河北省正定中学2013届高三上学期第二次考试数学 含答案

高三年级第二次月考·数学试题
一、选择题
1．
复数1
12z i
=
+(i 为虚数单位)所对应的点在( ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2． 已知集合()125log 32,12A x x B x
x ⎧⎫⎧⎫⎪⎪
=-≥-=≥⎨⎬⎨⎬+⎩⎭⎪⎪⎩⎭
，则A B =（ ）
A ． []1,3-
B ． [)3,+∞
C ． [)1,3-
D 。

()2,1--
3．
已知a ，b ,c ，d 为实数，且c ＞d .则“a ＞b ”是“a －c ＞b －d ”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 4．
已知函数2
()sin 22cos
1f x x x =+-,将()f x 的图象上各点的横坐标变为原来
的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移4
π个单位，得到函数
()y g x =的图象，则函数()y g x =的解析式为
（ )
A ．()2sin g x x =
B ．()2cos g x x =
C ．3()2sin(4)4
g x x π
=
-
D ．()2cos4g x x =
5．
在同一直角坐标系中，函数1+=ax y 与)1,0(1
≠>=-a a a
y x 的图象可能是
( )
6．
已知数列{}n
a 是公差不为0的等差数列,若1
2
4
,,a a a 成等比数列，则
510
S S =( )
A ．14
B ．311
C ．12
D ．511
7．
如果()'f x 是二次函数， 且()'f x 的图象开口向上，顶点坐标为（1
，
）,
那么曲线()y f x =上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是
（ ）
A ．0,3π⎛⎤ ⎥
⎝
⎦
B ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．2,2
3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．,3
ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
8．
若
31
sin
log 23
=a ，b b 3
1log 3=,c c 3log )31(=，则（ )
A ．c b a >>
B ．a c b >>
C ．a b c >>
D ．c a b >>
9．
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1cos ,24
C AC CB =•=-且5a b +=，
则c 等于（ ）
A
B
C ．4 D
10．
已知函数
()()()
2log 030x
x x f x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩，且关于x 的方程()0f x x a +-=有且只有一个零点，则实数a 的取值范围（ ）
A ．1a ≤-
B ．1a ≥-
C ．1a ≤
D ．1a >
11．
已知M 是曲线2
1ln (1)2y x x
a x =++-上的一点，若曲线在M 处的切线的
倾斜角是均不小于4
π的锐角，则实数a 的取值范围是( ） A ．[2,)+∞ B ．[4,)+∞ C ．(,2]-∞ D ．(,4]-∞
12．
定义在R 上的函数()y f x =是减函数,且函数(1)y f x =-的图象关于(1,0)
成中心对称,若s ，t 满足不等式2
2(2)(2)f s s f t t -≤--．
则当14s ≤≤时，t
s
的
取值范围是（ ）
A ．1[,1)4
- B ．1[,1]4
- C ．1[,1)2
- D ．1[,1]
2
-
二、
填空题
13．
已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,7)c k =，若()a c -∥b ，则k = ．
14．
已知实数x 、y
满足223y x
y x
x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩
则目标函数z=x-2y 的最小值是
_______。

15．
已知1sin cos 2
αα=+，且0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，则
cos 2sin()
4
απ
α-的值为 . 16．
设{}n
a 是公比为q 的等比数列，||1q >，
令1(1,2,)n
n b a n =+=，
若数列{}n b 有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则6q = .
三、
解答题
17．
已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭。

(Ⅰ)求()f x 的最小正周期：
（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-⎢
⎥⎣⎦
上的最大值和最小值。

18．
在数列{}n
a 中,11
3
a
=
，对于 任意*n N ∈,且1n >时,都有11n
n n n a
a a a --⋅=-成
立,令1
n
n
b
a =
（*n N ∈） (1) 求数列{}n
b 的通项公式；
(2) 求数列n
a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ,并证明3
4
n
T
<
. 19．
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ，c ,已知向量p ＝(c －2a ，b )，q ＝（cos B ，cos C )，p ⊥q 。

（1）求角B 的大小;
(2)若b ＝23，求△ABC 面积的最大值．
20．
设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x ，恒有),
()2(x f x f -=+当]2,0[∈x 时，2
2)(x x x f -=.
(1) 求证: )(x f 是周期函数;
(2) 当]4,2[∈x 时，求)(x f 的解析式； (3) 计算)2013()2()1()0(f f f f ++++ 。

