2020高考数学 课后作业 3-2 利用导数研究函数的性质

3-2 利用导数研究函数的性质
1.(文)(2020·宿州模拟)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(1)＝1，f′ (x)>1，则f(x)>x的解集是( )
A．(0,1) B．(－1,0)∪(0,1)
C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
[答案] C
[解析]令F(x)＝f(x)－x，则F′(x)＝f′(x)－1>0，所以F(x)是增函数，∵f(x)>x，∴F(x)>0，∵F(1)＝f(1)－1＝0，∴F(x)>F(1)，∵F(x)是增函数，∴x>1，即f(x)>x的解集是(1，＋∞)．
(理)(2020·辽宁文，11)函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
[答案] B
[解析]由题意，令φ(x)＝f(x)－2x－4，则
φ′(x)＝f′(x)－2>0.
∴φ(x)在R上是增函数．
又φ(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，
∴当x>－1时，φ(x)>φ(－1)＝0，
∴f(x)－2x－4>0，∴f(x)>2x＋4.故选B.
2．(2020·宁夏石嘴山一模)函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是( )
A．5，－15 B．5，－4
C．－4，－15 D．5，－16
[答案] A
[解析]∵y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或x＝2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.
3．(文)已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为( )
A.4
27
，0 B．0，
4
27
C．－4
27
，0 D．0，－
4
27
[答案] A
[解析] f ′(x )＝3x 2
－2px －q 由f ′(1)＝0，f (1)＝0得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
3－2p －q ＝01－p －q ＝0 解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
p ＝2
q ＝－1，∴f (x )＝x 3－2x 2
＋x
由f ′(x )＝3x 2
－4x ＋1＝0得x ＝13或x ＝1
易得当x ＝13时f (x )取极大值4
27
当x ＝1时f (x )取极小值0.
(理)设函数f (x )＝ax 3
＋bx 2
＋cx 在x ＝±1处均有极值，且f (－1)＝－1，则a 、b 、c 的值为( )
A ．a ＝－12，b ＝0，c ＝－3
2
B ．a ＝12，b ＝0，c ＝－3
2
C ．a ＝－12，b ＝0，c ＝3
2
D ．a ＝12，b ＝0，c ＝3
2
[答案] C
[解析] f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，所以由题意得
⎩⎪⎨⎪
⎧
f ′1＝0，f ′－1＝0.f －1＝－1，
即⎩⎪⎨⎪
⎧
3a ＋2b ＋c ＝0，3a －2b ＋c ＝0，－a ＋b －c ＝－1，
解得a ＝－12，b ＝0，c ＝3
2
.
4．(2020·青岛模拟)已知函数f (x )的导数为f ′(x )＝4x 3
－4x ，且f (x )的图象过点(0，－5)，当函数f (x )取得极大值－5时，x 的值应为( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．±1 [答案] B
[解析] 由导函数与原函数的关系知，f (x )＝x 4
－2x 2
＋a (a 为常数)， ∵f (0)＝－5，∴a ＝－5，∴f (x )＝x 4
－2x 2
－5， 令f ′(x )＝4x 3
－4x ＝0得，x 1＝1，x 2＝0，x 3＝1， 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，
当x ∈(－1,0)时，f ′(x )>0， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，
∴f (x )在(－∞，－1)和(0,1)上单调递减，在(－1,0)上和(1，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝0处取得极大值5，故选B.
5．若函数f (x )＝x 3
－12x 在区间(k －1，k ＋1)上不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )
A ．k ≤－3或－1≤k ≤1或k ≥3
B ．－3<k <－1或1<k <3
C ．－2<k <2
D ．不存在这样的实数 [答案] B
[解析] 因为y ′＝3x 2
－12，由y ′>0得函数的增区间是(－∞，－2)和(2，＋∞)，由
y ′<0，得函数的减区间是(－2，2)，由于函数在(k －1，k ＋1)上不是单调函数，所以有k －
1<－2<k ＋1或k －1<2<k ＋1，解得－3<k <－1或1<k <3，故选B.
