人教版数学九年级上册 21.2解一元二次方程 专项拓展(一)

21.2解一元二次方程专项拓展（一）
一．选择题
1．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A．﹣4，21B．﹣4，11C．4，21D．﹣8，69
2．解方程（5x﹣3）2＝2（5x﹣3），选择最适当的方法是（）
A．直接开平方法B．配方法
C．公式法D．因式分解法
3．一元二次方程x2＝2x的根为（）
A．x＝0B．x＝2C．x＝0或x＝2D．x＝0或x＝﹣2
4．若x2+mx+19＝（x﹣5）2﹣n，则m+n的值是（）
A．﹣16B．16C．﹣4D．4
5．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k＝0的根的情况是（）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
6．下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（）
A．x2+3＝0B．x2+x＝0C．x2+2x＝﹣1D．x2＝1
7．方程x2﹣4x+5＝0的根的情况是（）
A．只有一个实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
8．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）
A．k B．k且k≠0C．k且k≠0D．k
9．一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，则x1•x2的值是（）
A．5B．﹣5C．6D．﹣6
10．已知三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x2﹣16x+60＝0的一个实数根，则该三角形的面积是（）
A．24或B．24C．D．24或
二．填空题
11．ax2+bx+c＝0（a≠0）叫做的一般形式．设x1，x2分别为ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则：x1＝，x2＝．
12．已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0（m＞0）的一个根比另一个根大2，则m的值为．
13．关于x的一元二次方程x2+4x﹣6＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则x1+x2＝．14．已知关于x的方程（x﹣2）2﹣4|x﹣2|﹣k＝0有四个根，则k的范围为．
15．等腰△ABC的一边BC的长为6，另外两边AB，AC的长分别是方程x2﹣8x+m＝0的两个根，则m的值为．
三．解答题
16．解下列方程：
（1）（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0；
（2）5（x﹣3）2＝x2﹣9；
（3）t2﹣t+＝0；
（4）2x2+7x+3＝0（配方法）．
17．（1）解方程：2x2﹣x﹣1＝0
（2）已知关于x的方程无解，方程x2+kx+6＝0的一个根是m．
①求m和k的值；
②求方程x2+kx+6＝0的另一个根．
18．已知：关于x的一元二次方程x2+mx＝3（m为常数）．
（1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2k+8＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；
（2）若x13x2+x1x23＝24，求k的值．
20．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，其中a＝3，c＝5，且关于x的一元二次方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，判断△ABC的形状．
参考答案一．选择题
1．解：∵x2﹣8x﹣5＝0，
∴x2﹣8x＝5，
则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，
∴a＝﹣4，b＝21，
故选：A．
2．解：（5x﹣3）2﹣2（5x﹣3）＝0，
（5x﹣3）（5x﹣3﹣2）＝0，
（5x﹣3）（5x﹣3﹣2）＝0
解得：x1＝，x2＝1．
故选：D．
3．解：∵x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，
则x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故选：C．
4．解：（x﹣5）2﹣n＝x2﹣10x+25﹣n，
∴x2+mx+19＝x2﹣10x+25﹣n，
∴m＝﹣10，25﹣n＝19，
解得，m＝﹣10，n＝6，
∴m+n＝﹣10+6＝﹣4，
故选：C．
5．解：x2﹣（k+3）x+2k＝0，
△＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×2k＝k2﹣2k+9＝（k﹣1）2+8，即不论k为何值，△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
6．解：A、∵△＝02﹣4×1×3＝﹣12，
∴方程x2+3＝0没有实数根；
B、∵△＝12﹣4×1×0＝1＞0，
∴方程x2+x＝0有两个不相等的实数根；
C、原方程转换成一般式为x2+2x+1＝0，
∵△＝22﹣4×1×1＝0，
∴方程x2+2x＝﹣1有两个相等的实数根；
D、原方程转换成一般式为x2﹣1＝0，
