2020届四川省宜宾市第四中学高三上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)

2020届四川省宜宾市第四中学高三上学期第一次月考数学
（理）试题
一、单选题
1．已知集合{}
{
}
2
02,20A x x B x x x =<<=+-<，则A B =
A ．{}
12x x << B ．{}
21x x -<<
C ．{}01x x <<
D ．{}
22x x -<<
【答案】C
【解析】解一元二次不等式求得集合B ，然后求两个集合的交集. 【详解】
由()()2
2210x x x x +-=+-<，解得21x -<<，所以()0,1A
B =，故选C.
【点睛】
本小题主要考查两个集合交集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
2．设命题0:p x ∃<0,001x
e x ->，则p ⌝为
A ．0,1x x e x ∀≥->
B ．0,1x x e x ∀<-≤
C ．0000,1x
x e x ∃≥-≤ D ．0000,1x
x e x ∃<-≤
【答案】B
【解析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，判断出正确选项. 【详解】
原命题是特称命题，否定是全称命题，注意要否定结论，故本小题选B. 【点睛】
本小题主要考查全称命题与特称命题，考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题. 3．已知m ∈R ，复数113i z =+，22z m i =+，且12z z ⋅为实数，则m =（ ） A ．23
-
B ．
23
C ．3
D ．-3
【答案】B
【解析】把22z m i =-和 113z i =+代入12z z ⋅再由复数代数形式的乘法运算化简，利用虚部为0求得m 值． 【详解】
因为()()()()12132632z z i m i m m i ⋅=+-=++-为实数，所以320m -=，解得
23
m =
. 【点睛】
本题考查复数的概念，考查运算求解能力.
4．“m ＝﹣2”是“直线2x +（m ﹣2）y +3＝0与直线（6﹣m ）x +（2﹣m ）y ﹣5＝0垂直”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】A
【解析】求出直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】
若直线2x +（m ﹣2）y +3＝0与直线（6﹣m ）x +（2﹣m ）y ﹣5＝0垂直， 则2（6﹣m ）+（m ﹣2）（2﹣m ）＝0，
得12﹣2m ﹣m 2
+4m ﹣4＝0，
即m 2
﹣2m ﹣8＝0， 得（m +2）（m ﹣4）＝0， 得m ＝4或m ＝﹣2，
则m ＝﹣2是“直线2x +（m ﹣2）y +3＝0与直线（6﹣m ）x +（2﹣m ）y ﹣5＝0垂直”的充分不必要条件， 故选：A ． 【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线垂线的等价条件求出m 的范围是解决本题的关键．
5．下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)内是增函数的是（ ） A ．ln y x x = B ．2y x x =+ C ．sin 2y x = D ．x x y
e e -=-
【答案】D
【解析】根据函数的奇偶性和在()0,1内的单调性，对选项逐一分析排除，由此得出正确选项. 【详解】
对于A 选项，由于函数的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，排除A 选项.对于B 选项，由于()()2
f x x x f x -=-≠-，所以函数不是奇函数，排除B
选项.对于C 选项，眼熟sin 2y x =在π0,
4⎛⎫ ⎪⎝
⎭上递增，在ππ,42⎛⎫
⎪⎝⎭
上递减，排除C 选项.由于A,B,C 三个选项不正确，故本小题选D. 【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查函数的定义域，属于基础题. 6．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则6S =（ ） A ．63 B ．62
C ．61
D ．60
【答案】A
【解析】由等比数列的性质可得S 2，S 4-S 2，S 6-S 4成等比数列，代入数据计算可得． 【详解】
因为2S ，42S S -，64S S -成等比数列，即3，12，615S -成等比数列，所以
615124S -=⨯，解得663S =.
【点睛】
本题考查等比数列的性质与前n 项和的计算，考查运算求解能力.
7．已知tan 2,(0,)ααπ=∈，则sin 2cos 2α
πα=
⎛⎫+ ⎪⎝⎭
（ ）
A
． B
C
．5
-
D
．
5
【答案】A
【解析】由诱导公式及二倍角公式化简sin22cos αcos 2α
πα=-⎛⎫
+ ⎪⎝⎭，由2sin cos α
α=结合221sin cos αα+=得cos α，即可求解
【详解】
sin22cos 2sin cos sin ααα
παα=-⎛⎫
+ ⎪⎝⎭=2cos α,-又22tan 2,1sin sin cos cos α
αααα==+=,
解cos α= 又()α0π∈，，tan 0α>,故α02π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，，
故cos α=
所以sin2cos 2απα=⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
故选：A 【点睛】
本题考查同角三角函数的基本关系式，熟记公式是关键，考查计算能力，是基础题 8．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡我()
cong ，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少？”（注：1丈=10尺，取3π=）（ ） A ．704立方尺 B ．2112立方尺 C ．2115立方尺 D ．2118立方尺
【答案】B
【解析】根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积. 【详解】
设圆柱体底面圆半径为r ，高为h ，周长为C . 因为2C r π=，所以2C
r π
=
， 所以2222
2
4811
4412
C C h V r h h ππππ⨯==⨯⨯== 2112=（立方尺）. 故选B 项. 【点睛】
本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题. 9．若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．264
B ．270
C ．274
D ．282
【答案】A
【解析】本题首先可以通过三视图画出该几何体的直观图，然后通过三视图中各边的长得出该几何体中的各边的长，最后通过表面积计算公式即可得出结果。

