2020-2021学年辽宁省辽南协作体高一上学期期中数学试卷(含解析)

2020-2021学年辽宁省辽南协作体高一上学期期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 对于定义域和值域均为[0,1]的函数f(x)，定义f 1(x)=f(x)，f 2(x)=f(f 1(x))，…，f n (x)=f(f n−1(x))，n =1，2，3，….满足f n (x)=x 的点x ∈[0,1]称为f 的n 阶周期点．设f(x)={2x,0≤x ≤122−2x,12<x ≤1，则f 的n 阶周期点的个数是( ) A. 2n
B. 2(2n −1)
C. 2n
D. 2n 2 2. 在下列句子的空缺处依次填入成语，最恰当的一组是( )
小组内乌兹别克、沙特这些曾经的“苦主”，再加上澳大利亚接近35℃的温度，给亚洲杯国足占据八强乃至高位置的 蒙上了阴影。

劳累了一天，凌晨时分拖着疲惫的身体回到家里，窗外大雪纷飞，屋内却很温暖， ，带来了无限幸福。

公款支撑的演出市场多年异样繁荣，“中”字头演出团体业务接踵而来，而一些无依无靠的演艺公司在市场竞争中几无 。

A. 一隅之地 一席之地 立锥之地
B. 一席之地 一隅之地 立锥之地
C. 立锥之地 一席之地 一隅之地
D. 一席之地 立锥之地 一隅之地
3. 命题“∀x ∈R ，均有x 2+sinx +1<0”的否定为( )
A. ∀∈R ，均有x 2+sinx +1≥0
B. ∃x ∈R ，使得x 2+sinx +1<0
C. ∃x ∈R ，使得x 2+sinx +1≥0
D. ∀x ∈R ，均有x 2+sinx +1>0 4. 设函数f(x)的定义域为D ，如果对任意x 1∈D ，都存在唯一的x 2∈D ，使得f(x 1)+f(x 2)=m(m 为常数)成立，那么称函数f(x)在D 上具有性质Ψm .现有函数：
①f(x)=3x ；
②f(x)=3x ；
③f(x)=log 3x ；
④f(x)=tanx ．
其中，在其定义域上具有性质Ψm 的函数的序号是( )
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
5.“”是“”的()
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
6.拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(m)=1.06(0.5⋅{m}+1)(元)决定，其中m>0，{m}
是大于或等于m的最小整数，(如：{3}=3，{3.8}=4，{3.1}=4)，则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为()
A. 3.71元
B. 3.97元
C. 4.24元
D. 4.77元
7.已知集合，，则∪是：()
A. B. C. D.
8.二次函数y=x2−4x+3在区间(1,4]上的值域是()
A. [−1,+∞)
B. (0,3]
C. [−1,3]
D. (−1,3]
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）
9.已知全集U={0,1，2，3，4}，集合M={2,3，4}，N={0,1，4}，则下列判断正确的是()
A. M∪N={0,1，2，3，4}
B. (∁U M)∩N={0,1}
C. ∁U N={1,2，3}
D. M∩N={0,4}
10.已知定义在R上的函数f(x)的图象连续不断，若存在常数λ(λ∈R)，使得f(x+λ)+λf(x)=0对
任意的实数x恒成立，则称f(x)是回旋函数.给出下列四个命题中，正确的命题是()
A. 函数f(x)=a(其中a为常数)为回旋函数的充要条件是λ=−1
B. 若函数f(x)=a x(a>1)为回旋函数，则λ>1
C. 函数f(x)=cosπx不是回旋函数
D. 若f(x)是λ=2的回旋函数，则f(x)在[0,2020]上至少有1010个零点
11.下列命题中，正确的有()
A. 若a>b>0，则ac2>bc2
B. 若a<b<0，则a2>ab>b2
C. 若a>b>0且c>0，则b+c
a+c >b
a
D. 若a<b<0且c<0，则c
a2<c
b2
12.设函数f(x)是定义在实数集R上周期为2的偶函数，当0≤x≤1时，f(x)=1−√1−x2.若直
线y=x+a与函数y=f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则实数a的值可为()
A. −1
