【创新设计】2014版高考数学一轮复习 第六章 第5讲 数列的综合应用配套限时规范训练 理 苏教版

第5讲 数列的综合应用
分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分)
1．已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 2
7＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7
＝a 7，则b 6b 8＝________.
解析 因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 2
7＝0，解得
a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{
b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 2
7＝16.
答案 16
2．在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为________.
2 4 1
2
x
y
z
解析 由题知表格中第三列中的数成首项为4，公比为1
2的等比数列，故有x ＝1.根据每
行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故第四列的公比为12，所以y ＝5×⎝ ⎛⎭⎪
⎫123
＝58，同理z ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝3
8，故x ＋y ＋z ＝2. 答案 2
3．设关于x 的不等式x 2
－x ＜2nx (n ∈N *
)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为
S n ，则S 100的值为________．
解析 由x 2
－x ＜2nx (n ∈N *
)，得0＜x ＜2n ＋1， 因此知a n ＝2n .∴S 100＝1002＋200
2
＝10 100.
答案 10 100
4．数列{a n }的通项a n ＝n 2
⎝
⎛⎭
⎪⎫
cos
2
n π
3
－sin
2
n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为________．
解析 注意到a n ＝n 2
cos 2n π3，且函数y ＝cos 2πx 3的最小正周期是3，因此当n 是正整数
时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2
＝3n ＋72
，其中n ＝1,4,7，…，
S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝⎝
⎛
⎭⎪⎫
3×1＋72＋⎝
⎛⎭
⎪⎫
3×4＋72
＋…＋
⎝
⎛⎭⎪⎫3×28＋72＝3×10×1＋282＋72×10＝470. 答案 470
5．对正整数n ，若曲线y ＝x n
(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬
⎫
a n n ＋1的前n 项和为________． 解析 由题意，得y ′＝nx n －1
－(n ＋1)x n ，故曲线y ＝x n
(1－x )在x ＝2处的切线的斜率
为k ＝n 2
n －1
－(n ＋1)2n
，切点为(2，－2n
)，所以切线方程为y ＋2n
＝k (x －2)．令x ＝0得
a n ＝(n ＋1)2n ，即
a n
n ＋1＝2n
，则数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
a n n ＋1的前n 项和为2＋22＋23＋…＋2n ＝2n ＋1
－2.
答案 2
n ＋1
－2
6．在数列{a n }中，若a 2
n －a 2
n ＋1＝p (n ≥1，n ∈N *
，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：
①若{a n }是等方差数列，则{a 2
n }是等差数列； ②{(－1)n
}是等方差数列；
③若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *
，k 为常数)也是等方差数列．其中真命题的序号为________(将所有真命题的序号填在横线上)．
解析①正确，因为a 2
n －a 2
n ＋1＝p ，所以a 2
n ＋1－a 2
n ＝－p ，于是数列{a 2
n }为等差数列．②正确，因为(－1)2n
－(－1)
2(n ＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n }为等方差数列．③正确，因为a 2
kn
－a 2
kn ＋k ＝(a 2
kn －a 2
kn ＋1)＋(a 2
kn ＋1－a 2
kn ＋2)＋(a 2
kn ＋2－a 2
kn ＋3)＋…＋(a 2
kn ＋k －1－a 2
kn ＋k )＝kp ，则{a kn }(k ∈N *
，k 为常数)也是等方差数列． 答案①②③
二、解答题(每小题15分，共30分)
7．(2009·某某)设{a n }是公差不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 2
2＋a 2
3＝a 2
4＋a 2
5，
S 7＝7.
(1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n ； (2)试求所有的正整数m ，使得
a m a m ＋1
a m ＋2
为数列{a n }中的项． 解 (1)由题意，设等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ，d ≠0. 由a 2
2＋a 2
3＝a 2
4＋a 2
5知2a 1＋5d ＝0.①
又因为S 7＝7，所以a 1＋3d ＝1.② 由①②可得a 1＝－5，d ＝2.
所以数列{a n }的通项公式a n ＝2n －7，
S n ＝n a 1＋a n 2
＝n 2
－6n .
(2)因为
a m a m ＋1a m ＋2＝a m ＋2－4a m ＋2－2a m ＋2＝a m ＋2－6＋8a m ＋2为数列{a n }中的项，故8
a m ＋2
为整数，又由(1)知a m ＋2为奇数，所以a m ＋2＝2m －3＝±1，即m ＝1,2. 经检验，符合题意的正整数只有m ＝2.
8．在数列{a n }中，a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *
)，a 1＝－23. (1)求a n ；
(2)设S n 为{a n }的前n 项和，求S n 的最小值． 解 (1)由a n ＋1＋a n ＝2n －44(n ∈N *
)，
a n ＋2＋a n ＋1＝2(n ＋1)－44.
∴a n ＋2－a n ＝2，又a 2＋a 1＝2－44，∴a 2＝－19.
同理得：a 3＝－21，a 4＝－17.故a 1，a 3，a 5，…是以a 1为首项、2为公差的等差数列，a 2，
a 4，a 6，…是以a 2为首项、2为公差的等差数列．
从而a n ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
n －24
n 为奇数，n －21n 为偶数.