21．
某工厂有一容量为300吨的水塔，每天早上6时起到晚上10
时止，供应该厂的生产和生活用水，已知该厂的生活用水为每小时10吨，生产用水的用水量W （吨）与时间t (小时)满足关系式W=100t ，且规定早上6时t =0，水塔的进水量分为10级，第1级每小时进水10吨,以后每提高1级,每小时进水量就增加10吨，若某天水塔原有水100吨，在开始供水时同时打开进水管,问进水量选择第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空），又不会使水溢出。

22．
已知函数2
()=ln (1+)+(0).f x x ax a ≤
（1） 若()f x 在=0x 处取得极值,求a 的值； （2） 讨论()f x 的单调性； （3）
证明：+2
2
2
21111
(1+)(1+)(1+) (1)
)<e(n )2482n
N ∈。

高三第二次月考数学试题答案
四、
选择题:1-12、DCBAC BBCAD CD ；
五、
填空题：13、5;14、－9；15、;16、－9；
六、解答题
i.
已知函数()4cos sin 16f x x x π⎛⎫
=+- ⎪⎝
⎭。

(Ⅰ）求()f x 的最小正周期：
（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-⎢
⎥⎣⎦
上的最大值和最小值。

解：（Ⅰ）因为()4cos sin 16f x x x π⎛⎫=+- ⎪⎝
⎭
1)cos 21
sin 23(
cos 4-+=x x x
1cos 22sin 32-+=x x
x x 2cos 2sin 3+=
)
6
2sin(2π
+
=x
所以()f x 的最小正周期为π
（Ⅱ)因为6
4
x ππ-≤≤，所以226
6
3
x πππ-≤+≤，于是当26
2
x ππ+=，即6
x =π时，
()f x 取得最大值
2，当26
6
x ππ+=-,即6
x π=-时,()f x 取得最小值－1.
18．在数列{}n
a 中，11
3
a
=
，对于 任意*n N ∈,且1n >时，都有11n
n n n
a
a a a --⋅=-成立，令1
n
n
b
a =
(*n N ∈） (3) 求数列{}n
b 的通项公式；
(4)
求数列n
a n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n T ,并证明3
4
n
T
<
.
解：(1）当1n =时，11
1
3b a =
=， 当2n ≥时，111111
1n n n n n n n n
a a b
b a a a a ------=
-==, 所以{}n
b 是以3为首项，1为公差的等差数列，其通项公式为2n
b n =+；
(2)由(1）知()11111222n
n a n
nb n n n n ⎛⎫=
==- ⎪++⎝⎭
， 所以3
121111111
1111123
232435112n n
a a a a T
n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=
++++
=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭⎣⎦
11113111122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭
， 因为1110212n n ⎛⎫+>
⎪++⎝⎭，所以31113
42124
n T n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭.
19．
在△ABC 中，角A ，B ,C 的对边分别为a ，b ,c ，已知向量p ＝(c －2a ，b )，q ＝(cos B ,cos C )，p ⊥q 。

(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝23，求△ABC 面积的最大值．
解：（1）由p ⊥q 得:（c －2a ）cos B ＋b cos C ＝0
由正弦定理得,sin C cos B －2sin A cos B ＋sin B cos C ＝0,∴sin（C ＋B )＝2sin A cos B
∵B ＋C ＝π－A ，∴sin(C ＋B )＝sin A 且sin A >0 ∴sin A ＝2sin A cos B ,cos B ＝错误! 又B ∈(0，π)，∴B ＝错误!.
(2)由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ≥ac 当且仅当a ＝c 时“＝”成立． 又b ＝2错误!,∴ac ≤12。

∴S △ABC ＝1
2
ac sin B ≤错误!×12×错误!＝3错误!，
当且仅当a ＝c ＝2错误!时，S △ABC 的最大值为3错误!.
20．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ,恒有),
()2(x f x f -=+当]2,0[∈x 时，2
2)(x x x f -=.
(4) 求证： )(x f 是周期函数；
(5) 当]4,2[∈x 时，求)(x f 的解析式； (6)
计算)2013()2()1()0(f f f f ++++ 。

