中考数学专题复习全等三角形之辅助线做平行线

中考数学专题复习全等三角形（辅助线做平行线）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分
一、单选题
1．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝P A，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）
A．1B．1.8C．2D．2.5
2．如图，⊥ABC是边长为2的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC到点Q，使CQ＝P A，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（）
A．0.5B．0.9C．1D．1.25
评卷人得分
二、填空题
3．如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，AC＝BD＝CD，点P 是⊥OCD角平分线的交点，点M是AB的中点，给出下列结论：⊥⊥CPD＝135°；⊥BA
＝BP；⊥⊥P AC⊥⊥PDB；⊥S△ABP＝S△DCP；⊥PM＝1
2
CD．其中正确的是___．（填序号）
评卷人得分
三、解答题
4．如图，⊥ABC
中，点
D
，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，⊥CEF＝⊥A，连接DF．
（1）在图1中找出与⊥ACE相等的角，并证明；
（2）求证：⊥BDF＝⊥EFC；
（3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求DG DF
的
值（用含k的代数式表示）．
5．如图所示：ABC是等边三角形，D、E分别是AB及AC延长线上的一点，且BD CE
=，连接DE交BC于点M．
求让：MD ME
=
6
．P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
7．P为等边⊥ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC 边于D．
（1）证明：PD＝DQ．
（2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长．
8．如图，点P为等边⊥ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，AP=CQ，PQ交AC于D，
(1)求证：DP=DQ；
(2)过P作PE⊥AC于E，若BC=4，求DE的长．
9．已知在等腰
△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：
(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．
10．读下面的题目及分析过程,并按要求进行证明．已知:如图,E是BC的中点,点A在DB上,且
⊥BAE=⊥CDE,求证:AB=CD
分析:证明两条线段相等,常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质,观察本题中要证明的两条线段,它们不在同一个三角形中,且它们分别所在的两个三角形也不全等．因此,要证明AB=CD,必须添加适当的辅助线,构造全等三角形或等腰三角形．现给出如下三种添加辅助线的方法,请任意选择其中两种对原题进行证明．
图(1):延长DE到F使得EF=DE
图(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延长线于F
图(3):过C点作CF⊥AB交DE的延长线于F.
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
过P作BC的平行线交AC于F，通过AAS证明PFD⊥QCD，得FD CD
=，再由APF 是等边三角形，即可得出
1
2
DE AC
=．
【详解】
解：过P作BC的平行线交AC于F，
Q FPD
∴∠=∠，
ABC是等边三角形，
60
APF B
∴∠=∠=︒，60
AFP ACB
∠=∠=︒，
APF
∴△是等边三角形，
AP PF
∴=，
⊥CQ＝P A，
⊥PF CQ
=
在PFD中和QCD中，
FPD Q
PDF QDC
PF CQ
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
PFD
∴⊥()
QCD AAS，
FD CD
∴=，
PE AC
⊥于E，APF是等边三角形，
AE EF
∴=，
=
AE DC EF FD ED
∴+=+，
1
2
DE AC
∴=，
4
AC=，
2
DE
∴=，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
过P作BC的平行线交AC于F，通过AAS证明PFD≌QCD，得FD CD
=，再由APF 是等边三角形，即可得出
1
2
DE AC
=．
【详解】
解：过P作BC的平行线交AC于F，
Q FPD
