2022届怀化市名校高二第二学期数学期末调研试题含解析

2022届怀化市名校高二第二学期数学期末调研试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．若曲线y ＝x 3﹣2x 2+2在点A 处的切线方程为y ＝4x ﹣6，且点A 在直线mx+ny ﹣2＝0（其中m ＞0，n ＞0）上，则（ ） A ．m+7n ﹣1＝0 B ．m+n ﹣1＝0
C ．m+13n ﹣3＝0
D ．m+n ﹣1＝0或m+13n ﹣3＝0
【答案】B 【解析】 【分析】
设3
2
(,),22A x t y x x =-+的导数2
34y x x '=-，可得切线的斜率为234x x -，然后根据切线方程尽量关于,x t 的方程组，再结合条件，即可求得,m n 的关系，得到答案． 【详解】
设3
2
(,),22A x t y x x =-+的导数2
34y x x '=-， 可得切线的斜率为234x x -，
又由切线方程为46y x =-，所以2
3
2
344,4622x x t x x x -==-=-+， 解得2,2x t ==，
因为点A 在直线20+-=mx ny 上，所以10m n +-=，故选B ． 【点睛】
本题主要考查了导数的几何意义的应用，其中解答中熟记导数的几何意义，利用切线方程列出相应的方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
2．已知()2
a cosx dx π
=-⎰，则9
12ax ax ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中，3x 项的系数为（ ） A ．
63
8
B ．21
2
- C ．
6316
D ．63
8
- 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
()20
a cosx dx π
=-⎰=20 |sinx π
-=﹣1，
则二项式912ax ax ⎛⎫+ ⎪
⎝
⎭的展开式的通项公式为T r+1=﹣9r C •921•2r
r x -⎛⎫ ⎪⎝⎭，
令9﹣2r=3，求得r=3， ∴展开式中x 3项的系数为﹣3
9C •18
=﹣21
2-，
故选B 【点睛】
本题考查集合的混合运算.
3．某医疗机构通过抽样调查(样本容量n =1000)，利用2×2列联表和2χ统计量研究患肺病是否与吸烟有
关.计算得2
4.453χ=，经查阅临界值表知(
)
2
3.8410.05P χ≈…
，下列结论正确的是( ) ()
2P K k …
0.050 0.010 0.001 k
3.841
6.635
10.828
A ．在100个吸烟的人中约有95个人患肺病
B ．若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病
C ．有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”
D ．只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关” 【答案】C 【解析】 【分析】
将计算出的2
4.453χ=与临界值比较即可得答案。

【详解】
由题得2
4.435 3.841χ=>，且由临界值表知2( 3.841)0.05P χ≈…
，所以有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”，故选C. 【点睛】
本题考查独立性检验，解题的关键是将估计值与临界值比较，属于简单题。

4．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，若1AB BC ==，12BB =，则异面直线1A B 和1AD 所成角的余弦值为（ ）
A ．
10
10
B ．
35
C ．
22
D ．
45
【答案】D 【解析】
【分析】
连结1D C ，可证明11A BCD 是平行四边形，则11//A B D C ，故1AD C ∠的余弦值即为异面直线1A B 和1AD 所成角的余弦值，利用余弦定理可得结果. 【详解】
连结1D C ，由题得11//A D BC ，故11A BCD 是平行四边形，11//A B D C ，则1AD C ∠的余弦值即为所求，
由1AB BC ==，12BB =可得11
AD DC ==AC =
22212ADC =+-∠，解得14
cos 5
AD C ∠=，故选D . 【点睛】
本题考查异面直线的夹角的余弦值和余弦定理，常见的方法是平移直线，让两条直线在同一平面中，再求夹角的余弦值.
5．设离散型随机变量X 的概率分布列如表：
则x 等于（ ） A ．
110
B ．
15
C ．
25
D ．
12
【答案】D 【解析】
分析：利用离散型随机变量X 的概率分布列的性质求解. 详解：由离散型随机变量X 的分布列知：
131
1101010x +++=，解得12
x =. 故选：D.
点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要注意离散型随机变量X 的概率分布列的性质的灵活应用.
6．二项式12
展开式中，3x 的系数是（ ）
A ．495-
B ．220-
C ． 495
D ．220
【答案】B 【解析】
通项公式：()126
112
121r
r
r r
r r r T C C x --+⎛==- ⎝
，令6r 3-=，解得3r =，3x ∴的系数为
312220C -=-，故选B.
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的
通项公式1C r n r r
r n T a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二
项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 7．以下说法中正确个数是（ ）
①用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有一个钝角”；
<
成立，只需证
2
2
<；
③用数学归纳法证明2
2
3
1
111n n a a a a a a
++-+++++=
-L （1a ≠，n ∈+N ，在验证1n =成立时，左边所得项为21a a ++；
④命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，但小前提使用错误. A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
①根据“至多有一个”的反设为“至少有两个”判断即可。