解：（1）∵()()2f x f x +=-，∴()()()()()4222f x f x f x f x f x +=++-+=--=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∴()f x 是以4为周期的周期函数；
（2）当[]2,0x ∈-时，[]0,2x -∈,由题设得()()()
2
222f x x x x x -=---=--，
又∵()f x 是R 上的奇函数，∴()()2
2f x f x x x -=-=--，即()2
2f x x x =+, 当[]2,4x ∈时，[]42,0x -∈-，∴()()()2
4244f x x x -=-+-，
由()f x 是周期为4的周期函数,得()()()()2
2424468f x f x x x x x =-=-+-=-+，
即[]2,4x ∈时，()2
68f x x
x =-+；
(3)由题设及（2）的结果知()()()()00,11,20,31f f f f ====-，∴
()()()()01230f f f f +++=，
又由()f x 的周期性得()()()()()()0122013201311f f f f f f +++
+===
21．某工厂有一容量为300吨的水塔，每天早上6时起到晚上10时
止，供应该厂的生产和生活用水,已知该厂的生活用水为每小时10吨,生产用水的用水量W （吨）与时间t (小时）满足关系式W=100t ，且规定早上6时t =0,水塔的进水量分为10级,第1级每小时进水10吨,以后每提高1级，每小时进水量就增加10吨，若某天水塔原有水100吨，在开始供水时同时打开进水管，问进水量选择第几级时，既能保证该厂的用水（水塔中水不空），又不会使水溢出。

解:设选择进水量为x 级,则供水t 小时后，水塔中的水量为y 吨,
由题意得：
1001010y xt t =+--*
110,,016x x N t ≤≤∈≤≤），由于容量
限制可知
0300y <≤，010********xt t ∴<+--≤恒成立，
一方面由
10010100xt t ∴+-->恒成立，即21017
1)
2
2x t >-
+=-+恒成立,
2=即4t =时，
1077
1,
22x t -+=∴>max
（）。

另一方面，
1001010300xt t ∴+--恒成立，
即22011
1)
4
4x t ≤+=+-恒
4=即16t =时，
in 201919
1,44x t +=∴≤m （） 所以7192
4
x <≤，又*
,4x N x ∈∴=。

答：进水量应该选择第4级.
22．
已知函数2
()=ln (1+)+(0).f x x ax a ≤
（4） 若()f x 在=0x 处取得极值，求a 的值； （5） 讨论()f x 的单调性;
（6）
证明：+22221111
(1+)(1+)(1+) (1)
)<e(n )2482n
N ∈
解：（1）函数
()f x 的定义域为的R ，/2
2(x)=+1+x
f a x ， ∵0x =是函数()f x 的一个极值点,
∴()'0f x =，即0a =，经验证知0a =适合条件； （2)∵
()22
2
22'11x ax x a
f x a x x ++=+=++，
①当0a =时，在()0,+∞上，()'0f x >，在(),0-∞上，()'0f x <， ∴()f x 在区间(),0-∞上递减，在区间()0,+∞上递增; ②当0a <时， 若2
2
40a a ∆=-⋅≤，即1a ≤-，则220ax x a ++≤对x R ∈恒成立，即()'0f x ≤对x R
∈
成立,所以()f x 在R 上递减; 若0∆>,即10a -<<，则由()'0f x >得2
20ax x a ++>，
x <<,
所以()f x
在
11a a ⎛--
⎪⎝⎭
上递增,由()'0f x <,
得
1x a
-<
或
x >
，所以
()f x
在⎛-∞ ⎝⎭
和⎫
+∞⎪⎪⎝⎭
上递减; （3）由（2）知，1a =-时，()f x 在R 上单调递减, ∴()0,x ∈+∞时,()()0f x f <,由此得()2
ln 1x x +<
∴22221111ln 11112482n ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫++++
⎪⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
22221111ln 1ln 1ln 1ln 12482111111112211
12482212
n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=++++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎛⎫- ⎪⎝⎭
<++++==-<- ∴2222111111112482n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎛
⎫++++< ⎪⎪⎪
⎪⎝
⎭⎝
⎭⎝
⎭
⎝⎭。