2010-2019高考数学真题分类汇编第30讲排列与组合

专题十计数原理
第三十讲排列与组合
、选择题
1. （2018全国卷n ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果•哥
德巴赫猜想是 每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和 ”如30 = 7+23 •在不超
过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于
30的概率是
1
A .
12 1
B .—
14
C
1 .15
1
D .—
18
2. （ 2017新课标n ）安排 3名志愿者完成 完成，则不冋的安排方式共有
4项工作， 每人至少完
成
1项,
每项工作由1人
A . 12 种
B . 18 种
C . 24 种 D
.
36种
3. （ 2017山东）从分别标有1 , 2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取
2次，每次抽取 1张•则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是
5
4
5
7
A.
B .
C . —
D.-
18 9 9 9
4. （2016年全国II ）如图，小明从街道的 E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于
G
处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
5. （ 2016四川）用数字1 , 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 A . 24 B . 48 C . 60 D . 72
6.
（ 2015四
川）用数字0, 1 , 2, 3, 4, 5组成没有重复数字的五位数，其中比
40000大的
偶数共有
A . 144 个
B . 120 个
C . 96 个
D . 72 个
7. （2014新课标1） 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周
日都有同学参加公益活动的概率为
1
3
5
7
A .
B .
C .
D . 一
8 8 8 8
A . 24
]
.二
K
• J
>1
—
B . 18
C . 12
8 . （2014广东）设集合A^ x1,x2,x3,x4,x5X i {T,0冷，i =1,2,3,4,5f，那么集合A 中
满足条件“ 1兰音+ X 2 + X 3 +|刈+卜5兰3”的元素个数为 A. 60
B . 90
C . 120
D . 130
9. （ 2014安徽）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为
60的共
有
A . 24 对
B . 30 对
C . 48 对
D . 60 对
10 .（ 2014福建）用a 代表红球，b 代表蓝球，C 代表黑球，由加法原理及乘法原理，从
1
个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由
1 a 1 b 的展开式1 a b ab
表示出来，如：“ 1 ”表示一个球都不取、“ a ”表示取出一个红球，面“ ab ”用表示把 红球和篮球都取出来•以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从
5个无区别的红
球、从5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或 都不取出的所有取法的是 A . 1 +a +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 创 +b 5 （1
+c 5
B.
1 a 5 1 b b
2 b
3 b
4 b
5 1 c 5
C . 1 a 5 1 b b 2 b 3 b 4 b 5 1 c 5
D . 1 a 5 1 b 51 c c 2 c 3
c 4
c 5
11 . （2013山东）用0, 1，…，9十个数学，可以组成有重复数字的三位数的个数为
A . 243
B . 252
C . 261
D . 279
12 . （2012新课标）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会
实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
则不同的取法共有
14 . （2012山东）现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各
4张，从中
任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，
并且红色卡片至多1张，不同取法的种
数是
A . 12 种
B . 10 种
C . 9种
D . 8种
13 . （2012浙江）若从
1, 2, 3，…，9这9个整数中同时取 4个不同的数，其和为偶数, A . 60 种 B . 63 种
C. 65 种
D . 66 种
A . 232
B . 252
C . 472
D . 484
15 . （2010天津）如图，用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色，要求每个点涂
一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法用
固定.每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这 5个彩灯闪亮的颜
色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁. 在每个闪烁中，每秒钟有且只
有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为
5秒。

如果要实现所有不同的闪烁，
那么需要的时间至少是
18 . （2010湖北）现安排甲、乙、丙、丁、戌 5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每
人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。