【详解】
由三视图可得，该几何体的直观图如图所示，
延长BE 交DF 于A 点，其中16AB AD DD ===，3AE =，4AF =， 所以表面积()34
36536246302642
S ⨯=⨯+⨯+
⨯+⨯+=，故选A 。

【点睛】
本题考查三视图的相关性质以及棱柱的表面积的求法，主要考查根据三视图画出几何体的直观图以及通过三视图来确定几何体的边长，考查空间想象能力和运算求解能力，棱柱的表面积是每一个面的面积之和，是中档题。

10．设p ：关于x 的方程420x x a --=有解；q ：关于x 的不等式2log (2)0x a +->对于0x ∀>恒成立，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】分别求出p 、q 成立时a 的取值范围，然后判断结果 【详解】
若p 成立则2
1142224x x x a ⎛⎫=-=-- ⎪⎝
⎭，所以14a ≥-，
若q 成立则21x a +->， 所以3a x >-对0x ∀>恒成立，
所以3a ≥.则q p ⇒,p q ¿,所以p 是q 的必要不充分条件 故选B 【点睛】
本题考查了必要不充分条件的判定，在判定时分别计算出满足条件的参数取值范围，由小范围可以推出大范围来判定结果
11．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=(0,0)a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，斜率为2直
线过点1F 与双曲线C 在第二象限相交于点P ，若2||OP OF =，则双曲线C 的离心率是（ ）
A
B
C ．2 D
．
2
【答案】B
【解析】由21OP OF OF ==，可知12PF F ∆是直角三角形，且12PF PF ⊥,斜率为2直线过点1F 与双曲线C 在第二象限相交于点P ,所以12tan 2PF F ∠=，在12Rt PF F ∆中，利用同角的三角函数之间的关系，求出1212sin ,cos PF F PF F ∠∠的值，然后求出
12,PF PF 的值，利用双曲线的定义，可求出曲线C 的离心率。

【详解】
因为21OP OF OF ==，所以12PF
F ∆是直角三角形，且12PF PF ⊥,由意可知12tan 2PF F ∠=
，所以有2112121212
sin ,cos PF PF PF F PF F F F F F ∠=
=∠==，
21PF PF ⇒=
=，由双曲线定义可知：
2122c
PF PF a a e a -=⇒
=⇒==，故本题B 。

【点睛】
本题考查了双曲线的定义以及离心率。

12．已知定义在R 上的函数()f x 满足2()()0f x f x '-<，且(ln 2)2f =
，则
(ln )0f x >的解集是（ ）
A ．(0,2) B
．
C ．(0,)e
D
．
【答案】A
【解析】先对对数换元，然后构造函数，结合已知，判断构造的函数的单调性，最后求出不等式的解集。

【详解】
令ln ,x t t R =∈,构造函数
'
2
2
''2
2
()()()2()()(2()())2t t t
t t
f t e e f x f t
g t g t f t f t e e --=⇒==-， 由已知可知：'
2()()0f t f t -<，所以'
()0()g t g t <⇒是R 上的减函数，
当ln 2t <
时，
ln 21ln 22
2
(ln 2)2()(ln 2)1)
f g t g e
e >==
=
，
2
2
()()1()t t f t g t f t =
>⇒>，
所以当ln ln 2x <
时，ln 2(ln )(ln )0x f x e
f x >=⇒>成立，
也就是当02x <<
时，ln 2
(ln )(ln )0x f x e
f x >=>成立，故本题选
A 。

