第五章 数列(章末测试卷)高二数学课时同步练(人教B版2019选择性必修第三册)

第五章 数列章末综合检测第Ⅰ部分（选择题，共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知数列{}n a 为等差数列，且11a =，59a =，则数列{}n a 的前5项和是（ ）A ．15B ．20C ．25D ．35 【答案】C【详解】数列{}n a 的前5项和为()155********a a S +⨯=== 2．已知{}n a 是公差为2的等差数列，且33a =，则6a =（ ）A ．3B ．9C ．18D ．24【答案】B【详解】因为{}n a 是公差为2的等差数列，33a =，所以63329a a =+⨯=，3．在等差数列{}n a 中，若1241,10a a a =+=，则20a =（ ）A ．35B ．37C ．39D ．41 【答案】C【详解】在等数列{}n a 中，1241,10a a a =+=，所以2410d +=，解得2d =，所以2011939a a d =+=，4．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和．若3133S a =+，则d =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】C【详解】因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，所以113333a d a +=+，解得1d =，5．我国古代数学论著中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯二百五十四，请问底层几盏灯？意思是：一座7层塔共挂了254盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯（ ）A ．32盏B ．64盏C ．128盏D ．196盏 【答案】C【详解】设最底层的灯数为1a ，公比12q =， 177112254112a S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴==-，解得：1128a =. 6．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若911121354,27,S a a a =++=则16S =（ ）A ．120B ．60C ．160D ．80【答案】A【详解】解：因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，911121354,27,S a a a =++=所以591254,2793S a a ===，所以1526,9a a ==，所以()()()1151621616161669120222a a S a a ++⨯+====7．已知等差数列{}n a 对任意正整数n 都有122368n n n a a a n ++-+=+，则2a =（ ）A ．1B ．8C ．5D ．4【答案】D【详解】解:因为等差数列{}n a 对任意正整数n 都有122368n n n a a a n ++-+=+当1n =时,1232314a a a -+=,整理得: 111223461a a a d d -+=-+,可得: 12414a d +=,即37a =①,当2n =时32423628a a a -+=⨯+,整理得:()()3332320a a d a d -+=-+,可得: 310a d +=②,将①代入②,可得3d =,所以23734d a a =-=-=.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.8．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若30S =，46a =，则（ ）A ．23n S n n =-B ．2392-=n n n SC ．36n a n =-D ．2n a n =【答案】BC【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，因为30S =，46a =，所以113230236a d a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得133a d =-⎧⎨=⎩，所以1(1)33(1)36n a a n d n n =+-=-+-=-，21(1)3(1)393222n n n n n n nS na d n ---=+=-+=，9．在等比数列{a n }中，a 5＝4，a 7＝16，则a 6可以为（ ）A ．8B ．12C ．－8D ．－12【答案】AC【详解】5721624a q q a ==⇒=±，当2q 时，65428a a q ==⨯=，当2q =-时，654(2)8a a q ==⨯-=-，10．已知正项等比数列{}n a 满足12a =，4232a a a =+，若设其公比为q ，前n 项和为n S ，则（ ）A ．2qB ．2nn a = C ．102048S = D ．12n n n a a a +++<【答案】ABD【详解】由题意32242q q q =+，得220q q --=，解得2q （负值舍去），选项A 正确；1222n n n a -=⨯=，选项B 正确；()12212221n n n S +⨯-==--，所以102046S =，选项C 错误；13n n n a a a ++=，而243n n n a a a +=>，选项D 正确．11．已知等差数列{}n a 前项和为n S ，且2612,0a a a =>，则下列说法正确的是（ ） A ．110a > B ．100a = C ．数列{}n a 是递减数列 D ．9S 为n S 的最大值【答案】BCD【详解】 解：在等差数列{}n a 中622a a =，10a >，∴设公差为d ，则112(5)a d a d +=+， 即1091d a =-<，所以数列{}n a 是递减数列，C ∴正确． 11111111010()0991a a d a a a =+=+-=-<，A ∴错误． 1011199()019a a d a a =+=+-=，B ∴正确． 222111111(1)(1)1919(19)229181821812n a a a n n n n S na d na a n n n --⎛⎫⎛⎫=+=-⨯=-+=--+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 对应的抛物线开口向下，对称轴为192n =，∴当10n =或9，n S 取得最大值，D ∴正确． 12．设{}n a 是公比为2的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有（ ）A ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列B ．{}2n a 是公比为4的等比数列C ．{}2n a 是公比为4的等比数列D ．{}1n n a a +是公比为2的等比数列 【答案】AB【详解】由于数列{}n a 是公比为2的等比数列，则对任意的n *∈N ，0n a ≠，且公比为12n na q a +==. 对于A 选项，1111112n n n na a a q a ++===，即数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为12的等比数列，A 选项正确； 对于B 选项，22224n na q a +==，即数列{}2n a 是公比为4的等比数列，B 选项正确； 对于C 选项，1222n na q a +==，即数列{}2n a 是公比为2的等比数列，C 选项错误； 对于D 选项，212214n n n n n na a a q a a a ++++===，即数列{}1n n a a +是公比为4的等比数列，D 选项错误.第Ⅱ部分（选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 为等差数列且a 5=2，则其前9项和S 9=___________.【答案】18【详解】因为数列{}n a 为等差数列，所以199559()9291822a a S a a +==⨯==， 14．