②不等式两边平方，要看正负号，同为正不等式不变号，同为负不等式变号。

③令1n =代入左式即可判断。

④整数并不属于大前提中的“有些有理数” 【详解】
命题“三角形的内角中至多有一个钝角”的反设是“三角形的三个内角中至少有两个钝角”；①错
<
0<<，故只需证
2
2
->，②错
2
2
3
1
111n n a a a a a
a
++-+++++=
-L （1a ≠，n ∈+N ，当1n =时，左边所得项为21a a ++；③正确 命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是使用了“三段论”，小前提使用错误.④正确 综上所述：①②错③④正确
本题考查推理论证，属于基础题。

8．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为
A ．
12
，2 B ．
2
C ．
14
，2 D ．
14
，4 【答案】A 【解析】
试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2
[,]m n 上的最大
值为1，所以()()f m f n ==1，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为1
2
，1．故选A ． 考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．
点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程． 9．()5
12x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
展开式中3x 的系数为（ ） A ．70 B ．80
C ．90
D ．60
【答案】A 【解析】
分析：先求()5
2x +展开式的通项公式，根据()512x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭
展开式中3x 的系数与()5 2x +关系，即可求得答案.
详解：Q ()5
2x +展开式的通项公式，可得5152r r r
r T C x -+=
∴()512x x x ⎛⎫-
+ ⎪⎝⎭展开式中含3x 项：2524543335551(22)70xT T C C x x x
---=-= 即展开式中含3x 的系数为70. 故选A.
点睛：本题考查了二项式定理的应用问题，利用二项展开式的通项公式求展开式中某项的系数是解题关键. 10．现对某次大型联考的1.2万份成绩进行分析，该成绩ξ服从正态分布2(520,)N δ，已知
(470570)0.8P ξ≤≤=，则成绩高于570的学生人数约为（ ）
A ．1200
B ．2400
C ．3000
D ．1500
【答案】A
根据正态分布的对称性，求得(570)P ξ>的值，进而求得高于570的学生人数的估计值. 【详解】
10.8
(570)0.12
P ξ->=
=，则成绩高于570的学生人数约为40.1 1.2101200⨯⨯=.故选A. 【点睛】
本小题主要考查正态分布的对称性，考查计算正态分布指定区间的概率，属于基础题.
11．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
【答案】B 【解析】
由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，如下图，则该几何体各面内只有两个相同的梯形，则这些梯形的面积之和为1
2(24)2122
⨯+⨯⨯
=，故选B.
点睛:三视图往往与几何体的体积、表面积以及空间线面关系、角、距离等问题相结合，解决此类问题的关键是由三视图准确确定空间几何体的形状及其结构特征并且熟悉常见几何体的三视图.
12．已知双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，若双曲线C 210x y --=平行，则双曲线C 的离心率为( )
A ．
2
B C D ．
3
【答案】A 【解析】
分析：根据双曲线C 10y --=平行，利用斜率相等列出,a b 的关系式，即可求解双曲线的离心率.
详解：双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，
若双曲线C 10y --=平行，
可得
a
b
，即2222222a b c a ==-，
可得2232c a =，∴离心率2
e =，故选A.
点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为______．
【答案】3
【解析】 【分析】
先由勾股定理求圆锥的高，再结合圆锥的体积公式1
3V S h =底
运算即可得解. 【详解】
解：设圆锥的高为h ，由勾股定理可得h ==，
由圆锥的体积可得2113V π=
⨯=
，
故答案为：3
. 【点睛】
本题考查了圆锥的体积公式，重点考查了勾股定理，属基础题. 14．直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为__________．
【解析】 【分析】
将极坐标方程化为直角坐标系方程是常用方法． 【详解】
将直线2cos 1ρθ=化为普通方程为：21x =，∵2cos ρθ=，∴
22cos ρρθ=，化为普通方程为：
222x y x +=，即()22
11x y -+=，联立得(
)22