6．(2020·陕西咸阳模拟)已知函数f (x )＝ax 2
－1的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线8x －y ＋2＝0平行，若数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
1
f
n
的前n 项和为S n ，则S 2020的值为( ) A.2010
2011 B.1005
2011 C.4020
4021
D.2010
4021
[答案] D
[解析] ∵f ′(x )＝2ax ，∴f (x )在点A 处的切线斜率为f ′(1)＝2a ，由条件知2a ＝8，∴a ＝4，
∴f (x )＝4x 2
－1， ∴
1
f n
＝
14n 2
－1＝12n －1·1
2n ＋1
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1－12n ＋1
∴数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫1f n
的前n 项和S n ＝
1f 1＋
1f 2＋…＋1f n ＝12⎝
⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫
13－15＋…＋
12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2n －1－12n ＋1
＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1，∴S 2020＝2010
4021
.
7．(文)(2020·福州模拟)已知f (x )＝2x 3－6x 2
＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值为3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为________．
[答案] －37
[解析] f ′(x )＝6x 2
－12x ，由f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2，当x <0或x >2时，f ′(x )>0，当0<x <2时，f ′(x )<0，
∴f (x )在[－2,0]上单调增，在[0,2]上单调减， 由条件知f (0)＝m ＝3，∴f (2)＝－5，f (－2)＝－37， ∴最小值为－37.
(理)(2020·惠州三模)已知函数f (x )＝1－x ax
＋ln x ，若函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，
则正实数a 的取值范围为________．
[答案] [1，＋∞)
[解析] ∵f (x )＝1－x ax ＋ln x ，∴f ′(x )＝ax －1ax
2(a >0)，
∵函数f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f ′(x )＝
ax －1
ax 2
≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，∴ax －1≥0对x ∈[1，＋∞)恒成立，即a ≥1
x
对x ∈[1，＋∞)恒成立，∴a ≥1.
8．(文)(2020·浙江杭州冲刺卷)函数y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，y ＝f ′(x )在(a ，b )上的图象如图，则y ＝f (x )在区间(a ，b )上极大值的个数为________．
[答案] 2
[解析] 由f ′(x )在(a ，b )上的图象可知f ′(x )的值在(a ，b )上，依次为＋－＋－＋，∴f (x )在(a ，b )上的单调性依次为增、减、增、减、增，从而f (x )在(a ，b )上的极大值点有两个．
[点评] 应注意题设中给的是f (x )的图象还是f ′(x )的图象，在f ′(x )的图象上，位于x 轴上方部分使f ′(x )>0，f (x )单调增，位于x 轴下方部分，使f ′(x )<0，f (x )单调减，
f (x )的极值点是f ′(x )的图象与x 轴的交点，千万要注意，不要把f ′(x )的单调性误以为
是f (x )的单调性．请再练习下题：
(2020·绵阳模拟)如图是函数y ＝f (x )的导函数的图象，给出下面四个判断． ①f (x )在区间[－2，－1]上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；
③f (x )在区间[－1,2]上是增函数，在区间[2,4]上是减函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点．
其中，所有正确判断的序号是________． [答案] ②③
[解析] 由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知：
(1)f (x )在区间[－2，－1]上是减函数，在[－1,2]上为增函数，在[2,4]上为减函数； (2)f (x )在x ＝－1处取得极小值，在x ＝2处取得极大值． 故②③正确．
(理)(2020·绵阳市诊断)已知函数f (x )＝ln(1＋x )－ax 的图象在x ＝1处的切线与直线x ＋2y －1＝0平行，则实数a 的值为________．
[答案] 1
[解析] ∵f ′(x )＝1
1＋x －a ，
∴f ′(1)＝1
2－a .
由题知12－a ＝－12，
解得a ＝1.