对于数列{}n a ，若点()()n n a n ∈*N ,都在函数()2x f x =的图象上，则数列{}n a 的前4项和4S =___________.【答案】30【详解】由题设可得2n n a =，故12n n a a -=，故{}n a 为等比数列，其首项为2，公比为2， 故()442123012S -==-，15．已知数列{}n a 满足11a =，111+)n n a n N a *-=∈(，则4a =_______. 【答案】53【详解】11a =，111+)n n a n N a *-=∈(，2111+2a a ∴==，32131+2a a ==，43151+3a a ==. 16．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，且362011a a =，则115S S =_______. 【答案】4【详解】因为数列{}n a 是等差数列，所以()()()()()()111111661161551533311111111255552a a a a a a S a a a S a a a a a ++⋅+====++⋅+， 又因为362011a a =， 所以63331120455a a a a ==， 所以1154S S =. 四、解答题：本小题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-.（1）求公差d 及{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值.【答案】（1）2d =，29n a n =-；（2）()2416nS n =--，最小值为16-. 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得2d =.所以{}n a 的通项公式为29n a n =-.（2）由（1）得()228416n S n n n =-=--. 所以4n =时，n S 取得最小值，最小值为16-18．已知等差数列{}n a 中，11a =，321a a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）n a n =；（2）()12n n n S +=【详解】（1）因为等差数列{}n a 中，首项为11a =，公差为321d a a =-=， 所以其通项公式为()11n a n n =+-=；（2）由（1）可得，数列{}n a 的前n 项和()()1122n n n a a n n S ++==. 19．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =，55S =-. （1）求{}n a 的通项公式；（2）2n n b a =-+求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】（1）2n a n =-；（2）1n n T n =+. 【详解】解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为30S =，55S =-. 所以113230254552a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=-⎪⎩，化简得11021a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a d =⎧⎨=-⎩， 所以1(1)1(1)(1)2n a a n d n n =+-=+--=-，（2）由（1）可知2(2)2n n b a n n =-+=--+=， 所以11111(1)1n n b b n n n n +==-++， 所以111111(1)()()1223111n n T n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 20．已知公比大于0的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，15a +是2S 和3a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n nn b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）2n n a =；（2）222n nn T +=-.【详解】解：（1）设数列{}n a 的公比为(0)q q >.由题意知()12325a S a +=+， 即442544q q q⎛⎫⨯+=++ ⎪⎝⎭，化简得22320q q --=， 因为0q >，所以2q. 所以222422n n n n a a q--==⨯=. （2）由（1）可知2n n n n n b a ==. 所以1231232222n nn T =+++⋅⋅⋅+，① 231112122222n n n n n T +-=++⋅⋅⋅++，② 由-①②，可得12311111111111222112222222212n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--， 所以222n nn T +=-. 21．等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1，a 32=9a 2a 6. （1）求数列{a n }的通项公式.（2）设b n =log 3a 1+log 3a 2+…+log 3a n ，求数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.【答案】（1）1()3n n a = （2）21n n -+ 【详解】解:（1）23269a a a =⋅，即22349a a =，所以219q =，又因为n 0,0a q >> 所以13q = 又因为12231a a +=，所以1123311a a ⨯+=，所以113a =. 所以13nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2) 因为3log ,n a n =-所以()()()()1122n n n b n +=-+-++-=- ()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭设数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则11111122121223111n n n n n T n ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21n n -+. 22．在①211521a a a a ==，；②359,25S S ==；③2n S n =.这三个条件中任选一个补充在下面的问题中.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且公差0d ≠，若___________. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）21n n T n =+. 【详解】（Ⅰ）若选①：由211521a a a a ==，， 得()()21114a a d a d +=+ 即2214(1)2d d d d +=+∴=， 0,2d d ≠∴=所以12(1)21n a n n =+-=-.若选②：设等差数列{}n a 的首项为1a ，由35925S S ==，，得：11339545252a d a d +=⎧⎪⎨⨯+⋅=⎪⎩解得121a d =⎧⎨=⎩，所以12(1)21n a n n =+-=-. 若选③：当时1111n a S ===，；当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-显然1n =时也满足21n a n =-， 21n a n ∴=- ； （Ⅱ）由（I ）知21n a n =- 111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭∴ ， 则11111111112335212122121n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭.。