2111x x y =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，
解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，∴直线与圆相交的弦长
为=
考点：简单曲线的极坐标方程． 15．若,x y 为正实数，则
222218
x y
x y +++的最大值为_______．
【答案】12
【解析】 【分析】 设
222218
x y
a x y +≤++恒成立，可知0a >
；将不等式整理为
2
2
321804a a ++-≥，从而可得31804a a -≥，解不等式求得a 的取值范围，从而得到所求的最大值. 【详解】 设
22
2218
x y
a x y +≤++恒成立，可知0a > 则：2
2
22180ax x ay y a -+-+≥恒成立
即：22
321804a a -++-≥恒成立
2
0-≥Q
，2
0≥ 31804a a ∴-≥
解得：a ≥
22
2218x y x y +∴++
的最大值为：12
本题正确结果：12
【点睛】
本题考查最值的求解问题，关键是能够将所求式子转化为不等式恒成立的问题，从而构造出不等式求解出
a 的取值范围，从而求得所求最值，属于较难题.
16．函数()(4)x f x x e =-的极值点为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】
求出f x （
） 的导数，令0f x =（），根据单调区间，可得所求极值点； 【详解】
()()()43,x x x f x e x e x e '=+-=-令0f x =（），得3,x = 则函数f x （）在(),3-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，则函数f x （
）在3x =处取得极小值，3x =是其极小值点. 即答案为3. 【点睛】
本题考查导数的运用：求单调区间和极值点，考查化简整理的运算能力，属于基础题． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数32()2f x x ax =-+ （1）讨论()f x 的极值；
（2）当0<<3a 时，记()f x 在区间[0,2]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -． 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）答案不唯一，具体见解析 【解析】 【分析】 （1）求导函数
'()f x ，由导函数确定函数的单调性后可确定极值；
（2）由（1）可知()f x 在区间(0,2]上的单调性，从而可求得极值和最值． 【详解】
（1）2
()32(32)f x x ax x x a '=-=-
当0a ≤时，()0f x '≥，()f x 在(-,)∞+∞上单增，无极值 当0a >时，2()03
a
f x x '>⇒>
，
()f x ∴单减区间是2-,3a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，单增区间是2,3a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，
所以3
24()2327a a f x f ⎛⎫
==-+ ⎪⎝⎭
极小
，无极大值．
（2）203,023
a
a <<∴<<Q 由（1）知()f x 在20,
3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单减，2,23a ⎛⎫
⎪⎝⎭
单增 3
min
24()2327a a f x f m ⎛⎫
∴==-= ⎪⎝⎭
max ()max{(0),(2)}max{2,104}f x f f a ==-
当02a <≤时，34104,104227a M a M m a =--=--+3
48427a a =--
当23a <<时，33
442,222727
a a M M m =-=-+=
【点睛】
本题考查用导数研究函数的极值与最值．解题时可求出导函数后确定出函数的单调性，然后可确定极值、最值．
18．某中学高中毕业班的三名同学甲、乙、丙参加某大学的自主招生考核，在本次考核中只有合格和优秀两个等次.若考核为合格，则给予10分的降分资格；若考核为优秀，则给予20分的降分资格.假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为
23、23、1
2
，他们考核所得的等次相互独立. （1）求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率；
（2）记在这次考核中，甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量X ，请写出X 所有可能的取值，并求()50P X ≥的值. 【答案】（1）17
18；（2）X 所有可能的取值为30、40、50、60，()2503
P X ≥=. 【解析】 【分析】
（1）计算出三名同学考核均为合格的概率，利用对立事件的概率公式可计算出所求事件的概率； （2）根据题意得出X 所有可能的取值为30、40、50、60，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率计算公式能求出()50P X ≥． 【详解】。