(2)当n 为偶数时，
S n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n )
＝(2×1－44)＋(2×3－44)＋…＋[2×(n －1)－44] ＝2[1＋3＋…＋(n －1)]－n 2·44＝n 2
2－22n ，
故当n ＝22时，S n 取得最小值－242. 当n 为奇数时，
S n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n )＝a 1＋(2×2－44)＋…＋[2×(n －1)－44]
＝a 1＋2[2＋4＋…＋(n －1)]＋n －1
2
·(－44)
＝－23＋
n ＋1
n －1
2
－22(n －1)
＝n 2
2－22n －3
2
. 故当n ＝21或n ＝23时，S n 取得最小值－243.
综上所述：当n 为偶数时，S n 取得最小值为－242；当n 为奇数时，S n 取最小值为－243.
分层训练B 级 创新能力提升
1．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.
解析 由题意知{a n }有连续四项在集合{－54，－24,18,36,81}中，四项－24,36，－54,81成等比数列，公式为q ＝－3
2，6q ＝－9.
答案 －9
2．(2012·某某调研一)设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5
＝2a m ，则m ＝________.
解析 (1)当公比q ＝1时，2×9a 1＝3a 1＋6a 1，则a 1＝0，舍去． (2)当公比q ≠1时，
2×a 11－q 91－q ＝a 11－q 31－q ＋a 11－q 61－q
，∴2q 6＝1＋q 3，
则2a 2q 6
＝a 2＋a 2q 3
，即2a 8＝a 2＋a 5，从而m ＝8. 答案 8
3．(2012·某某模拟)若数列{a n }，{b n }的通项公式分别是a n ＝(－1)
n ＋2 010
·a ，b n ＝2＋
－1
n ＋2 011
n
，且a n ＜b n 对任意n ∈N *
恒成立，则常数a 的取值X 围是________．
解析 由a n ＜b n ，得(－1)n
·a ＜2－
－1
n
n
.若n 为偶数，则a ＜2－1
n
对任意正偶数成立，
所以a ＜2－12＝32；若n 为奇数，则a ＞－2－1
n 对任意正奇数成立，所以a ≥－2.故－2≤a
＜3
2. 答案⎣
⎢⎡⎭⎪⎫－2，32 4．(2012·某某师大附中模拟)如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列{a n }(n ∈N *
)的前12项，如下表所示：
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10 a 11 a 12 x 1
y 1
x 2
y 2
x 3
y 3
x 4
y 4
x 5
y 5
x 6
y 6
按如此规律下去，则a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝________.
解析 观察发现，a 2n ＝n ，且当n 为奇数时，a 2n －1＋a 2n ＋1＝0，所以a 2 009＋a 2 010＋a 2 011＝0＋2 0102＝1 005.
答案 1 005
5．定义一种新运算*，满足n *k ＝nλ
k －1
(n ，k ∈N *
，λ为非零常数)．
(1)对于任意给定的k 值，设a n ＝n *k (n ∈N *
)，求证：数列{a n }是等差数列； (2)对于任意给定的n 值，设b k ＝n *k (k ∈N *
)，求证：数列{b k }是等比数列； (3)设＝n *n (n ∈N *
)，试求数列{}的前n 项和S n . (1)证明 因为a n ＝n *k (n ∈N *
)，n *k ＝nλk －1
(n ，k ∈N *
，λ为非零常数)，所以a n ＋1－a n ＝(n ＋1)*k －n *k ＝(n ＋1)λ
k －1
－nλ
k －1
＝λ
k －1
.
又k ∈N *
，λ为非零常数，所以{a n }是等差数列． (2)证明 因为b k ＝n *k (k ∈N *
)，n *k ＝nλ
k －1
(n ，k ∈N *
，λ为非零常数)，所以
b k ＋1
b k
＝n *k ＋1n *k ＝nλk
nλ
k －1＝λ.又λ为非零常数，所以{b k }是等比数列．
(3)解 ＝n *n ＝nλn －1
(n ∈N *，λ为非零常数)，S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋＝λ0＋2λ＋3λ
2
＋…＋nλ
n －1
，①
当λ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝
n n ＋1
2
；
当λ≠1时，λS n ＝λ＋2λ2
＋3λ3
＋…＋nλn
.② ①－②，得S n ＝
1－λn
1－λ
2－
nλn
1－λ. 综上，得S n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
n n ＋12
λ＝1，1－λ
n
1－λ
2－
nλn
1－λ
λ≠1.
6．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2
＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－1
2x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若＝a n ·b n ，求证：＋1＜.
(1)解 由已知点A n 在y 2
－x 2
＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.
(2)证明∵点(b n ，T n )在直线y ＝－1
2x ＋1上，
∴T n ＝－1
2
b n ＋1，①
∴T n －1＝－1
2
b n －1＋1(n ≥2)，②
①②两式相减得b n ＝－12b n ＋1
2b n －1(n ≥2)，
∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝1
3
b n －1. 令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23
，
∴{b n }是一个以23为首项，以1
3为公比的等比数列．
(3)证明 由(2)可知b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2
3n .
∴＝a n ·b n ＝(n ＋1)·2
3n ，
∴＋1－＝(n ＋2)·23n ＋1－(n ＋1)·2
3
n
＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)]＝2
3n ＋1(－2n －1)＜0，∴＋1＜.。