甲、乙不会 开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A . 152 B . 126 C . 90 D . 54 、填空题
19 . （2018全国卷I ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，
则不同的选法共有—种.（用数字填写答案）
20 . （2018浙江）从1, 3, 5, 7, 9中任取2个数字，从0, 2, 4, 6中任取2个数字，一共
可以组成 _个没有重复数字的四位数.（用数字作答）
21 . （2017浙江）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成
4人服务队，要求服务队中至少有
1名女生，共有 __________ 种不同的选法.（用数字作
A . 288 种
B . 264 种
16. （2010山东）某台小型晚会由 两位、节目乙不能排在第一位, 排方案共有 A . 36 种
B . 42种
C . 240 种
D . 168 种
6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前
节目丙必须排在最后一位， 该台晚会节目演出顺序的编
C . 48 种
17 . （2010广东）为了迎接 2010年广州亚运会，某大楼安装 D . 54 种
5个彩灯，它们闪亮的顺序不
A . 1205 秒
B . 1200 秒
C . 1195秒
D . 1190秒
答）
22. （2017天津）用数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9组成没有重复数字，且至多有一个数
字是偶数的四位数，这样的四位数一共有_______________ 个.（用数字作答）
23. （2015广东）某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班
共写了 ___________ 条毕业留言.（用数字作答）
24 （2014浙江）在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分
配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有 ________ 种（用数字作答）.
25. （2014北京）把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品B相邻，且产品A与产品C不
相邻，则不同的摆法有 _______ 种.
26.
（2014广东）从0,123,4,5,6,7,8, 9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 ____ .
27. ________________ （2014江西）10件产品中有7件正品、3件次品，从中任取4件，则恰好取
到1件次品的概率是.
28. _____________________________________________________________ （2013北京）将序
号分别为1, 2, 3, 4, 5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是__________________________________ .
29. （2012湖北）回文
数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22, 121, 3443, 94249等.显然2位回文数有9个：11, 22, 33,…，99. 3位回文数有90个：101, 111, 121,…，191, 202,…，999.则
（I）4位回文数有_________ 个；
（H）2n 1（n • N .）位回文数有 ________ 个.
30. 给n个自上而下相连的正方形着黑色或白
色.当n 一4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示：
M.1 ■ □
",H B E
由此推断，当n =6时，黑色正方形互不相邻.的着色方案共有 ____________ 种，至少有两个 黑色正方形相邻的着色方案共有 _________ 种，（结果用数值表示）
31. （2013新课标2）从n 个正整数1 , 2,…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数
一_■ 一
1
之和等于5的概率为一，则n = __________ .
14
32. （2013浙江）将A, B,C,D,E,F六个字母排成一排，且代B均在C的同侧，则不同的
排法共有 ________ 种（用数字作答）.
33. （2010浙江）有4位同学在同一天的上、下午参加身高与体重”、立定跳远”、肺活量”、
握力”、台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复•若上午不测握力”项目，下午不测台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人•则不同的安排方式共有 _____________________ 种（用数字作答）.
专题十计数原理
第三十讲排列与组合
答案部分
1. C【解析】不超过30的素数有2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29，共10个，从中
随机选取两个不同的数有C20种不同的取法，这10个数中两个不同的数的和等于30的
3 1
有3对，所以所求概率P二肓1，故选C.
C10 15
2. D【解析】由题意可得，一人完成两项工作，其余两人每人完成一项工作，据此可得，
只要把工作分成三份：有C2种方法，然后进行全排列，由乘法原理，不同的安排方式
2 3
共有C4 A3 =36种.故选D.
1 1
3. C【解析】不放回的抽取2次有C9C8 =9 8 =72，如图
2, 3, 4, 5, 6,乙 8, 9 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
可知（1,2）与（2,1）是不同，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同有2C；C4 =40,所求
40 5
概率为72 81、3、5中任选一个,
一 4 5
4B【解析】由题意可知E > F有6种走法，F > G有3种走法，由乘法计数原理知，共有6 3=18种走法，故选B .
5D【解析】由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为
数为(1 a a 2 a 3
a 4 a 5) (1
b 5) (1 c)5.
有A 3种方法，其他数位上的数可以从剩下的 4个数字中任选，进行全排列，有A 4种方
法，所以其中奇数的个数为 A 3A 4 =72，故选D .
6.
B 【解析】据题意，万位上只能排 4、5•若万位上排4，则有
2 A ：个；若万位上排 5,
3
3
3
则有3 代 个.所以共有2 A 4 3 A 4 =5 24 =120个，选B .
24 -2
7
7. D 【解析】P —
2 8
& D 【解析】易知I 人I • I X 2 I ■ |X 3 | | X 4 | | X 5
1或2或3,下面分三种情况讨论. 其一： | X ! | ■ | X 2 | ■ I X 3 I |X 4 I I X 5
1，此时，从
X 1
,X 2, X 3.X 4.X 5
中
任取一个让其等于 1
或-1，其余等于 0,于是有 c ；c ； =10种情况；其二：IX 1 I ■ IX 2I ■ IX 3I ■ IX 4 I ■ IX 5^ 2, 此时，从X 1,X 2, X 3,X 4, X 5中任取两个让其都等于 1或都等于-1或一个等于1、另一个 等于-1，其余等于0，于是有2C ； +C ；c 2 =40种情况；其三：
I X 1 I ■ I X 2 I ■ I X 31 ■ IX 4 I ■ I X 5 3，此时，从 X 1.X 2, X 3.X 4.X 5 中任取三个让其都等于
1或都等于-1或两个等于1、另一个等于-1或两个等于-1、另一个等于1,其余等于
0,于是有 2C ； +c f c 3 +c 55c f =80 种情况•由于 10+40+80 = 130 .
9. c 【解析】直接法：如图，在上底面中选
BD 1，四个侧面中的面对角线都与它成
60 ,
共8对，同样AC^!对应的也有8对, 有32对；左右侧面与前后侧面中共有 对. 间接法：正方体的12条面对角线中,
成角为60，所以成角为60的共有C|2 -12-6 =48 .
下底面也有16对，这共
16对，所以全部共有48
任意两条垂直、平行或
数为(1 a a 2 a 3 a 4 a 5) (1 b 5) (1 c)5.
(1 a a 2 a 3 a 4 a 5)种不同的取法；第二步，5个无区别的篮球都取出或都不取
5
出，则有(1 b )种不同的取法；第三步，
5个有区别的黑球看作 5个不同色，从5个
不同色的黑球任取 0个，1个，…，5个，有(1 c)5种不同的取法，所以所求的取法种
10. A 【解析】分三步：第一步 5个无区别的红球可能取出
0个，1个，…，5个，则有
11. B 【解析】能够组成三位数的个数是
9X 10X 10=900,能够组成无重复数字的三位数的
个数是9X 9X 8 =648.故能够组成有重复数字的三位数的个数为 900 一648二252 .
12.
A 【解析】先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的 1名教师和2名学生安排到 乙
地，共有C ；C ： =12种.
13. D 【解析】和为偶数，则 4个数都是偶数，都是奇数或者两个奇数两个偶数，则有
C 44 C 54 C
2 C 5^ -1 5 6^66种取法.
14.
C 【解析】若没有红色卡片，则需从黄、蓝、绿三色卡片中选
3张，若都不同色则有
111 2 12 1
C 4汉C 4汉C 4=64,若2张同色，则有C 3汉C 2汉C 4汇C 4 =144，若红色1张，其余2 张不同色，
则有c4><cf XC4><C4 =192，其余2张同色则有c4xc ；xc2=72，所以 共有 64+144+192+72=472 .
3
3
21
16 x ：15x ：
14
另解 1： C ；6 -4C ： -C ：C ；2
16 —72 = 560 — 88 = 472,答案应选 C .
6
12 11 10 12 11
另解 2： C 0G ： -3C ： C 1C 2 =
-12 4 ^^=220 264 — 12 = 472.
6 2
4
15. B 【解析】B , D , E , F 用四种颜色，则有 A 4 1 1=24种涂色方法；B , D , E , F 用
3
3
三种颜色，则有 A 4 2 2 A 4 2 1 2=192种涂色方法；B , D , E , F 用两种颜色， 则有 A 2 2=48种涂色方法；所以共有 24+192+48=264种不同的涂色方法. 16.
B 【解析】分两类：一类为甲排在第一位共有
A 4 =24种，另一类甲排在第二位共有 A 3A |
=18种，故编排方案共有 24+18 = 42种，故选B .
17.
C .【解析】共有5! =120个不同的闪烁，每个闪烁要完成
5次闪亮需用时间为5秒，
共5 120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为
5秒，共5 （120 —1）=595秒。