【点睛】
本题考查了通过构造函数，利用导数求不等式解集的问题。

关键是换元法、构造函数法。

二、填空题
13
．已知1n
x ⎛ ⎝的展开式的所有项的系数和为64，则其展开式中的常数项为_______. 【答案】15
【解析】令1x =，可以求出n ，利用二项展开式的通项公式，求出常数项。

【详解】
已知1n
x ⎛ ⎝的展开式的所有项的系数和为64，令1x =，得2646n n =⇒=，
二项展开式的通项公式为3662
16
61()r
r
r r r r T C C x x
--+=⋅=，令36042r r -=⇒=， 所以常数项为4
615C =。

【点睛】
本题考查了二项展开式中所有项系数和公式。

重点考查了二项展开式中的常数项。

14．在某次语文考试中，A 、B 、C 三名同学中只有一名同学优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，
C 说：“A 没有得优秀”；B 说：“我得了优秀”；A 说：“C 说得是真话”。

事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是__________． 【答案】C
【解析】通过推理假设某一个说的是假话，推出矛盾，得到结果 【详解】
假如A 说的是假话，则C 说的也是假话，不成立；
假如B 说的是假话，即B 没有得优秀，又A 没有得优秀，故C 优秀； 假如C 说的是假话，即A 得优秀，则B 说的也是假话，不成立； 故答案为C . 【点睛】
本题考查了合情推理，先假设再推理出结果，较为简单
15．幂函数()
2
()33m
f x m m x =-+的图象关于y 轴对称，则实数m =_______.
【答案】2
【解析】根据幂函数的定义得到m 的值，再根据图象关于y 轴对称验证m 的值. 【详解】
函数(
)
2
()33m
f x m m x =-+是幂函数，2
331,m m ∴-+=
解得：1m =或2m =，
当1m =时，函数y x =的图象不关于y 轴对称，舍去， 当2m =时，函数2
y x =的图象关于y 轴对称，
∴实数2m =． 【点睛】
幂函数y x α
=，若α为偶数，则图象关于y 轴对称.
16．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()00f =.若对任意x R ∈，都有
()()1f x f x '+＞，则使得()1x f x e +<成立的x 的取值范围为______.
【答案】0x >
【解析】构造函数()()()0101
,01x
f x
g x g e e
--=
=
=-，对任意x ∈R 都有()()'1f x f x >+，可得()()()
'1'0x
f x f x
g x e
+-=
<，函数()g x 在R 单调递减，
利用其单调性即可得结果. 【详解】
构造函数：()()()0101
,01x
f x
g x g e e
--=
=
=-， 对任意x ∈R 都有()()'1f x f x >+，
()()()()
()()
2
'1'1'0x x
x
x
f x e f x e
f x f x
g x e e ⎡⎤--+-⎣⎦∴=
=
<，
∴函数()g x 在R 单调递减，
由()1x
f x e +<化为()()()110,0x
f x
g x g x e -=
-=∴，
∴使得()1x f x e +<成立的x 的取值范围为0x >，故答案为0x >.
【点睛】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
三、解答题
17．如图，已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且
sin ()sin sin a A c a C b B +-=，点D 是AC 的中点，DE AC ⊥，交AB 于点E ，且
2BC
=
，DE =
.
（1）求B ；
（2）求ABC △的面积. 【答案】(1) 60B ︒=
(2)
【解析】（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出B 。

（2）根据已知条件可以确定AE CE =，并求出它们的表达式，在BCE 中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出A ，BE 的大小，最后求出面积。

【详解】
解（1）()sin sin sin a A c a C b B +-=，由
sin sin sin a b c
A B C
==得222a c ac b +-=，
由余弦定理得2221
cos 22
a c
b B a
c +-==，
0B π<<，60B ︒∴=:
（2）连接CE ，如下图：D 是AC 的中点，DE AC ⊥，AE CE ∴=，
sin 2sin DE CE AE A A
∴==
=
， 在BCE 中，由正弦定理得
sin sin sin2CE BC BC
B BE
C A
==∠，
22sin sin602sin cos A A A ︒
∴
=，cos 2
A ∴=， 0A π<<，45A ︒∴=，
75ACB ︒∴∠=，30BCE ACB ACE ︒∴∠=∠-∠=，90BEC ︒∠=，
CE AE ∴==1AB AE BE =+=，
1·2ABC S AB CE ∆∴=
=
， 【点睛】
本题考查了正弦定理，余弦定理、三角形面积公式。

