重庆綦江中学高二数学理期末试卷含解析

重庆綦江中学高二数学理期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，在平行四边形中，O是对角线AC，BD的交点，N是线段OD的中点，AN的延长线与CD交于点E，则下列说法错误的是( )
A． B．
C． D．
参考答案：
D
2. 长方体的一个顶点上三条棱长是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
3. 曲线在点处的切线方程为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
，，则切线方程为，即.
4. 下列各点中，不在表示的平面区域内的是（）
A、 B、 C、 D、
参考答案：
C
略
5. 函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，则下列式子正确的是（）A．0＜f′（1）＜f′（2）＜f（2）﹣f（1）B．0＜f′（2）＜f（2）﹣f（1）＜f′（1）C．0＜f′（2）＜f′（1）＜f（2）﹣f（1）D．0＜f（2）﹣f（1）＜f′（1）＜f′（2）参考答案：
B
【考点】函数的图象；函数的单调性与导数的关系．
【分析】利用导数的几何意义，直线的斜率，判断求解即可．
【解答】解：函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是f（x）的导函数，
可知函数在x∈[1，2]是增函数，0＜f′（2）＜f′（1），
∈（f′（2），f′（1）），
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象的应用，导函数的几何意义，考查计算能力．
6. 函数的图像关于直线对称的充要条件是（）
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
A
略
7. 复数，则复数z的模等于（）
A．2 B．C．D．4
参考答案：
C
略
8. 平面与平面
平行的条件可以
是（▲ ）
A．内有无穷多条直线与平行； B．直线a//,a//
C．直线a,直线b,且a//,b// D．内的任何直线都与平行
参考答案：
D
9. （1999?广东）直线x+y﹣2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是( )
A．B．C．D．
参考答案：
C
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】先求圆心到直线的距离，再求劣弧所对的圆心角．
【解答】解：圆心到直线的距离：，
圆的半径是2，劣弧所对的圆心角为60°
故选C．
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，是基础题．
10. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）
A. 向左平移个单位
B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位
D. 向右平移个单位
参考答案：
B
【详解】=cos2x,=,所以只需将函数
图象向右平移个单位可得到
故选B 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知函数是定义在R上的最小正周期为3的奇函数，当时，
，则。

参考答案：
-1
12. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，
反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形球盘，点
是它的两个焦点，长轴长，焦距
，静放在点的
小球（小球的半径不计）从点沿直线（不与长轴共线）发出，经椭圆
壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程为．
参考答案：
20
略
13. 已知随机变量ξ～B（n，p），且Eξ=6，Dξ=3，则n= _________ ．
参考答案：
12
略
14. 用数学归纳法证明且，第一步要证的不等式是_________．参考答案：
试题分析：式子的左边应是分母从1，依次增加1，直到，所以答案为。

考点：本题主要考查数学归纳法的概念及方法步骤。

点评：简单题，理解式子的结构特点，计算要细心。

15. 已知则的最小值_____________
参考答案：
12
略
16. 已知空间向量=（2，－3，t），=（－3，1，－4），若·=，则实数=________. 参考答案：
－2
17. 若两个非零向量,满足,则与的夹角为▲
．
参考答案：
略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，，且（为正整数）（1）求出数列的通项公式；
（2）若对任意正整数，恒成立，求实数的最大值.
参考答案：
解：（Ⅰ），①
当时，. ②……（1分）
由① - ②，得. ……………………（2分）
. ……………………（3分）
又，，解得. …… （4分）
数列是首项为1，公比为的等比数列.
（为正整数）……………………（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知…………………（8分）
由题意可知，对于任意的正整数，恒有，.
数列单调递增，当时，数列中的最小项为，…（10分）
19. 已知椭圆的两个焦点坐标分别是（﹣2，0），（2，0），并且经过点（，﹣），求它的标准方程．
参考答案：
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】由已知条件利用椭圆定义求解．
【解答】解：∵椭圆的焦点在x轴上，
∴设它的标准方程为，
由椭圆的定义知：
，
∴．
又∵c=2，
∴b2=a2﹣c2=6，
∴椭圆的标准方程为．
20. 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是一条渐近线的方程是
（1）求双曲线C的方程；
（2）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.
参考答案：
（1）解：设双曲线C 的方程为由题设得
解得
所以双曲线C 的方程为
（2）解：设直线l 方程为点M
，N
的坐标满足方程组
①
②
将①式代入②
式，得
整理得
此方程有两个不等实根，于是
，且
整理得
. ③
由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标（）满足
从而线段MN 的垂直平分线的方程为
此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为由题设可得
整理得
将上式代入③式得，整理得 解得所以k 的取值范围是
21. （12分）(1)以点
为圆心且与直线相切的圆的方程.
(2) 求过点
且与直线平行的直线方程．
参考答案：
略
22. 如图，中心在原点的椭圆的焦点在x 轴上，长轴长为4，焦距为2
，O 为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）是否存在过M （0，2）的直线与椭圆交于A ，B 两个不同点，使以AB 为直径的圆过原点？若存在，求出直线方程，若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）设椭圆的方程为：，由继而求出b2=a2﹣
c2=1，继而得出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线斜率为k，则直线l的方程为：y=kx+2，由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0，由OA⊥OB得到x1x2+y1y2=0．代入求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的方程为：，∵2a=4∴a=2…（1分）
∵…（2分）∴b2=a2﹣c2=1…（3分）
所以，椭圆的方程为：…（4分）
（Ⅱ）法一：假设存在过M（0，2）的直线l与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，依题意可知OA⊥OB．
①当直线l的斜率不存在时，A、B分别为椭圆短轴的端点，不符合题意…（5分）
②当直线l的斜率存在时，设为k，则直线l的方程为：y=kx+2
由得：（4k2+1）x2+16kx+12=0…（6分）
令△＞0，得：（16k）2﹣4?（4k2+1）?12=4k2﹣3＞0∴…（7分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则…（8分）又y1=kx1+2，
y2=kx2+2∴==
…（9分）
∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…（10分）∴∴∴k=±2…（11分）
∴直线l的方程为：y=±2x+2，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0，
所以，存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，其方程为：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0．…（12分）
（Ⅱ）法二：假设存在过M（0，2）的直线l与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，依题意可知OA⊥OB，设直线l的方程为：x=m（y﹣2）…（5分）
由得：（m2+4）y2﹣4m2y+4m2﹣4=0…（6分）
令△＞0，得：16m4﹣4?（m2+4）?（4m2﹣4）=64﹣48m2＞0∴…（7分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则…（8分）
又=…（9分）
∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0…（10分）
∴∴，
∴…（11分）∴所求直线的方程为：，即2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0
所以，存在过M（0，2）的直线与椭圆交于A、B两个不同点，使以AB为直径的圆过原点，其方程为：2x﹣y+2=0或2x+y﹣2=0…（12分）
【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合题，属于难度较大的题目，计算量大，在高考中经常在压轴题中出现．。