人教A版新教材高中数学第二册课时作业9：7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义

7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
A 组基础巩固练
一、选择题
1．若(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝3－5i ，a ，b ∈R ，则a ＋b ＝( ) A ．75
B ．－11
5
C ．－18
5
D ．5
2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( ) A ．－2 B ．4 C ．3
D ．－4
3．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R )，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( ) A ．3 B ．2 C ．1
D ．－1
4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →
对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →
对应的复数是( ) A ．2＋4i B ．－2＋4i C ．－4＋2i
D ．4－2i
5．若z ∈C ，且|z ＋2－2i|＝1，则|z －2－2i|的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
二、填空题
6．已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________. 7．在复平面内，O 是原点，OA →，OC →，AB →对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，则BC →
对应的复数为________．
8．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________. 三、解答题 9．计算：
(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)； (2)4－(5＋12i)－i ；
(3)若z －(－3＋5i)＝－2＋6i ，求复数z .
10．在复平面内，A ，B ，C 分别对应复数z 1＝1＋i ，z 2＝5＋i ，z 3＝3＋3i ，以AB ，AC 为邻边作一个平行四边形ABDC ，求D 点对应的复数z 4及AD 的长．
B 组素养提升练
11．(多选题)已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是( )
A ．若复数z 满足|z －i|＝5，则复数z 对应的点在以(1,0)为圆心，5为半径的圆上
B ．若复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，则复数z ＝15＋8i
C ．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模
D ．复数z 1对应的向量为OZ 1→，复数z 2对应的向量为OZ 2→，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则OZ 1→⊥OZ 2→
12．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( ) A ．0 B ．1 C ．
22
D ．12
13．若复数z 满足z ＝|z |－3－4i ，则z ＝________.
14．在复平面内，A ，B ，C 三点所对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i ，其中i 为虚数单位． (1)求AB →，BC →，AC →
对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．
C组思维提升练
15．设z为复数，且|z|＝|z＋1|＝1，求|z－1|的值．
——★参*考*答*案★——
A 组基础巩固练
一、选择题 1．『『答 案』』B
『『解 析』』(－3a ＋b i)－(2b ＋a i)＝(－3a －2b )＋(b －a )i ＝3－5i ，所以⎩
⎪⎨⎪⎧
－3a －2b ＝3，b －a ＝－5，
解得a ＝75，b ＝－185，故有a ＋b ＝－11
5.
2．『『答 案』』B
『『解 析』』z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B ． 3．『『答 案』』D
『『解 析』』z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i. ∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1. 4．『『答 案』』D
『『解 析』』依题意有CD →＝BA →＝OA →－OB →
，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ， 即CD →
对应的复数为4－2i.故选D ． 5．『『答 案』』B
『『解 析』』设z ＝x ＋y i ，则由|z ＋2－2i|＝1得(x ＋2)2＋(y －2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心， 以1为半径的圆，如图
所示，则|z －2－2i|＝(x －2)2＋(y －2)2表示圆上的点与定点(2,2)的距离， 数形结合得|z －2－2i|的最小值为3. 二、填空题 6．『『答 案』』3
『『解 析』』由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以
⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2－2a －3＝0，a 2－1≠0， 解得a ＝3.
7．『『答 案』』4－4i
『『解 析』』BC →＝OC →－OB →＝OC →－(OA →＋AB →)，对应的复数为3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i.
8．『『答 案』』－1＋10i
『『解 析』』∵z 1＋z 2＝5－6i ，∴(x ＋2i)＋(3－y i)＝5－6i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝5，2－y ＝－6，即⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2，y ＝8，
∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i. 三、解答题
9．解：(1)(2－i)＋(－3＋5i)＋(4＋3i)＝(2－3＋4)＋(－1＋5＋3)i ＝3＋7i. (2)4－(5＋12i)－i ＝(4－5)＋(－12－1)i ＝－1－13i.
(3)法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，因为z －(－3＋5i)＝－2＋6i ， 所以(x ＋y i)－(－3＋5i)＝－2＋6i ，
即(x ＋3)＋(y －5)i ＝－2＋6i ，因此⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋3＝－2，y －5＝6，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝－5，
y ＝11，于是z ＝－5＋11i.
法二：由z －(－3＋5i)＝－2＋6i 可得z ＝－2＋6i ＋(－3＋5i)， 所以z ＝(－2－3)＋(6＋5)i ＝－5＋11i. 10．解：如图所示.
AC →
对应复数z 3－z 1， AB →
对应复数z 2－z 1， AD →
对应复数z 4－z 1.
由复数加减运算的几何意义，得AD →＝AB →＋AC →
， ∴z 4－z 1＝(z 2－z 1)＋(z 3－z 1)，
∴z 4＝z 2＋z 3－z 1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.
∴AD 的长为|AD →
|＝|z 4－z 1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝210.
B 组素养提升练
11．『『答 案』』CD
『『解 析』』满足|z －i|＝5的复数z 对应的点在以(0,1)为圆心，5为半径的圆上，A 错误；
在B 中，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2.由z ＋|z |＝2＋8i ，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，
∴⎩⎨⎧
a ＋a 2＋
b 2＝2，b ＝8.
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝－15，
b ＝8.∴z ＝－15＋8i ，B 错误；由复数的模的定义知C 正
确；由|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|的几何意义知，以OZ 1→，OZ 2→
为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，D 正确．故选CD ． 12．『『答 案』』C
『『解 析』』由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离，即为2
2
. 13．『『答 案』』76
－4i
『『解 析』』设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，
则⎩⎨⎧
a ＝a 2＋
b 2－3，b ＝－4，所以⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝76，
b ＝－4，
所以z ＝76－4i.
14．解：(1)AB →
对应的复数为2＋i －1＝1＋i ， BC →
对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ， AC →
对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i. (2)∵|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →
|＝8＝22， ∴|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →
|2，∴△ABC 为直角三角形． (3)S △ABC ＝1
2
×2×22＝2.
C 组思维提升练
15．解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋1＝(a ＋1)＋b i ，
又|z |＝|z ＋1|＝1，所以⎩⎨⎧
a 2＋
b 2＝1，
(a ＋1)2＋b 2
＝1，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＋
b 2＝1，
a 2＋
b 2＋2a ＝0，解得⎩⎨⎧
a ＝－12
，
b 2
＝34，
故|z －1|＝|(a ＋b i)－1|＝|(a －1)＋b i|＝
(a －1)2＋b 2＝
⎝⎛⎭⎫－12－12
＋34
＝ 3.。