提公因式和公式法因式分解小结精编

本节课我们开始学习因式分解的方法，在学习中同学们需要正确理解因式分
解的意义，了解因式分解与整式乘法的区别．首先要理解因式与公因式的概念，进而掌握因式分解两种方法——提取公因式法和公式法．重点会运用两种方法进行分解因式，并养成首先运用提取公因式法分解的习惯，并熟记平方差公式和完全平方公式．难点是提取公因式法需要注意公因式的符号问题，理解公式法分解因式实质上是乘法公式的一种逆向运用．能够熟练结合两种方法进行分解因式．
1、因式分解的概念：
（1）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
（2）因式分解和整式乘法正好是互逆变换，可通过如下图示加以理解：
因式分解
多项式（和的形式 整式的积（积的形式）
整式乘法
因式分解（一）
内容分析
知识结构
模块一：提取公因式法
知识精讲
2、因式、公因式的定义
（1）几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式．例如式子6ab中，6、a、b就是6ab 的因式．
（2）一个多项式中每一项都含有的因式叫做这个多项式的公因式．例如，在多项式+-中都含有因式m，则m就是这个多项式的公因式．
ma mb mc
3、确定公因式的方法
（1）确定系数的公因数——多项式中各项系数的最大公约数（系数都为整数）．
（2）确定字母的公因式——多项式中各项都含有的相同字母的最低次幂．
（3）确定的各项系数的最大公约数和各项都含有的相同的字母的最低次幂的乘积就是这个多项式的公因式．
4、提取公因式法
（1）如果一个多项式的各项含有公因式，那么可以把该公因式提取出来，作为多项式的一个因式，提出公因式后的式子放在括号里，作为另一个因式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．
（2）提取公因式的步骤：“一找、二提、三去除”
一找：第一步要正确找出多项式中各项的公因式；
二提：第二步将所找出的公因式提出来；
三去除：第三步当提出公因式后，直接观察剩下的另一个因式，即为提出公因式后剩下的另一个因式．
5、注意事项
（1）如果多项式的首项是负数时，一般先提出“—”号，使括号内的第一项系数是正数．
（2）利用提取公因式法分解因式是，一定要“提干净”．
（3）注意避免出现分解因式的漏项问题，一般提取公因式后，括号里的多项式项数应与原多项式的项数一致．
（4）多项式的公因式可以是数字、字母，也可以是单项式，还可以是多项式．
【例1】填空：
（1）单项式22233221284a b c a b a b c -，，应提取的公因式是_______； （2）多项式2226a b ab c -应提取的公因式是________；
（3）()()2
2921()()b a x y a b y x -----应提取的公因式是_________；
（4）多项式32234812a b a b ab -+提取公因式后，另一个因式是_______________； （5）多项式2963x xy x --+提取公因式后，另一个因式是_______________； （6）24()3()x x y y x ---提取公因式()x y -后，另一个因式是_________________．
【例2】在下列等式右边的括号前填上“+”号或“－”号，使等式成立．
（1）()22____()a b b a -=-；（2）()3
3____()a b b a -=-； （3）()2
2____()a b a b --=+；（4）()3
3____()a b a b --=+； （5）()23231(2)____(1)(2)a b a b --=--； （6）()1(2)____(1)(2)x x x x --=--．
【例3】下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（
）．
A .21231(23)x x x x ++=++
B .242228=⨯⨯⨯
C .1
1(1)xy xy xy
-=-
D .2
21139342a a a ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭
【例4】多项式22(1)n a a n -≥提取公因式后，另一个因式是（
）． A .n a B ．1n a - C .211n a --
D .221n a --
【例5】把332442
39
a b a b -分解因式的结果是_________________．
例题解析
【例6】（1）如果24,3x y xy +==，那么222x y xy +的值是____________； （2）多项式25(2)2()a b a a b +-+的值等于15，且3103a b +=，则2____a b +=．
【例7】把下列各式因式分解 （1）332154530a b a b ab -+-； （2）323432224164896a b c a b c a b c +-；
（3）22
643
ax x a -+-；
（4）2()()()()m n p q n m q p -----；
（5）3(4)(4)(4)x x y x y x y --+-+；
（6）2(1)(1)(1)p q r q r q q r -+--+-+--；
（7）112n n n x x x +--+（n 为大于1的整数）；
（8）21214612n n n n n x y x y x y ++--+（n 是大于2的整数）．