那么需要的
时间至少是600+ 595=1195秒.
18. C【解析】由于五个人从事四项工作，而每项工作至少一人，那么每项工作至多两人，
因为甲、乙不会开车，所以只能先安排司机，分两类：（1）先从丙、丁、戊三人中任选一人开车；再从其余四人中任选两人作为一个元素同其他两人从事其他三项工作，共
12 3
有C3C4A3种.（2）先从丙、丁、戊三人中任选两人开车：其余三人从事其他三项工作，
共有C3A 3种.所以，不同安排方案的种数是C3C4A 3 +C3A3 =126 （种）.故选C .
19. 16【解析】通解可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有
1 2 2 1
C2C4 =12 （种）；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C2C4 =4 （种）. 根据分类加法计数原理知，至少有I位女生人选的不同的选法有16种.
优解从6人中任选3人，不同的选法有C；=20 （种），从6人中任选3人都是男生，不同的选法有C4 =4 （种），所以至少有1位女生入选的不同的选法有20-4 =16 （种）.
20. 1260【解析】若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为C5C3A4 ；若取
的4个数字包括0,则可以组成的四位数的个数为C；C；C3A3 .综上，一共可以组成的
2C2A：+C；C3C；A3=720+ 540 =1 260 .
没有重复数字的四位数的个数为C
4 4
21. 660【解析】分两步，第一步，选出4人，由于至少1名女生，故有C8-C6 = 55种不
4 =12种不同的选法，根
同的选法；第二步，从4人中选出队长、副队长各一人，有A
据分步乘法计数原理共有55 12二660种不同的选法.
13 4 4
22. 1080【解析】分两种情况，只有一个数字
为偶数有C4C5A4个，没有偶数有A5个，所以共有岸+。

