江苏省金坛金沙高级中学高考数学模拟试卷

金坛金沙高级中学2009年高考数学模拟试卷
2009.5 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1.设U 为全集，M 、P 是U 的两个子集，且P P M C U =⋂)(，则=⋂P M _________ 2．偶函数)(x f 在区间[0,a]（a>0）上是单调函数， 且f （0）·f （a ）<0，则方程0)(=x f 在区间[－a,a ]内根的个数是__2_______
3．已知,R m ∈复数,)32(1
)
2(2i m m m m m z -++--=
若z 对应的点位于复平面的第二
象限，则m 的取值范围是 m<-2或1<m<2 ．
4.若条件41:≤+x p ,条件65:2-<x x q ,则p ⌝是q ⌝的 充分非必要 条件.(充分性和必要性都要作出判断)
5．已知向量(3,4),(6,3),(5,3).OA OB OC m m =-=-=---若点A 、B 、C 三点共线，则实数m 应满足的条件为___1/2_____
6. 在10
103cos ,21tan ,==∆B A ABC 中，则tan C 的值是_-1________．
7．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥P-ABCDEF ，则此正六棱锥的体积为
________
8．定义在R 上的函数⎩
⎨⎧≤<-≤<-=-=+)10(1)
01(1)(),()1()(x x x f x f x f x f 且满足，则f
（3）= -1 ____
9．设函数()cos cos )f x x x x ωωω=+(其中02ω<<),若函数()f x 图象的一条对称轴为3
x π
=
，那么ω=__1/2__________
10．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差0<d . 若存在正整数(3)m m ≥，使得m m a S =，则当n m >（+∈N n ）时，有._____n n S a <（填“>”
、“<”、“=”）.
A
11. 给出下列四个命题，其中真命题为__①_③__________
①命题“∃x ∈R ，使得x 2＋1＞3x ”的否定是“∀x ∈R ，都有x 2＋1≤3x ”；
②“m =－2”是“直线（m ＋2）x ＋my ＋1=0与直线（m －2）x ＋（m ＋2）y －3=0相互
垂直”的必要不充分条件；
③设圆022=++++F Ey Dx y x 与坐标轴有4个交点分别为
()()()()2121,0,,0,0,,0,y D y C x B x A 则02121=-y y x x ；
④函数()x x x f -=sin 的零点个数有3个．
12.若定义在R 上的减函数()y f x =,对于任意的,x y
R ∈,不等式22(2)(2)f x x f y y -≤--成立.且函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称,则当
14x ≤≤时,
y
x
的取值范围是__[-1/2,1]_________ 13． 已知点P 的坐标(,)x y 满足4,,1.x y y x x +⎧⎪
⎨⎪⎩
≤≥≥ 过点P 的直线l 与圆22:14C x y +=交
于A 、B 两点，那么||AB 的最小值是 4 . 14.设函数21123()n n f x a a x a x a x -=+++
+，1
(0)2
f =
，数列{}n a 满足2*(1)()n f n a n N =∈，则数列{}n a 的通项n a 等于
1
(1)
n n + .
二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本题满分14分)
如图,
在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形,侧面PAD ⊥底面
ABCD ，且2PA PD AD ==,若E 、F 分别为BD 的中点.
(Ⅰ) EF //平面PAD ；
(Ⅱ) 求证:平面PDC ⊥平面PAD ；
15.(Ⅰ)证明：连结AC ，在CPA ∆中
EF //PA ………………………………………………………………..3分
且PA ⊆平面PAD ，EF ⊄平面PAD ∴PAD EF 平面//………………………….7分
(Ⅱ)证明：因为面PAD ⊥面ABCD 平面PAD
面ABCD AD = CD AD ⊥
所以，CD ⊥平面PAD CD PA ∴⊥………………………………………………………………………9分
又2
PA PD AD ==
，所以PAD ∆是等腰直角三角形，且2PAD π∠=
即PA PD ⊥…………………………………………………………………………………………………………………….11分
C D
P D D =，且CD 、PD ⊆面ABCD PA ⊥面PDC
又PA ⊆面PAD 面PAD ⊥面PDC …………………………………………………14分
16．（本题满分14分） 在△ABC 中，设A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，向量m =（cosA ，sinA ），
n =（A A cos ,sin 2-），若|n m + |=2. （Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）若ABC a C b ∆=
=求且,2,24的面积.
解：（Ⅰ）)sin cos ,sin cos 2(A A A A n m +-+=+
222)sin (cos )sin cos 2(||A A A A n m ++-+=+
22)sin (cos )sin (cos )sin (cos 222A A A A A A ++-+-+= 2)sin (cos 222+-+=A A
)4
sin(44π
-
-=A ………………4分
2||=+n m 4)4s i n (44=--∴πA
0)4
sin(=-π
A …………………6分
又π<<A 0 434
4
ππ
π
<
-
<-
∴A ,04
=-∴π
A 4
π
=
∴A ……………8分
（Ⅱ）由余弦定理，
得又,4
,2,24,cos 2222π
=
==-+=A a c b A bc c b a
,2
2
224223222⋅
⨯⨯-+=a a a
即24,032282==+-a a a 解得
8=∴c …………………12分
164sin 82421sin 21=⨯⨯⨯=⋅-∴∆π
A c b S ABC …………………14分
16)24(2
1
2=⨯=∆ABC S
17．（本小题满分14分）
已知可行域0,
20,0,
y x y ≥⎧⎪
+≥⎨+-≤的外接圆C 与x 轴交于点A 1、A 2，椭圆C 1以线段
A 1A 2
为长轴，离心率e =
． （1）求圆C 及椭圆C 1的方程；
（2）设椭圆C 1的右焦点为F ，点P 为圆C 上异于A 1、A 2的动点，过原点O 作直线
PF
的垂线交直线x =Q ，判断直线PQ 与圆C 的位置关系，并给出证明．
17.(1)由题意可知，可行域是以12(2,0),(2,0)A A -
及点(1
M 为顶点的三角形， ∵12A M A M ⊥，∴12A A M ∆为直角三角形，∴外接圆C 以原点O 为圆心， 线段A 1A 2为直径，故其方程为2
2
4x y +=．…………4分
∵2a =4，∴a =2．
又2
e =
，∴2=c
，可得b = ∴所求椭圆C 1的方程是22
142
x y +=．…………8分 （2）直线PQ 与圆C 相切．
设000(,)(2)P x y x ≠±，则2
2
004y x =-．
当0x 1),0,22(),2,2(-=⋅±PQ OP k k Q P ，∴OP PQ ⊥；
当0x ≠0
0002
,2
y x k x y k OQ PF --
=∴-=
∴直线OQ
的方程为00
x y x y =-
．…………10分 因此，点Q 的坐标为)4
22,22(0
0x y x --
．
∵,)
22()22()
22(422224
20
0000002
00
00y x x y x x x y y x x y y x k PQ -
=--=
-+-=
----
=
……12分 ∴当00x =时，0PQ k =，OP PQ ⊥； 当00x ≠时候，0
OP y k x =
，∴1,PQ OP k k OP PQ =-⊥． 综上，当02x ≠±时候，OP PQ ⊥，故直线PQ 始终与圆C 相切．…………14分 18. (本小题满分16分)
已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，首项a 12=且前n 项和为S n .
（I ）当S 936=时,在数列{}n a 中找一项a m N m ()∈,使得39m a a a ,,成为等比数列,求m 的值.
（II ）当a 36=时，若自然数12,,
,,k n n n 满足312<<<<<n n n k 并且
1213,,n n a a a a ,,k n a ,,是等比数列，求n k 的值。