【例8】利用简便方法计算： （1）5.781247 5.78 5.7841⨯+⨯+⨯； （2）2017201651010⨯-．
【例9】已知关于x 的二次三项式22x mx n ++因式分解的结果是()1214x x ⎛
⎫-+ ⎪⎝⎭
，求m n 、的
值．
【例10】试判断181920555++能否被31整除．
【例11】已知代数式11111)(11)(1)261220x x x x ++++++++（）（ (1)
190
x ++（）
的值是27， 求x 的值．
【例12】若多项式()()()()M b a b a c c a b c a =--+--，且234a b c ==，求
M
abc
的值．
1、公式法
逆用乘法公式将一个多项式分解因式的方法叫做公式法． 2、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-
运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征是： （1）公式左边必须是一个二项式，且符号相反；
（2）两项中的每一项必须是某个数或某个式子的平方形式； （3）右边分解的结果应该是这两项的和与它们的差的积；
（4）公式中字母“a ”和“b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式． 3、完全平方公式：2222()a ab b a b ±+=±
运用完全平方公式进行因式分解的多项式的特征是：
（1）公式的左边必须是一个三项式，且可以看成是一个二次三项式；
（2）其中两项的符号必须是正的，且能写成某两个数或两个式子的平方形式；而另一项的 绝对值必须是前两项中两个数或两个式子的乘积的2倍；
（3）右边分解的结果是这两个数或两个式子的和或差的完全平方，其和或差与左边第二项的符号相同；
（4）公式中字母“a ”和“b ”既可以表示单独的数字或字母，也可以表示单项式或多项式． 4、补充公式
（1）3322()()a b a b a ab b +=+-+ ； （2） 3322()()a b a b a ab b -=-++； （3）3223333()a a b ab b a b +++=+；
（4）3223333()a a b ab b a b -+-=- ； （5）2222222()a b c ab ac bc a b c +++++=++．
模块二：公式法
知识精讲
【例13】因式分解()2
19x --的结果是（ ）．
A .()()81x x ++
B .()()24x x +-
C .()2(4)x x -+
D .()()108x x -+
【例14】下列因式分解正确的是（
）． A .2244(4)x x x ++=+
B .()2
242121x x x -+=-
C .2296()()(3)m n m n m n --+-=--
D .2222()a b ab a b --+=--
【例15】分解因式：
（1）2249______a b -=；
（2）24______n x -=； （3）()2
2()_________a b c d +--=； （4）39_______a b ab -=；
（5）21
9_______9
a -+
=；
（6）2258064___________a a -+=；
（7）22168____________xy x y ---=； （8）()()2
69_________a b a b +-++=．
【例16】请写出6421-的两个因数_____________________．
【例17】利用立方差（和）公式进行分解因式： （1）66a b -； （2）338x y +； （3）523972x x y -．
【例18】分解因式： （1）()2
2425()x y x y --++；
（2）()4
4()x y x y +--；
（3）()3
44a b a b +--；
（4）221
4
xy x y -
-；
例题解析
（5）2()4()4()x m n x n m n m -----；
【例19】分解因式： （1）117147m m m a a a +--+；
（2）()2
4(1)a b a b +-+-；
（3）()2
2248(4)16a a a a ++++； （4）()
()
()2
1
2222221025n n n
x y x y x y ++---+-
【例20】利用简便方法计算：
（1）2
2504
20172015-； （2）29984-；
（3）221515105+⨯+； （4）2219821989898-⨯⨯+．
【例21】计算：222211*********n ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---⋅⋅⋅- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．
【例22】已知2220162016x x y y -=-=，，且x y ≠，求222x xy y ++的值．
【例23】已知多项式1442a b a b S ++=+-，问：S 是否一定是非负数？请说明理由．
【例24】已知2222210a ab b a b ++--+=，求22a a b b -+-的值．
【例25】请观察以下解题过程；分解因式：4261x x -+．
解：4242261241x x x x x -+=--+
()()()()
422
2
22
222141(2)1212x x x
x x x x x x =-+-=--=-+--
以上分解因式的方法称为拆项法，请你用拆项法分解因式：4279a a -+．