∴∠=∠，
ABC是等边三角形，
60
APF B
∴∠=∠=︒，60
AFP ACB
∠=∠=︒，
APF
∴是等边三角形，
AP PF
∴=，
在PFD中和QCD中，
FPD Q
PDF QDC
PF CQ
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
PFD
∴≌()
QCD AAS，
FD CD
∴=，
PE AC
⊥于E，APF是等边三角形，
AE EF ∴=，
AE DC EF FD ∴+=+，
1
2
DE AC ∴=
， 2AC =， 1DE ∴=，
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．⊥⊥⊥⊥ 【解析】 【分析】
由角平分线的定义，可得⊥CDP +⊥DCP =1
2⊥CDO +1
2⊥DCO =45°，进而即可判断⊥；先证
ACP DCP ≌，可得APD △是等腰直角三角形，进而得PAC PDB ≌，即可判断⊥；过
点A 作AN ⊥BP 交PM 的延长线于点N ，可得AMN BMP ≌，再证明APN PDC ≌，从
而得PM ＝1
2
CD ，即可判断⊥；由ABP APM BMP APM AMN APN S S S S S S +=+==，即可判断
⊥． 【详解】
解：⊥AC ⊥BD ，点P 是⊥OCD 角平分线的交点，
⊥⊥DOC =90°，⊥ODC +⊥OCD =90°，⊥CDP =12
⊥CDO ，⊥DCP =12
⊥DCO ， ⊥⊥CDP +⊥DCP =12
⊥CDO +12
⊥DCO =45°，
⊥⊥CPD ＝180°-（⊥CDP +⊥DCP ）=135°，故⊥正确； ⊥CP ，DP 分别平分⊥DCO ，⊥CDO ， ⊥⊥DCP =⊥ACP ，⊥CDP =⊥BDP ， ⊥AC ＝CD ，PC =PC ， ⊥ACP DCP ≌，
⊥AP =DP ，⊥CAP =⊥CDP =⊥BDP ，⊥APC =⊥DPC =135°， ⊥⊥DP A =360°-135°-135°=90°，
⊥APD △是等腰直角三角形， 又⊥AC =BD ，⊥CAP =⊥BDP
，AP =DP ， ⊥PAC PDB ≌，故⊥正确； ⊥⊥DPB =⊥APC=135°，PB =PC ， ⊥⊥BPC =360°-135°-135°=90°，
⊥BPC △是等腰直角三角形，找不到证明BA =BP 的条件，故⊥错误； 过点A 作AN ⊥BP 交PM 的延长线于点N ，
⊥⊥N =⊥BPM ，⊥P AN +⊥APB =180°， ⊥点M 是AB 的中点，即AM =BM ， 又⊥⊥AMN =⊥BMP ， ⊥AMN BMP ≌，
⊥MN =PM =1
2
PN ，AN =PB =PC ，AMN
BMP
S
S
=，
⊥⊥DP A =⊥BPC =90°， ⊥⊥APB +⊥DPC =180°， 又⊥⊥P AN +⊥APB =180°， ⊥⊥P AN =⊥DPC ， 又⊥AP =DP ，AN =PC ， ⊥APN PDC ≌，
⊥CD =PN =2PM ，即：PM ＝1
2CD ，故⊥正确； ⊥APN
PDC
S
S
=，AMN
BMP
S
S
=，
⊥ABP
APM
BMP
APM
AMN
APN
S S
S
S
S
S
+=+==，
⊥ABP
DCP
S
S
=，故⊥正确．
故正确的是⊥⊥⊥⊥． 【点睛】
本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握中线倍长模型和旋转全等模型，是解题的关键． 4．（1）⊥DEF ＝⊥ACE ，证明见解析；（2）见解析；（3）k 【解析】 【分析】
（1）由三角形外角的性质可得出答案；
（2）连接CD ，过点E 作AC 的平行线与CD 交于点M ，证明⊥DEF ⊥⊥MEC （SAS ），由全等三角形的性质可得出⊥EDF ＝⊥EMC ，证出⊥EMD ＝⊥EFC ，则可得出结论；
（3）连接CD ，过点E 作AC 的平行线与CD 交于点M ，证明⊥EFG ⊥⊥ECD （ASA ），由全等三角形的性质可得出GF ＝DC ，证出GD ＝DM ，则根据平行线分线段成比例即可得出答案． 【详解】
解：（1）⊥DEF ＝⊥ACE ． 证明：⊥⊥DEC 是⊥ACE 的外角， ⊥⊥DEC ＝⊥A +⊥ACE ， ⊥⊥DEC ＝⊥DEF +⊥CEF ， ⊥⊥DEC +⊥CEF ＝⊥A +⊥ACE ， ⊥⊥CEF ＝⊥A ， ⊥⊥DEF ＝⊥ACE ；
（2）证明：连接CD ，过点E
作AC 的平行线与CD 交于点M ，
⊥AD ＝AC ，
⊥⊥ADC＝⊥ACD，
⊥EM⊥AC，
⊥⊥EMD＝⊥ACD，⊥CEM＝⊥ACE，⊥⊥EDM＝⊥EMD，⊥DEF＝⊥CEM，⊥ED＝EM，
又⊥EF＝EC，
⊥⊥DEF⊥⊥MEC（SAS），
⊥⊥EDF＝⊥EMC
，
⊥⊥BDF+⊥EDF＝⊥EMD+⊥EMC＝180°，⊥⊥BDF＝⊥EMC，
⊥EM⊥AC，
⊥⊥DEM＝⊥A，
⊥⊥A＝⊥CEF，
⊥⊥DEM＝⊥CEF，
⊥⊥DEM中，⊥EMD＝180
2DEM
︒-∠
，⊥FEC中，⊥EFC＝180
2
CEF
︒-∠
，
⊥⊥EMD＝⊥EFC，
⊥⊥BDF＝⊥EFC；
（3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，