[点评] 函数f (x )在点x 处切线l 的斜率为f ′(x 0)，若l 与l 1平行(或垂直)，则f ′(x 0)＝kl 1(或f ′(x 0)·kl 1＝－1)．请再练习下题：
(2020·广东实华梧州联考)已知曲线y ＝x 2
－1在x ＝x 0处的切线与曲线y ＝1－x 3
在x ＝x 0
处的切线互相平行，则x 0的值为________．
[答案] 0或－2
3
[解析] 由条件知，2x 0＝－3x 2
0， ∴x 0＝0或－2
3
.
9．设P 为曲线C ：y ＝x 2
－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是________．
[答案] ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，3 [解析] 设P (a ，a 2
－a ＋1)，y ′|x ＝a ＝2a －1∈[－1,3]，∴0≤a ≤2.
∴a 2
－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34
，当a ＝12时，取最小值34，当a ＝2时，取最大值3，故P 点纵坐
标范围是⎣⎢⎡⎦
⎥⎤34，3.
10．(2020·北京东城一模)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2
－x ＋c ，且a ＝f ′(23)．
(1)求a 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间．
(3)(理)设函数g (x )＝[f (x )－x 3
]·e x
，若函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，求实数c 的取值范围．
[解析] (1)由f (x )＝x 3
＋ax 2
－x ＋c 得，
f ′(x )＝3x 2＋2ax －1.
当x ＝23时，得a ＝f ′(23)＝3×(23)2＋2a ×(23)－1＝43a ＋1
3，解之得a ＝－1.
(2)由(1)可知f (x )＝x 3
－x 2
－x ＋c .
则f ′(x )＝3x 2
－2x －1＝3(x ＋13
)(x －1)，列表如下：
↗
↘
↗
所以f (x )的单调递增区间是(－∞，－3
)和(1，＋∞)；
f (x )的单调递减区间是(－13
，1)．
(3)函数g (x )＝(f (x )－x 3
)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x
，
有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x
， 因为函数在区间x ∈[－3,2]上单调递增，
所以h (x )＝－x 2
－3x ＋c －1≥0在x ∈[－3,2]上恒成立．
只要h (2)≥0，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞).
11.若a >2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2
＋1在区间(0,2)上恰好有( )
A ．0个零点
B ．1个零点
C ．2个零点
D ．3个零点
[答案] B
[解析] f ′(x )＝x 2
－2ax ＝x (x －2a )＝0⇒x 1＝0，x 2＝2a >4.易知f (x )在(0,2)上为减函数，且f (0)＝1>0，f (2)＝113－4a <0，由零点判定定理知，函数f (x )＝13x 3－ax 2
＋1在区间
(0,2)上恰好有一个零点．
12．(2020·南开区质检)已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝3x －x 3
的极大值点坐标为(b ，c )，则ad 等于( )
A ．2
B ．1
C ．－1
D ．－2
[答案] A
[解析] ∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ， 又(b ，c )为函数y ＝3x －x 3
的极大值点， ∴c ＝3b －b 3
，且0＝3－3b 2， ∴⎩⎪⎨
⎪⎧
b ＝1
c ＝2
或⎩⎪⎨
⎪⎧
b ＝－1
c ＝－2
，∴ad ＝2.
13．(文)(2020·安庆质检)已知函数f (x )＝－x 3
＋ax 2
－4在x ＝2处取得极值，若m 、n ∈[－1,1]，则f (m )＋f ′(n )的最小值是________．
[答案] －13
[解析] 求导得f ′(x )＝－3x 2
＋2ax ，由函数f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，∴a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3
＋3x 2
－4，f ′(x )＝－3x 2
＋6x ，易知f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，
∴当m ∈[－1,1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.又∵f ′(x )＝－3x 2
＋6x 的图象开口向下，且对称轴为x ＝1，∴当n ∈[－1,1]时，f ′(n )min ＝f ′(－1)＝－9.故f (m )＋f ′(n )的最小值为－13.