4。

5^ =1080个.
23. 1560【解析】由题意A^ =1560，故全班共写了1560条毕业留言.
24. 60【解析】分情况：一种情况将有奖的奖券按
2张、1张分给4个人中的2个人，种数
2 12 3
为C3C1A4 -36 ；另一种将3张有奖的奖券分给4个人中的3个人，种数为A4-24 , 则获奖情况总共有36 +24 =60 （种）.
2
25. 36 !解析】将A、B捆绑在一起，有A种摆法，再将它们与其他3件产品全排列，有A44 种摆法，
共有A22 A4=48种摆法，而A、B、C 3件在一起，且A、B相邻，A、C相邻有CAB、BAC 两种情况，将这3件与剩下2件全排列，有2 A3 =12种摆法，故A、B相邻，A、C不相邻的摆法由48-12=36 .
C 3 C3
26. 1【解析】6之前6个数中取3个，6之后3个数中取3个，P=—6— = 1；
6C0 6；
1
27. 【解析】从10件产品中任取4件共有C：0=210种不同取法，因为10件产品中有7
2
件正品、3件次品，所以从中任取4件恰好取到1件次品共有C；C/=1O5种不同的取
法，故所求的概率为p = I05 =丄.
210 2
28. 96【解析】5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法分给4个人有A种方法，•••
总共有4A：=96 .
29. ［解析】(I) 4位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不
能为0,有9( 1~9)种情况，第二位有10(0~9)种情况，所以4位回文数有9 10 = 90
种.答案：90
(n)法一、由上面多组数据研究发现，2n 1位回文数和2n • 2位回文数的个数相
同，所以可以算出2n 2位回文数的个数. 2n 2位回文数只用看前n 1位的排列情况，第一位不能为0有9种情况，后面n项每项有10种情况，所以个数为9 10n.
法二、可以看出2位数有9个回文数，3位数90个回文数。

计算四位数的回文数是可
以看出在2位数的中间添加成对的“ 00,11,22,……99”，因此四位数的回文数有90个按此规律推导S2n =10S2n -2，而当奇数位时，可以看成在偶数位的最中间添加0~9这十个数，因此S2n ^10S2n，则答案为9 10n.
30. 21 43【解析】n =1,2,3,4时，黑色正方形互不相邻的着色方案种数分别为2, 3, 5, 8, 由此可看出后一个总是前2项之和，故n =5时应为5+8=13, n=6时应为8+13=21 ; n = 6时，所有的着色方案种数为N二C：• C：• C2• C：• C：• C：• C： = 64种，•
至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有64-21 = 43种.
2 1
31. 8【解析】由题意2 ，解得n =8 .
C 14
32. 480【解析】第一类，字母C排在左边第一个位置，有A5种；第二类，字母C排在左边第二个
2A3A；A3种，由对称位置，有A；A；种；第三类，字母C排在左边第三个位置，有A
；A3 A2A3)=480种.
性可知共有 2 (A；+A；A3+A
33. 264【解析】上午的总测试方法有A J =24种，我们以A,B,C, D,E依次代表五个测试
项目，若上午测试E的下午测试D，则上午测试A的下午只能测试B,C，此种测试方法共有2种；若上午测试E的同学下午测试A,B,C之一，则上午测试A, B,C中任何一个的下午都可以测试D，安排完这个同学后其余两个同学的测试方式就确定了，故
共有3 3 =9种测试方法，即下午的测试方法共有11种，根据分步乘法原理，总的测
试方法共有24 11二264种.。