达标练
1.设e 1,e 2是不共线的向量,则下面四组向量中,能作为一组基的组数有( )
①e 1和e 1+e 2;②e 1-2e 2和e 2-2e 1;③e 1-2e 2和4e 2-2e 1;④2e 1+e 2和e 1-e 2.
A .1组
B .2组
C .3组
D .4组
设e 1+e 2=λe 1,则{λ=1,
1=0,
无解,
所以e 1+e 2与e 1不共线,即e 1与e 1+e 2可作为一组基;
②设e 1-2e 2=λ(e 2-2e 1),则(1+2λ)e 1-(2+λ)e 2=0,则{
1+2λ=0,
2+λ=0,
无解,所以e 1-2e 2与e 2-2e 1不共线,即
e 1-2e 2与e 2-2e 1可作为一组基;
③因为e 1-2e 2=-1
2(4e 2-2e 1),所以e 1-2e 2与4e 2-2e 1共线,即e 1-2e 2与4e 2-2e 1不可作为一组基; ④设e 1+e 2=λ(e 1-e 2),则(1-λ)e 1+(1+λ)e 2=0,
所以{1-λ=0,1+λ=0,无解,所以e 1+e 2与e 1-e 2不共线,即e 1+e 2与e 1-e 2可作为一组基.
2.已知e 1,e 2为平面内所有向量的一组基,λ∈R ,a=e 1+λe 2,b =2e 1,则a 与b 共线的条件为( ) A .λ=0 B .e 2=0 C .e 1∥e 2 D .e 1∥e 2或λ=0
e 1,e 2不共线,而a 与b 共线,所以λ=0.
3.设a ,b 为平面内所有向量的一组基,已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a -k b ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a -b ,若A ,B ,D 三点共线,则实数k 的值等于( ) A.2
B.-2
C.10
D.-10
=AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a -k b )+(-2a -b )+(3a -b )=2a -(k+2)b . 因为A ,B ,D 三点共线, 所以存在实数λ使得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即a -k b =λ[2a -(k+2)b ]=2λa -λ(k+2)b . 因为a ,b 为基向量,
所以{2λ=1,λ(k +2)=k ,解得λ=1
2,k=2.
4.已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 的中点,且2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则( ) A.AO
⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.2AO
⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2OA
⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 因为D 是BC 的中点,所以OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC
⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 于是2OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
5.(多选)如果e 1,e 2是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中不正确的是( ) A .λe 1+μe 2(λ,μ∈R )可以表示平面α内的所有向量
B .对于平面α内任一向量a ,使a =λe 1+μe 2的实数对(λ,μ)有无穷多个
C .若向量λ1e 1+μ1e 2与λ2e 1+μ2e 2共线,则有且只有一个实数λ,使得λ1e 1+μ1e 2=λ(λ2e 1+μ2e 2)
D .若实数λ,μ使得λe 1+μe 2=0,则λ=μ=0
A,D 是正确的.
对于B,由平面向量基本定理可知,一旦一个平面的基确定,那么平面内任意一个向量在此基下的实数对是唯一的.
对于C,当两向量均为零向量时,即λ1=λ2=μ1=μ2=0时,则这样的λ有无数个.故选BC .
6.若e 1,e 2为平面内所有向量的一组基,且a =3e 1-4e 2,b =6e 1+k e 2不能作为一组基,则k 的值为 .
a ,
b 不能作为一组基,
所以存在实数λ,使得a =λb , 即3e 1-4e 2=λ(6e 1+k e 2),
则6λ=3,且k λ=-4,解得λ=1
2,k=-8.
8
7.(2020湖北浠水实验高级中学高一期末)设D 为△ABC 所在平面内一点,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-1
3AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +43
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若BC
⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R ),则λ= .
D 为△ABC 所在平面内一点,
由AD
⃗⃗⃗⃗⃗ =-13
AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43
AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,可得3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即4AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -4AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 则4CD
⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-4DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 可得BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则λ=-3.
3
能力提升练
1.已知平面内有一点P 及一个△ABC ,若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.点P 在△ABC 外部 B .点P 在线段AB 上 C.点P 在线段BC 上 D.点P 在线段AC 上
PA
⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,
所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB
⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 所以PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CP ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以点P 在线段AC 上.
2.A ,B ,O 是平面内不共线的三个定点,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,点P 关于点A 的对称点为Q ,点Q 关于点B 的对称点为R ,则PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( ) A.a-b B.2(b-a ) C.2(a-b ) D.b-a
,
a =1
2(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), b =1
2
(OQ
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OR ⃗⃗⃗⃗⃗ ), 相减得b-a =1
2
(OR ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ). 所以PR ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(b-a ).
3.(2020北京通州高一期末)在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合),若AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x )AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 的取值范围是( ) A.0,
12
B.0,
13
C.-12,0
D.-1
3
,0
.
依题意,设BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,其中1<λ<43,则有AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1-λ)AB
⃗⃗⃗⃗⃗ +λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又AO
⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1-x )AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线, 于是有x=1-λ∈-1
3,0, 即x 的取值范围是-13,0.
故选D .
4.如图,平行四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,H ,M 分别是AD ,DC 的中点,BF=1
3BC ,以a ,b 为基表示向量
AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ,HF
⃗⃗⃗⃗⃗ = .
ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,H ,M 分别是AD ,DC 的中点,BF=13
BC , 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +1
2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b +12a , HF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ −12
AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +13
b -12
b=a-1
6
b. b+12
a a-16
b
5.在△ABC 所在平面上有一点P ,满足PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则△PBC 与△PAB 的面积比为 .
⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +4PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以2PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即点P 在AC 边上,且AP=2PC ,所以△PBC 与△PAB 的面积比为1∶2.
∶2 6.
如图所示,在△OAB 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,M ,N 分别是OA ,OB 上的点,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13
a ,ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12
b .设AN 与BM 交于点P ,用向量a ,b 表示OP
⃗⃗⃗⃗⃗ .
MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =n NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,因为OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +NP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +m MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
3
a +m (
b -13
a)=13
(1-m )a +m b ,OP
⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1
2
(1-n )b +n a . 因为a 与b 不共线,所以{1
3(1-m )=n ,
1
2
(1-n )=m ,
解得{m =2
5,
n =15
.
所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =15a +25
b . 素养培优练
已知A ,B ,C 三点不共线,O 为平面上任意一点,证明存在实数p ,q ,r ,使得p OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +q OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +r OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,且若p+q+r=0,则必有p=q=r=0.
r=-(p+q ).
所以p OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +q OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -(p+q )OC
⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即p (OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=q (OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),p CA
⃗⃗⃗⃗⃗ =q BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以p CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +q CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0=0·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +0·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 由平面向量的基本定理可知,其分解是唯一的, 所以p=0,q=0,p+q=0. 因为p+q+r=0,故有p=q=r=0.。