(理)(2020·山东潍坊一模)已知函数f (x )＝x 3
＋2bx 2
＋cx ＋1有两个极值点x 1、x 2，且x 1
∈[－2，－1]，x 2∈[1,2]，则f (－1)的取值范围是(
)
A ．[－32，3]
B ．[3
2，6]
C ．[3,12]
D ．[－3
2，12]
[答案] C
[解析] 由条件可得，⎩⎪⎨⎪⎧
f ′－2≥0，f ′
－1≤0，f ′
1≤0，f ′
2≥0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
8b －c －12≤0，
4b －c －3≤0，
4b ＋c ＋3≤0，8
b ＋
c ＋12≥0，
作出其可行域，
易知目标函数z ＝2b －c 的取值范围是[3,12]．
14．(文)设函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c 的图象如图所示，且与y ＝0在原点相切，若函数的极小值为－4.
(1)求a 、b 、c 的值； (2)求函数的递减区间．
[解析] (1)函数的图象经过(0,0)点，∴c ＝0. 又图象与x 轴相切于(0,0)点，y ′＝3x 2
＋2ax ＋b ， ∴b ＝0，∴y ＝x 3
＋ax 2
，y ′＝3x 2
＋2ax . ∵当x ＝－2
3
a 时，函数有极小值－4.
∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a 33＋a ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2a 32
＝－4，得a ＝－3. (2)y ′＝3x 2
－6x <0，解得0<x <2.∴递减区间是(0,2)． (理)设函数f (x )＝x 3
－3ax ＋b (a ≠0)．
(1)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (x ))处与直线y ＝8相切，求a ，b 的值； (2)求函数f (x )的单调区间与极值点． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2
－3a .
因为曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处与直线y ＝8相切，
所以⎩⎪⎨
⎪⎧
f ′2＝0，f 2
＝8.
即⎩⎪⎨⎪⎧
12－3a ＝0，
8－6a ＋b ＝8.
解得a ＝4，b ＝24.
(2)f ′(x )＝3(x 2
－a )(a ≠0)．
当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增；此时函数f (x )没有极值点．
当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝±a .
当x ∈(－∞，－a )时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增； 当x ∈(－a ，a )时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增． 故x ＝－a 是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点．
15．(文)设函数g (x )＝13x 3＋12ax 2
－bx (a ，b ∈R)，在其图象上一点P (x ，y )处的切线的斜
率记为f (x )．
(1)若方程f (x )＝0有两个实根分别为－2和4，求f (x )的表达式； (2)若g (x )在区间[－1,3]上是单调递减函数，求a 2
＋b 2
的最小值．
[解析] (1)根据导数的几何意义知f (x )＝g ′(x )＝x 2
＋ax －b ，由已知－2,4是方程x
2
＋ax －b ＝0的两个实根，由韦达定理⎩
⎪⎨
⎪⎧
－2＋4＝－a
－2×4＝－b ，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2
b ＝8，f (x )＝x 2
－2x －8.
(2)g (x )在区间[－1,3]上是单调递减函数，所以在[－1，3]区间上恒有f (x )＝g ′(x )＝
x 2＋ax －b ≤0，
即f (x )＝x 2
＋ax －b ≤0在[－1,3]上恒成立 这只需满足⎩⎪⎨
⎪⎧
f －1≤0f
3≤0
即可，也即⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b ≥1b －3a ≥9
，而a 2＋b 2
可视为平面区域
⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＋
b ≥1b －3a ≥9
内的点到原点距离的平方，其中点(－2,3)距离原点最近．所以当⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－2
b ＝3
时，
a 2＋
b 2有最小值13.