18．已知四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，
//AD BC ，3AB AD ==，4BC =，5AC =.
（1）当AP 变化时，点C 到平面PAB 的距离是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由；
（2）当直线PB 与平面ABCD 所成的角为45°时，求二面角A PD C --的余弦值. 【答案】(1)见解析；
(2) 19
-
【解析】(1)根据几何关系得到BC ⊥面PAB ，进而得到点面距离；（2）根据线面角得到45PBA ︒∠=，所以3PA AB ==，建立坐标系求得面的法向量由向量夹角的计算公式，进而得到二面角的余弦值. 【详解】
（1）由3AB =，4BC =，5AC =知222AB BC AC +=，则AB BC ⊥， 由PA ⊥面ABCD ，BC ⊂面ABCD 得PA BC ⊥，由P A A B A ⋂=，PA ，AB ⊂面
PAB ，
则BC ⊥面PAB ，则点C 到平面PAB 的距离为一个定值，4BC =.
（2）由PA ⊥面ABCD ，AB 为PB 在平面ABCD 上的射影，则PBA ∠为直线PB 与平面
ABCD 所成的角，则45PBA ︒∠=，所以3PA AB ==.
由//AD BC ，AB BC ⊥得AB AD ⊥，故直线AB 、AD 、AP 两两垂直，因此，以点A
为坐标原点，以AB 、AD 、AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间
直角坐标系，易得()0,0,3P ，()0,3,0D ，()3,4,0C ，于是()0,3,3DP =-，
()3,1,0DC =，
设平面PDC 的法向量为()1,,n x y z =，则11
·0·0n DP n DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即33030y z x y -+=⎧⎨+=⎩，取1x =，
则
3y =-，3z =-，于是()11,3,3n =--；显然()21,0,0n =为平面PAD 的一个法向量，
于是，
121212·cos ,1
n n n n n n =
== 分析知二面角A PD C --的余弦值为. 【点睛】
这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，线面角的找法，平面和平面的夹角。

求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。

面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。

19．在平面直角坐标系xOy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． （1）求圆C 的方程；
（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且OA OB ⊥，求a 的值． 【答案】（1）()()2
2319x y -+-=；（2）1a =-.
【解析】分析：（1）因为曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上，所以要求圆的方程应求曲线与坐标轴的三个交点。

曲线2
61y x x =-+与y 轴的交点为()0,1，与x
轴的交点为()3,+
()3-．由与x
轴的交点为()
3,+
()3-关于点(3,0)对称，故可设圆C 的圆心为()3,t ，由两点间距离公式可得(
)(2
2
2
2
31t t +-=+，解得1t =．进而可求得圆C
3=，
然后可求圆C 的方程为()()2
2319x y -+-=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，由
OA OB ⊥可得OA OB ⊥，
进而可得12120x x y y +=，减少变量个数。

因为11y x a =+，22y x a =+，所以()2121220x x a x x a +++=．要求值，故将直线与圆的方程联立可
得()()22
0,319.
x y a x y -+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，消去y ，得方程()22
228210x a x a a +-+-+=。

因为直线与圆有两个交点，故判别式2561640a a ∆=-->，由根与系数的关系可得
124x x a +=-，212212
a a x x -+=．代入()2121220x x a x x a +++=，化简可求得
1a =-，满足0∆>，故1a =-．
详解：（1）曲线2
61y x x =-+与y 轴的交点为()0,1，与
x 轴的交点为
()3
,+ ()
3-．故可设C 的圆心为()3,
t ，则有
()(2
2
2
231?t t +-=+，解得1t =．则圆
C 3=，所
以圆C 的方程为()()2
2319x y -+-=．
（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足方程组()()22
0,319.
x y a x y -+=⎧⎪
⎨-+-=⎪⎩ 消去y ，得方程()2
2
228210x a x a a +-+-+=．
由已知可得，判别式2561640a a ∆=-->，且124x x a +=-，
21221
2
a a x x -+=
． ① 由于OA OB ⊥，可得12120x x y y +=． 又11y x a =+，22y x a =+
所以()2
121220x x a x x a +++=． ②
由①②得1a =-，满足0∆>，故1a =-． 点睛：⑴求圆的方程一般有两种方法：
① 待定系数法：如条件和圆心或半径有关，可设圆的方程为标准方程，再代入条件可求方程；如已知圆过两点或三点，可设圆的方程为一般方程，再根据条件求方程；
②几何方法：利用圆的性质，如圆的弦的垂直平分线经过圆心，最长的弦为直径，圆心到切线的距离等于半径。