4B. 0 C. −1
2
D. 1−√2
三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）
13.若关于x的不等式a≤3
4
x2−3x+4≤b的解集恰好是[a,b]，则a+b=______ ．
14.二次函数f(x)满足f(x)−f(x−1)=2x−2且f(0)=1.则函数y=f(x)−3的零点是______ ．
15.直线ax−by+2=0(a>0,b>0)与圆C：x2+y2+2x−2y=0交于两点A，B，当|AB|最大
时，1
a +4
b
的最小值为______．
四、多空题（本大题共1小题，共5.0分）
16.已知函数f(x)=x3−4x，g(x)=sinωx(ω>0).若∀x∈[−a,a]，都有f(x)g(x)≤0，则a的最
大值为(1)；此时ω=(2)．
五、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17.已知函数f(x)=x2+3|x−a|(a∈R)．
(Ⅰ)若f(x)在[−1,1]上的最大值和最小值分别记为M(a)，m(a)，求M(a)−m(a)；
(Ⅱ)设b∈R，若|f(x)+b|≤3对x∈[−1,1]恒成立，求3a+b的取值范围．
18.在数列{a n}中，a1=1，a n+1=1−1
4a n ，b n=1
2a n−1 
，其中n∈N∗．
(1)求证：数列{b n}为等差数列；
(2)设c n=b n+1·(1
3
) b n，数列{c n}的前n项和为T n，求T n；
(3)证明：1
√b√b ⋯
√b
≤2√n−1(n∈N∗).
19.某商场在春节期间，对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
①如果不超过200元，则不给予优惠；
②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠(即按标价的90%出售)；
③如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
(Ⅰ)请写出购物金额(x元)与实付金额(y元)的函数关系式;
(Ⅱ)若某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次性购买上述的商品，则应付款是多少?
20. 已知集合A ={x|x−3
x−7<0}，B ={x|x 2−12x +20<0}，C ={x|5−a <x <a}，
(1)求A ∪B ，(∁R A)∩B ；
(2)若C ⊆(A ∪B)，求实数a 的取值范围．
21. (本小题满分14分)已知
是定义在[−1,1]上的奇函数，当，且时有
． (1)判断函数的单调性，并给予证明；
(2)若对所有恒成立，求实数m 的取值范围．
22. 已知函数f(x)={−x 2+x +1,x ≤1log 4x+1x−1,x >1
， (1)求f(−2)的值；
(2)若函数g(x)=f(x)−12，求函数g(x)的零点．
【答案与解析】1.答案：C
解析：解：当x∈[0,1
2
]时，f1(x)=2x=x，解得x=0
当x∈(1
2,1]时，f1(x)=2−2x=x，解得x=2
3
∴f的1阶周期点的个数是2
当x∈[0,1
4
]时，f1(x)=2x，f2(x)=4x=x解得x=0
当x∈(1
4,1
2
]时，f1(x)=2x，f2(x)=2−4x=x解得x=2
5
当x∈(1
2,3
4
]时，f1(x)=2−2x，f2(x)=−2+4x=x解得x=2
3
当x∈(3
4,1]时，f1(x)=2−2x，f2(x)=4−4x=x解得x=4
5
∴f的2阶周期点的个数是22，
当x∈[0,1
8
]，f1(x)=2x，f2(x)=4x，f3(x)=8x=x，x=0
当x∈(1
8,1
4
]，f1(x)=2x，f2(x)=4x，f3(x)=2−8x=x，x=2
9
当x∈(1
4,3
8
]，f1(x)=2x，f2(x)=2−4x，f3(x)=2−2(2−4x)=x，x=2
7
…
依此类推
∴f的n阶周期点的个数是2n
故选C．
本题考查的知识点是归纳推理，方法是根据已知条件和递推关系，先求出f的1阶周期点的个数，2阶周期点的个数，然后总结归纳其中的规律，f的n阶周期点的个数．
归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)，属于中档题．
2.答案：B
解析：
成语的正确使用，要从成语的意思、感情色彩、修饰对象、使用范围等角度考虑，同时结合语境从词语与语境的语意关系、搭配关系等方面筛选．。