(理)(2020·天津文，19)已知函数f (x )＝4x 3＋3tx 2－6t 2
x ＋t －1，x ∈R ，其中t ∈R. (1)当t ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程． (2)当t ≠0，求f (x )的单调区间．
(3)证明：对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．
[解析] (1)当t ＝1时，f (x )＝4x 3
＋3x 2
－6x ，f (0)＝0，f ′(x )＝12x 2
＋6x －6，f ′(0)＝－6，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝－6x .
(2)解：f ′(x )＝12x 2
＋6tx －6t 2
，令f ′(x )＝0，解得x ＝－t 或x ＝t
2，因为t ≠0，以
下分两种情况讨论：
①若t <0，则t
2<－t ，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
↗
↘
↗
所以，f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2，(－t ，＋∞)；f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭
⎪⎫t
2，－t .
②若t >0，则－t <t
2
，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
↗
↘
↗
所以，f (x )的单调递增区间是(－∞，－t )，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，＋∞：f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－t ，t
2，
(3)证明：由(2)可知，当t >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，t 2内单调递减，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫t
2，＋∞内单调递增，
以下分两种情况讨论：
①当t
2
≥1，即t ≥2时，f (x )在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．
f (0)＝t －1>0，f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≤－6×4＋4×2＋3<0.所以对任意t ∈[2，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．
②当0<t 2<1，即0<t <2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，t 2内单调递减，在⎝ ⎛⎭
⎪⎫t
2，1内单调递增，
若t ∈(0,1]，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 2＝－74t 3＋t －1≤－74t 3<0，
f (1)＝－6t 2＋4t ＋3≥－6t ＋4t ＋3＝－2t ＋3>0，
所以f (x )在⎝ ⎛⎭
⎪⎫t
2，1内存在零点． 若t ∈(1,2)，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 2＝－74t 3＋(t －1)<－74t 3＋1<0， f (0)＝t －1>0，
所以f (x )在⎝ ⎛
⎭
⎪⎫
0，t 2内存在零点．
所以，对任意t ∈(0,2)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点， 综上，对任意t ∈(0，＋∞)，f (x )在区间(0,1)内均存在零点．
1．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )
[答案] C
[分析] 由导函数f ′(x )的图象位于x 轴上方(下方)，确定f (x )的单调性，对比f (x )的图象，用排除法求解．
[解析] 由f ′(x )的图象知，x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，x ∈(0,2)
时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．只有C符合题意，故选C.
2．设曲线y＝x2＋1上任一点(x，y)处的切线的斜率为g(x)，则函数y＝g(x)cos x的部分图象可以为( )
[答案] A
[解析]g(x)＝(x2＋1)′＝2x，∴y＝g(x)·cos x＝2x cos x，显然y＝2x cos x为奇函数，排除B、D，且在原点右侧附近，函数值大于零．排除C.
3．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为图中的( )
[答案] D
[解析] 当y ＝f (x )为增函数时，y ＝f ′(x )>0，当y ＝f (x )为减函数时，y ＝f ′(x )<0，可判断D 成立．
4．(2020·浙江文，10)设函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)，若x ＝－1为函数f (x )e x
的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )的图象是( )
[答案] D
[解析] 设g (x )＝f (x )e x ，则g (x )＝(ax 2＋bx ＋c )e x
，
∴g ′(x )＝e x [ax 2
＋(b ＋2a )x ＋b ＋c ]，由已知g ′(－1)＝0，∴a －b －2a ＋b ＋c ＝0，∴a ＝c .
∴f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 可化为f (x )＝ax 2
＋bx ＋a ， ∴f (x )＝0若有根时，两根之积为1.
而D 中两根x 1<－1，x 2<－1，x 1x 2>1.所以D 图一定不成立．故选D.