（2）直线与圆或圆锥曲线交于A ，B 两点，若OA OB ⊥，应设()11,A x y ，
()22,B x y ，可得12120x x y y +=。

可将直线与圆或圆锥曲线的方程联立消去y ，
得关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系得两根和与两根积，代入
12120x x y y +=，化简求值。

20．随着科技的发展，网络已逐逐渐融入了人们的生活。

在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，如果近的话当天买当天就能送到，或着第二天就能送到，所以网购是非常方便的购物方式，某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数i y （单位：人）与时间i t （单位：年）的数据，列表如下：
（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（计算结果精确到0.01）。

（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性线性回归模型拟合）
附：相关系数公式()()
n
i
i
t t y y r --=
∑
n
i i
t y nt y
-=
∑，参考
75.47≈.
（2）某网购专营店为吸引顾客，特推出两种促销方案。

方案一：毎满600元可减100元；
方案二：金额超过600元可抽奖三次，每次中奖的概率都为都为1
2
，且毎次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折。

①两位顾客都购买了1050元的产品，求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率。

②如果你打算购买1000元的产品，请从实际付款金额的数学期望的角度分折应该选择哪种优惠方案。

【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）根据公式得到相关系数的值，进而作出判断即可；（2）①由间接法得到结果即可；（2）方案一付款900元，方案二计算均值为850，通过比较可得到结果. 【详解】
（1）由题知3t =，47y =，
5
1
852i i
i t y
==∑
=
，
=
则
n
t t y y r --=
n
t y nty
-
147
0.970.75150.94
=
=≈≈>.
故y 与t 的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.
（2）①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次，设顾客没有中奖为事件A ，
则()3
031128
P A C ⎛⎫== ⎪
⎝⎭, 故所求概率为()()63164
P P A P A =-=
. ②若选择方案一，则需付款1000100900-=（元），
若选择方案二，设付款X 元，则X 可能取值为700，800，900，1000.
()3
33
1170028
P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；
()2
23113
800228P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭；
()2
1
3113900228P X C ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭；
()3
03
11
100028
P X C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.
所以()1331
70080090010008508888
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=（元）， 因为850900<，所以选择方案二更划算. 【点睛】
这个题目考查了相关系数的计算以及相关系数的实际意义，考查了均值在实际案例中所起到的作用.当r 的绝对值接近1时，说明直线的拟合程度越好，当r 值靠近0时说明拟合程度越差.
21．已知函数()ln ,x
e f x a x ax a R x
=--∈．
（1）当0a >时，讨论()f x 的单调性；
（2）证明：当2a ≥时，[,12]x ∀∈，2
()'()(1)02
x
x f x xf x e a x ++++-<．
【答案】（1）在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减；（2）详见解析.
【解析】（1）利用导数的运算法则可得()'f x ，分别解出()'0f x >，()'0f x <，即可得出单调区间．
（2）利用导数研究()h x =()()()2
12
x
x f x xf x e a x ++'++-的单调性，从而可判
断函数的最大值。