∵△＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，
∴方程x2＝1有两个不相等的实数根．
故选：C．
7．解：∵△＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，
∴方程没有实数根．
故选：B．
8．解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤且k≠0，
故选：C．
9．解：∵一元二次方程x2﹣6x+5＝0的两根分别是x1、x2，
∴x1•x2＝＝＝5，
故选：A．
10．解：x2﹣16x+60＝0，
（x﹣6）（x﹣10）＝0，
x﹣6＝0或x﹣10＝0，
所以x1＝6，x2＝10，
当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高＝＝2，此时三角形的面积＝×8×2＝8
当第三边长为10时，三角形为直角三角形，此时三角形的面积＝×8×6＝24．
故选：D．
二．填空题
11．解：ax2+bx+c＝0（a≠0）叫做一元二次方程的一般形式，
设x1，x2分别为ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，则：
x1＝，
x2＝；
故答案为：一元二次方程，，．12．解：设方程的两根分别为t，t+2，
根据题意得t+t+2＝4m，t（t+2）＝3m2，
把t＝2m﹣1代入t（t+2）＝3m2得（2m﹣1）（2m+1）＝3m2，整理得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
所以m的值为1．
故答案为1．
13．解：根据题意得x1+x2＝﹣4．
故答案为﹣4．
14．解：∵关于x的方程（x﹣2）2﹣4|x﹣2|﹣k＝0有四个根，（x﹣2）2﹣4（x﹣2）﹣k＝0有两个不同根，
∴△＝16+4k＞0，即k＞﹣4，
且两根的积为正数，即﹣k＞0，
∴k＜0，
∴k的范围为﹣4＜k＜0；
故答案为：﹣4＜k＜0．
15．解：∵方程x2﹣8x+m＝0有两个根，
∴△＝（﹣8）2﹣4m≥0解得m≤16，
由根与系数的关系可得：AB+AC＝8，AB•AC＝m，
∵等腰△ABC的一边BC的长为6，
∴AB，AC的长分别是4、4或2、6或6、2，
当AB，AC的长分别是4、4时，即方程x2﹣8x+m＝0有两个相等的实根，此时△＝（﹣8）2﹣4m＝0，解得m＝16；
AB，AC的长分别是2、6或6、2时，即方程x2﹣8x+m＝0有两个不相等的实根，此时△＝（﹣8）2﹣4m＞0，AB•AC＝2×6＝m，解得m＝12．
∴m的值为12或16．
三．解答题
16．解：（1）（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0
（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）＝0，
（4y+1）（﹣2y+3）＝0．
∴4y+1＝0或﹣2y+3＝0．
∴y1＝﹣，y2＝．
（2）5（x﹣3）2＝x2﹣9；
解：5（x﹣3）2＝（x+3）（x﹣3），
移项，得5（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0．
∴（x﹣3）[5（x﹣3）﹣（x+3）]＝0，
即（x﹣3）（4x﹣18）＝0．
∴x﹣3＝0或4x﹣18＝0．
∴x1＝3，x2＝．
（3）t2﹣t+＝0．
解：方程两边都乘8，得8t2﹣4t+1＝0．∵a＝8，b＝﹣4，c＝1，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×8×1＝0．
∴t＝＝．
∴t1＝t2＝．
（4）2x2+7x+3＝0（配方法）
解：移项，得2x2+7x＝﹣3．
方程两边同除以2，得x2+x＝﹣．
配方，得x2+x+（）2＝﹣+（）2，即（x+）2＝．
直接开平方，得x+＝±．
∴x1＝﹣，x2＝﹣3．
17．解：（1）（2x+1）（x﹣1）＝0
2x+1＝0或x﹣1＝0
所以x1＝﹣，x2＝1；
（2）解：①去分母得m﹣1﹣x＝0，解得x＝m﹣1，
而分式方程无解，则x﹣1＝0，
所以m﹣1＝﹣1＝0，解得m＝2，
把x＝2代入方程x2+kx+6＝0得4+2k+6＝0，解得k＝﹣5；
②设方程的另外一个根是t，
则2t＝6，解得t＝3，
所以方程x2+kx+6＝0的另一个根为3．
18．（1）证明：x2+mx﹣3＝0，
∵a＝1，b＝m，c＝﹣3
∴△＝b2﹣4ac＝m2﹣4×1×（﹣3）＝m2+12，
∵m2≥0，
∴m2+12＞0，
∴△＞0，
∴无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为x1，
则2•x1＝＝＝﹣3，
∴x1＝﹣
∴方程的另一个根为﹣．
19．解：（1）由题意可知，△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2k+8）≥0，
整理得：16+8k﹣32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
（2）由题意得：，由韦达定理可知：x1+x2＝4，x1x2＝﹣2k+8，
故有：（﹣2k+8）[42﹣2（﹣2k+8）]＝24，
整理得：k2﹣4k+3＝0，
解得：k1＝3，k2＝1，
又由（1）中可知k≥2，
∴k的值为k＝3．
故答案为：k＝3．
20．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，∴b2﹣4ac＝16﹣4b＝0
解得：b＝4，
∵a＝3，c＝5，
∴32+42＝52，
∴△ABC为直角三角形．。