⊥EG＝AG，
⊥⊥GAE＝⊥GEA，
⊥⊥DAC+⊥GAE＝⊥GEA+⊥GED＝180°，
⊥⊥DAC＝⊥GED，
⊥⊥CEF＝⊥DAC，
⊥⊥DEG＝⊥CEF，
⊥⊥DEG+⊥DEF＝⊥CEF+⊥DEF，即⊥GEF＝⊥DEC，
⊥⊥DEF⊥⊥MEC，
⊥⊥EFG＝⊥ECD，DF＝MC，
又⊥EF＝EC，
⊥⊥EFG⊥⊥ECD（ASA），
⊥GF＝DC，
⊥DC﹣MC＝GF﹣DF，
即GD＝DM，
⊥EM⊥AC，
⊥DM DE
k MC AE
==，
⊥GD DM
k DF MC
==．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，添加辅助线证明三角形全等是解题的关键．
5．见详解
【解析】
【分析】
过点D作DE⊥AC，交BC于点E，根据等边三角形和平行线的性质得⊥MDE=⊥MEC，DE=CE，从而证明∆EMD≅∆CME，进而即可得到结论．
【详解】
过点D作DE⊥AC，交BC于点E，
⊥ABC是等边三角形，
⊥⊥B=⊥ACB=60°，
⊥DE⊥AC，
⊥⊥DEB=⊥ACB=60°，⊥MDE=⊥MEC，
⊥BDE是等边三角形，
⊥BD=DE，
⊥DE=CE，
又⊥⊥EMD=⊥CME，⊥∆EMD≅∆CME，
⊥MD
ME =．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键．
6．（1）证明见解析；（2）DE＝3．
【解析】
【分析】
（1）过点P作PF⊥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出
AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF⊥⊥QDC，得出对应边相等即可；
（2）过P作PF⊥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD⊥⊥QCD，得出对应边相等
FD=CD，证出AE+CD=DE1
2
=AC，即可得出结果．
【详解】
（1）如图1所示，点P作PF⊥BC交AC于点F．
⊥⊥ABC是等边三角形，
⊥⊥APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．
⊥PF⊥BC，⊥⊥PFD=⊥DCQ．
在△PDF和△QDC中，
PDF QDC
DFP QCD
PF QC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
⊥⊥PDF⊥⊥QDC（AAS），
（2）如图2所示，过P作PF⊥BC交AC于F．
⊥PF⊥BC，△ABC是等边三角形，
⊥⊥PFD=⊥QCD，△APF是等边三角形，
⊥AP=PF=AF．
⊥PE⊥AC，⊥AE=EF．
⊥AP=PF，AP=CQ，⊥PF=CQ．
在△PFD和△QCD中，
PDF QDC
DFP QCD
PF QC
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
⊥⊥PFD⊥⊥QCD（AAS），
⊥FD=CD．
⊥AE=EF，⊥EF+FD=AE+CD，
⊥AE+CD=DE1
2
=AC．
⊥AC=6，⊥DE=3．
【点睛】
本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质．
7．（1）证明见解析；（2）DE＝3．
【解析】
【分析】
（1）过点P作PF⊥BC交AC于点F；证出⊥APF也是等边三角形，得出
AP=PF=AF=CQ，由AAS证明⊥PDF⊥⊥QDC，得出对应边相等即可；
（2）过P作PF⊥BC交AC于F．同（1）由AAS证明⊥PFD⊥⊥QCD，得出对应边相等
FD=CD，证出AE+CD=DE
1
2
=AC，即可得出结果．
【详解】
（1）如图1所示，点P作PF⊥BC交AC于点F．
⊥⊥ABC是等边三角形，⊥⊥APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ．
⊥PF⊥BC，
⊥⊥
PFD=⊥DCQ．
在⊥PDF和⊥QDC中，
PDF QDC
DFP QCD
PF QC
∠∠
∠∠
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，⊥⊥PDF⊥⊥QDC（AAS），⊥PD=DQ；（2）如图2所示，过P作PF⊥BC交AC于F．
⊥PF⊥BC，⊥ABC是等边三角形，⊥⊥PFD=⊥QCD，⊥APF是等边三角形，⊥AP=PF=AF．⊥PE⊥AC，⊥AE=EF．
⊥AP=PF，AP=CQ，⊥PF=CQ．
在⊥PFD和⊥QCD中，
PDF QDC
DFP QCD
PF QC
∠∠
∠∠
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
，⊥⊥PFD⊥⊥QCD（AAS），⊥FD=CD．
⊥AE=EF，⊥EF+FD=AE+CD，⊥AE+CD=DE
1
2
=AC．
⊥AC=6，⊥DE=3．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．8．(1)详见解析
(2)ED＝2