【详解】
（1）解：由题意知，()()
()22
1x x x ax e x a xe e f x a x x x
'+--=--=，()0,x ∞∈+. 当0a >时，0x ax e +>对()0,x ∞∈+恒成立， 所以当1x >时，()0f x '<；当01x <<时，()0f x '>. 所以函数()f x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减.
（2）证明：由题意知，即证当2a ≥时，对任意[]1,2x ∈，()2
ln 10
2
x a x a x a -+++≤恒成立，
令()()2
ln 12
x h x a x a x a =-+++，[]1,2x ∈，
所以()()()11x a x a
h x a x x x
--=
--+='，[]1,2x ∈. 因为2a ≥，[]1,2x ∈，则()0h x '≤，所以函数()h x 在[]
1,2上单调递减， 所以()()max 1
102
h x h ==-
<， 当2a ≥时，[]1,2x ∀∈，()()()2
102
x
x f x xf x e a x ++++-<'.
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值、不等式的解法、转化能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题． 22．[选修4-4：极坐标与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，曲线1C
的参数方程为x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），以坐
标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
4sin ρθ=.
（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）若射线θβ=02πβ⎛
⎫
<<
⎪⎝
⎭
与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +取最大值时tan β的值
【答案】(1) 1C
的极坐标方程为ρθ=.曲线2C 的直角坐标方程为
2240x y y +-=
. (2)
【解析】(1)先得到1C 的一般方程，再由极坐标化直角坐标的公式得到一般方程，将
222
x y y sin ρρθ⎧+=⎨
=⎩
代入得224x y y +=，得到曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点A 、B 的极坐标分别为()1,ρθ，()2,ρθ， 将θβ= 02πβ⎛
⎫
<<
⎪⎝
⎭
分别代入曲线1C 、2C
极坐标方程得：1ρβ=，24sin ρβ=
，4sin OA OB ββ+=+，之后进行化一，可得到最值，此时
2
π
βϕ=
-，可求解.
【详解】
（1
）由x y α
α
⎧=⎪⎨=⎪⎩
得220x y -+=，
将222
x y x cos ρρθ
⎧+=⎨=⎩代入得：
ρθ=，故曲线1C
的极坐标方程为ρθ=.
由4sin ρθ=得2
4sin ρρθ=，
将222
x y y sin ρρθ
⎧+=⎨=⎩代入得224x y y +=，故曲线2C 的直角坐标方程为22
40x y y +-=. （2）设点A 、B 的极坐标分别为()1,ρθ，()2,ρθ， 将θβ= 02πβ⎛⎫
<<
⎪⎝
⎭
分别代入曲线1C 、2C
极坐标方程得：1ρβ=，24sin ρβ=，
则4sin OA OB ββ+=+
()sin cos βββϕ=+=+⎭
，其 中ϕ
为锐角，且满足sin ϕ=
cos ϕ=，当2πβϕ+=时，OA OB +取最大
值，
此时2πβϕ=-，tan tan 2πβϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ sin 2cos 2πϕπϕ⎛⎫- ⎪
⎝⎭=
⎛⎫- ⎪⎝⎭
cos 3sin sin ϕϕϕ====【点睛】
这个题目考查了参数方程化为普通方程的方法，极坐标化为直角坐标的方法，以及极坐标中极径的几何意义，极径代表的是曲线上的点到极点的距离，在参数方程和极坐标方程中，能表示距离的量一个是极径，一个是t 的几何意义，其中极径多数用于过极点的曲线，而t 的应用更广泛一些.
23．已知函数()8f x x a x b =-+--，a ，b 为实数. （1）若1a =-，2b =，求不等式()0f x >的解集； （2）当0a >，0b >时，函数()f x 的最大值为7，求21
a b
+的最小值. 【答案】（1）511
{|}22
x x -
<<（2
）3+ 【解析】（1）分段讨论去绝对值求解不等式即可；
（2）利用绝对值三角不等式可得x a x b a b ++-≥+，从而得1a b +=，由
()2121a b a b a b ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
展开利用基本不等式求最值即可. 【详解】
（1）由题8120x x ---->，即128x x -+-<，（1） 当1x ≤时，由（1）式可得52x >-
，故此时5
12
x -<≤； 当12x <<时，由（1）式可得18<，故此时12x <<；
当2x ≥时，由（1）式可得112x <
，故此时1122
x ≤<； 综上所述，不等式()0f x >的解集为511
{|}22
x x -<<.
（2）因为x a x b x a x b a b a b ++-≥+-+=+=+， 故()()8f x a b ≤-+，即()87a b -+=，所以1a b +=，
则
(
)2121233b a a b a b a b a b ⎛⎫
+=++=++≥+ ⎪⎝⎭
，
当且仅当2a =
1b =-时取等号，
所以
21
a b
+的最小值为3+. 【点睛】
本题主要考查了解绝对值不等式及绝对值三角不等式求最值、基本不等式求最值，属于基础题.。