5．f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0.对任意正数
a 、
b ，若a <b ，则必有( )
A ．af (b )≤bf (a )
B ．bf (a )≤af (b )
C ．af (a )≤f (b )
D ．bf (b )≤f (a )
[答案] A
[解析] ∵xf ′(x )＋f (x )≤0，又f (x )≥0， ∴xf ′(x )≤－f (x )≤0. 设y ＝f x x ，则y ′＝x ·f ′x －f x
x 2≤0， 故y ＝
f x
x
为减函数或为常数函数． 又a <b ，∴
f a a ≥f b
b
， ∵a 、b >0，∴a ·f (b )≤b ·f (a )．
[点评] 观察条件式xf ′(x )＋f (x )≤0的特点，可见不等式左边是函数y ＝xf (x )的导函数，故可构造函数y ＝xf (x )或y ＝
f x
x
通过取导数利用条件式来得到函数的单调性推得
结论，请再练习下题：
已知a ，b 是实数，且e <a <b ，其中e 是自然对数的底数，则a b
与b a
的大小关系是( ) A ．a b
>b a
B ．a b
<b a C ．a b
＝b a
D ．a b
与b a
的大小关系不确定 [答案] A
[解析] 令f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x
x
2
.当x >e 时，f ′(x )<0，∴f (x )在(e ，＋∞)上单调递减．
∵e <a <b ，∴f (a )>f (b )，即
ln a a >ln b
b
，
∴b ln a >a ln b ，∴ln a b
>ln b a
，∴a b >b a
.
6．(2020·安徽池州一中期末)已知函数y ＝－13x 3＋bx 2
－(2b ＋3)x ＋2－b 在R 上不是单
调减函数，则b 的取值范围是________．
[答案] b <－1或b >3
[解析] y ′＝－x 2
＋2bx －(2b ＋3)，要使原函数在R 上单调递减，应有y ′≤0恒成立， ∴Δ＝4b 2
－4(2b ＋3)＝4(b 2
－2b －3)≤0，∴－1≤b ≤3，故使该函数在R 上不是单调减函数的b 的取值范围是
b <－1或b >3.
7．(2020·苏北四市调研)已知函数f (x )＝mx 3
＋nx 2
的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．
[答案] [－2，－1]
[解析] 由题意知，点(－1,2)在函数f (x )的图象上，故－m ＋n ＝2① 又f ′(x )＝3mx 2
＋2nx ，由条件知f ′(－1)＝－3， 故3m －2n ＝－3②
联立①②解得：m ＝1，n ＝3，即f (x )＝x 3
＋3x 2
， 令f ′(x )＝3x 2
＋6x ≤0，解得－2≤x ≤0， 则[t ，t ＋1]⊆[－2,0]，故t ≥－2且t ＋1≤0， 所以t ∈[－2，－1]．
[点评] f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，故[t ，t ＋1]是f (x )的减区间的子集． 8．(2020·厦门三中阶段测试)已知f (x )＝ln x ＋x 2
－bx . (1)若函数f (x )在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；
(2)当b ＝－1时，设g (x )＝f (x )－2x 2
，求证函数g (x )只有一个零点．
[解析] (1)∵f (x )在(0，＋∞)上递增，
∴f ′(x )＝1
x
＋2x －b ≥0，对x ∈(0，＋∞)恒成立，
即b ≤1
x
＋2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立，
∴只需b ≤⎝
⎛⎭
⎪⎫1x
＋2x min ， ∵x >0，∴1x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2
2时取“＝”，
∴b ≤22，∴b 的取值范围为(－∞，22]．
(2)当b ＝－1时，g (x )＝f (x )－2x 2
＝ln x －x 2
＋x ，其定义域是(0，＋∞)， ∴g ′(x )＝1
x
－2x ＋1
＝－2x 2
－x －1x ＝－
x －12x ＋1
x
， 令g ′(x )＝0，即－2x ＋1
x －1x
＝0，
∵x >0，∴x ＝1，
当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0，
∴函数g (x )在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减， ∴当x ≠1时，g (x )<g (1)，而g (1)＝0，∴g (x )<0， ∴函数g (x )只有一个零点．。