【解析】
【分析】
（1）过P作PF⊥BQ，可得△APF为等边三角形，所以AP＝PF，再证△DCQ⊥⊥DFP，即可得PD＝DQ；
（2）根据等腰三角形三线合一的性质可得AE＝EF，根据全等三角形对应边相等可得FD ＝CD，然后求出2DE=AC，代入数据进行计算即可得解．
(1)
证明：如图，过点P作PF⊥BC，则⊥DPF=⊥Q，
⊥⊥ABC为等边三角形，
⊥⊥APF是等边三角形，
⊥AP=PF，
又⊥AP=CQ，
⊥PF=CQ，
在△DPF和△DQC中，
DPF Q
PDF QDC PF CQ
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
⊥⊥DPF⊥⊥DQC（AAS），
⊥DP=DQ；
(2)
⊥⊥P AF为等边三角形，PE⊥AC，
可得AE＝EF，
由（1）知，⊥DPF⊥⊥DQC
⊥FD＝CD，
⊥AC＝AE＋EF＋FD＋CD，
⊥AC＝2EF＋2FD＝2（EF＋FD）＝2ED，⊥AC＝BC＝4，
⊥2ED＝4，
⊥ED＝2．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．
9．(1)DM=EM．理由见详解；
(2)成立，理由见详解；
(3)MD=1
2
ME．
【解析】
【分析】
（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM⊥⊥EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
（2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM⊥⊥EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
（3）MD
=1
2
ME．过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到△DBM⊥⊥EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论；
(1)
解：DM=EM；
证明：过点E作EF//AB交BC于点F，
⊥AB=AC，
⊥⊥ABC=⊥C；
又⊥EF//AB，
⊥⊥ABC=⊥EFC，
⊥⊥EFC=⊥C，
⊥EF=EC．
又⊥BD=EC，
⊥EF=BD．
又⊥EF//AB，
⊥⊥ADM=⊥MEF．
在△DBM和△EFM中
BDM FEM
BMD FME
BD EF
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
，
⊥⊥DBM⊥⊥EFM，
⊥DM=EM．
(2)
解：成立；
证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，
⊥AB=AC，
⊥⊥ABC=⊥C；
又⊥EF//AB，
⊥⊥ABC=⊥EFC，
⊥⊥EFC=⊥C，
⊥EF=EC．
又⊥BD=EC，
⊥EF=BD．
又⊥EF//AB，
⊥⊥ADM=⊥MEF．
在△DBM和△EFM中
BDE FEM BMD FME BD EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
⊥⊥DBM ⊥⊥EFM ；
⊥DM =EM ；
(3)
解：过点E 作EF //AB 交CB 的延长线于点F ，
⊥⊥DBM =⊥EFM ，⊥DMB =⊥EMF
⊥⊥DBM ⊥⊥EFM ，
⊥BD ：EF =DM ：ME ，
⊥AB =AC ，
⊥⊥ABC =⊥C ，
⊥⊥F =⊥ABC ，
⊥⊥F =⊥C ，
⊥EF =EC ，
⊥BD ：EC =DM ：ME =1：2，
⊥MD =12
ME ． 【点睛】
本题主要考查了三角形综合，涉及了等腰三角形性质和判定、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质，利用平行构造全等三角形是解题关键．
10．选择（1）（3）证明，证明见解析
【解析】
【分析】
如图(1)延长DE 到F 使得EF=DE,证明△DCE⊥⊥FBE,得到⊥CDE=⊥F,BF=DC,结合题干条件
即可得到结论;如图3,过C 点作CF⊥AB 交DE 的延长线于F,得到△ABE⊥⊥FCE,AB=FC,结合题干条件即可得到结论,
【详解】
如图(1)延长DE 到F 使得EF=DE
在△
DCE 和△FBE 中,
EF DE DEC FEB BE EC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩
⊥△DCE⊥⊥ FBE （SAS)
⊥⊥CDE=⊥F,BF=DC
⊥⊥BAE=⊥CDE
⊥BF=AB
⊥AB= CD
如图3,过C 点作CF⊥AB 交DE 的延长线于F
在△ABE 和△FCE 中
B ECF BE EC
BAE F ∠=∠=∠=∠⎧⎪⎨⎪⎩
⊥△ABE⊥⊥ FCE(AAS),
⊥AB=FC
⊥⊥BAE=⊥CDE
⊥⊥F=⊥CDE
⊥CD=CF
⊥AB=CD
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质，解题关键在于利用三角形全等的性质证明。