18(I) 数列{}n a 的公差d a S ≠==023619，，， 1
3692982
d ∴=⨯+⨯⨯ 391362
d a a ∴=∴==，， ……4分 由
39m
a a a ,,成等比数列则
a a a m 923=⋅，得a m =12
，又
122112
21=+-⨯
∴=()m m ……8分
（II ） {}a n 是等差数列，a a d 13262==∴=，，， ∴=a n n 2
又a a a n 131，，成等比数列，所以公比q =3．．．．．．12分，
又a n k 是等差数列中的项 ,∴=∴=⋅+a n n n k k k k 22231，,
∴=∈+n k N k k 31() ……16分
19. (本小题满分16分)
设函数),10(323
1)(223
R b a b x a ax x x f ∈<<+-+-
=. （Ⅰ）求函数f （x ）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若对任意的],2,1[++∈a a x 不等式| f ′（x ）|≤a 恒成立，求a 的取值范围.
19.（Ⅰ）2234)(a ax x x f -+-='
（2分）
令,0)(>'x f 得)(x f 的单调递增区间为（a ,3a ）
令,0)(<'x f 得)(x f 的单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞） （6分） ∴当x=a 时，)(x f 极小值=;4
33
b a +-
当x=3a 时，)(x f 极小值=b. （10分）
（Ⅱ）由|)(x f '|≤a ，得－a ≤－x 2+4ax －3a 2≤a .①（7分）
∵0<a <1，∴a +1>2a .∴]2,1[34)(2
2++-+-='a a a ax x x f 在上
是减函数. （12分）
∴.44)2()(.12)1()(min max -=+='-=+'='a a f x f a a f x f 于是，对任意]2,1[++∈a a x ，不等式①恒成立，等价于
.154
.
12,44≤≤⎩⎨
⎧-≥-≤-a a a a a 解得又,10<<a ∴.154<≤a （16分） 20． (本小题满分16分)
.数列{}n a ，)(32,1211*+∈+-==N n n n a a a n n
（1）是否存在常数{}
，，n n a ，，n 若存在是等比数列使得数列μλμλ++2求μλ、
的值，若不存在，说明理由。

（2）设 n n
n n n b b b b ，S n a b ++++=-+=
- 3211
2
1
证明：3
5
)12)(1(62<<++≥n S n n n n 时
20 )(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n μλμλ++=+++++-=++可化为 即
μ
λλμλ---++=+n n a a n n )2(221 故
⎩
⎨⎧=-=⎪⎩
⎪
⎨⎧=--=--=11
0321
μλμλλμλ解得 …………5分 )(2)1()1(3222121n n a n n a n n a a n n n n +-=+++-+-=∴++可化为
且01121≠+-a 故存在}{
n n a n μλμλ++=-=21,1使得数列是等比数列 …………10分
(2) 证明 12122)11(-⋅+-=+-n n a n n a
得n n a n n -+=-212
故 2
1121n
n a b n n n =-+=
- …………12分 2
11
211411122+
--=-<=
n n n n b n ⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛+-
-++⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<++++=≥2112112712512512311,2321n n b b b b S n n n 时 35
2
113
21<+
-+=n （14分）
现证 )2()
12)(1(6≥++>
n n n n
S n
证 当,4
5411221=+
=+==b b S n n 时
5
4
45,545312)12)(1(6>=⨯=++n n n 而
故2=n 时成立
1
11)1(11,
32+-=+>=
≥n n n n n b n n 由时 )
1
1
1()4131()3121()211(321+-++-+-+->++++=n n b b b b S n n 1111+=+-=n n n 且1
26
1612+>
>+n n 得 )
12)(1(61++>+>
∴n n n
n n S n …………16分。