【例26】已知多项式()2
222224S a b c a b =+--，
求：（1）对于S 进行因式分解；
（2）当a b c 、、是△ABC 的三边的长时，判断S 的符号．
【习题1】 分解因式：
（1）2()()()a a b a b a a b +--+； （2）22(1)1a b b b b -+-+-；
（3）22
122
x y -+； （4）44a b -；
（5）3269x x x -+； （6）2243()27()x x y y x ---；
（7）2121()()m m p q q p +--+-；
（8）()2
4520(1)x y x y ++-+-．
【习题2】 若a ，b ，c 是三角形三边的长，则代数式2222a b c ab +--的值( )．
A ．大于零
B ．小于零
C ．大于或等于零
D ．小于或等于零 【习题3】 已知长方形的长为23x y -，面积为2249x y -，则此长方形的周长为________． 【习题4】 已知12x y xy -==，，则32232x y x y xy -+的值为___________． 【习题5】 分解因式：
（1）75()()a b b a -+-； （2）61264x y -；
（3）22224946a b c d ac bd -+-++；
（4）()()2
22248416x x x x ++++；
（5）2222x y z yz ---．
随堂检测
【习题6】 分解因式：
（1）2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--，n 为正整数；
（2）22()()()()()()a b b c a c a b a b a b c a b c ++-+-+--+--；
（3）322()()()()()x x y z y z a x z z x y x y z x y x z a +-+-+--+----．
【习题7】 不解方程组2631
x y x y +=⎧⎨-=⎩，求代数式()()237323y x y y x ---的值．
【习题8】 利用分解因式证明：712255-能被120整除．
【习题9】 已知 3.43 3.14x y ==，，求221222x xy y ---的值．
【习题10】 求代数式的值：22(32)(21)(32)(21)(21)(23)x x x x x x x -+--+++-，
其中23
x =-．
【习题11】 化简下列多项式：()()()()23201611111x x x x x x x x x ++++++++++．
【习题12】 已知2244241a ab b a b ++--+=2m ，试用含a 、b 的代数式表示m ．
【习题13】 已知：2b c a +-=-， 求22221()()(222)33333
a a
b
c b c a b c b c a --+-+++-的值．
【习题14】 若a ，b ，c 为正数，且满足444222222a b c a b b c c a ++=++，那么a b c 、、之 间有什么关系？
【作业1】把多项式223436129m n m n n --+分解因式时，应提取的公因式是（ ）． A .226m n - B .26n - C .223m n - D .23n -
【作业2】因式分解221448x y xy --+的结果是（ ）．
A .()()12124(2)x x y y x +---
B .21(22)x y --
C .()()122122x y x y +--+
D .()()122122x y x y ++--
【作业3】已知2x y +=，求221122
x y xy ++的值．
【作业4】若关于x 的多项式()()2
4217x ax b --+可提取公因式21x -，且3a b -=，a b 、为 整数，则_________a b ==，． 【作业5】分解因式：
（1）34xy xy -； （2）3222524261352xy z xy z x y z -++；
（3）22()()a x y b y x -+-； （4）22(5)2(5)(3)(3)m n n m n m n m +-+-+-；
（5）22229()6()()a b a b a b ++-+-．
课后作业
【作业6】用合理方法计算：
（1）201720161.11010⨯-； （2）10595⨯； （3）221.25141258.6⨯-⨯．
【作业7】已知9692a b ==，，求222669a ab b a b -+-++的值．
【作业8】已知22106210x xy y x ++-+=，求()20102x y +的值．
【作业9】当,x a b y a b =-=+时，求代数式()222222()x y x y +--的值．
【作业10】因式分解：()139()n n a b b a +---．
【作业11】证明：当n为整数时，3n n
-的值必定是6的倍数．
【作业12】先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目．
分解因式：44
x+．
解：4422222
4444(2)4
+=++-=+-
x x x x x x
22
（．
=++-+
22)(22)
x x x x
以上解法中，在44
x+的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值与44
x+的值保持不变，必须减去同样的一项．
请用上述方法分解下列各式：
（1）4224
x y+．
x x y y
++；（2）4464。