九年级(上)期末数学试卷(含答案)

九年级（上）期末数学试卷（含答案）
一、选择题
1．如图，等边三角形ABC 的边长为5，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若BF ＝2，则BD 的长是（ ）
A ．2
B ．3
C ．
218
D ．
247
2．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知CD a =，DCA β∠=∠，下列结论错误的是（ ）
A ．BDC β∠=∠
B ．2sin a
AO β
=
C ．tan BC a β=
D ．cos a
BD β
=
3．如图，在Rt ABC ∆中，AC BC =，52AB =，以AB 为斜边向上作Rt ABD ∆，
90ADB ∠=︒.连接CD ，若7CD =，则AD 的长度为（ ）
A ．3242
B ．3或4
C ．2242
D ．2或4
4．若关于x 的方程 ()2
m 110x mx -+-= 是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≠. B ．m 1=.
C ．m 1≥
D ． m 0≠.
5．若x=2y ，则
x
y
的值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．
12
D ．
13
6．若关于x 的一元二次方程x 2－2x －k ＝0没有实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞－1 B ．k≥－1 C ．k ＜－1 D ．k≤－1 7．已知二次函数y=-x 2+2mx+2,当x<-2时，y 的值随x 的增大而增大，则实数m （ ） A ．m=-2
B ．m>-2
C ．m≥-2
D ．m≤-2
8．将抛物线2
3y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）
A ．23(2)3y x =++
B ．23(2)3y x =-+
C ．23(2)3y x =+-
D ．23(2)3y x =-- 9．一枚质地匀均的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上面的数字大于4的概率是（ ） A ．
12
B ．
13
C ．
23
D ．
16
10．把二次函数y =2x 2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（ ）
A ．22(3)2y x =-+
B ．22(3)2y x =++
C ．22(3)?2y x =-
D ．22(3)?2y x =+
11．如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，连接AB ，若∠B ＝
25°，则∠P 的度数为（ ）
A ．25°
B ．40°
C ．45°
D ．50° 12．已知△ABC ≌△DEF ，∠A =60°，∠
E =40°，则∠
F 的度数为（ ）
A ．40
B ．60
C ．80
D ．100
13．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOB ＝40°，弦BC 的长等于半径，则∠ADC
的度数等于（ ）
A ．50°
B ．49°
C ．48°
D ．47°
14．如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点C ，交AB 的延长线于D ，且∠D ＝40°，则
∠PCA 等于（ ）
A ．50°
B ．60°
C ．65°
D ．75°
15．二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac ﹣b 2＜0；②4a+c ＜2b ；③3b+2c ＜0；④m （am+b ）+b ＜a （m≠﹣1），其中正确结论的个数是（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
二、填空题
16．已知二次函数2
22y x x -=-，当-1≤x≤4时，函数的最小值是__________． 17．如图，若抛物线2
y ax h =+与直线y kx b =+交于()3,A m ，()2,B n -两点，则不等
式2ax b kx h -<-的解集是______.
18．在比例尺为1∶500 000的地图上，量得A 、B 两地的距离为3 cm ，则A 、B 两地的实际距离为_____km ．
19．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上的一点，若BC=6，AB=10，OD ⊥BC 于点D ，则OD 的长为______．
20．如图，平行四边形
ABCD 中，60A ∠=︒，
3
2
AD AB =.以A 为圆心，AB 为半径画弧，交AD 于点E ，以D 为圆心，DE 为半径画弧，交CD 于点F .若用扇形ABE 围成一个圆维的侧面，记这个圆锥的底面半径为1
r ；若用扇形DEF 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥的底面半径为2r ，则
1
2
r r 的值为______.
21．在英语句子“Wish you success”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是 ．
22．一个扇形的圆心角是120°．它的半径是3cm ．则扇形的弧长为__________cm ． 23．方程22x x =的根是________．
24．如图，圆锥的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ，则该圆锥的侧面积是_____cm 2．
25．如图，45AOB ∠=，点P 、Q 都在射线OA 上，2OP =，6OQ =，M 是射线
OB 上的一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当该圆与OB 相切时，其半径的长为
__________．
26．将抛物线 y ＝（x+2）2-5向右平移2个单位所得抛物线解析式为_____． 27．已知3a ＝4b ≠0，那么
a
b
＝_____． 28．若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则6m 2﹣9m +2020的值为_____． 29．如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，则∠CAD ＝_____．
30．已知：二次函数y=ax 2+bx+c 图象上部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表格所示，那么它的图象与x 轴的另一个交点坐标是_____． x … ﹣1 0 1 2 … y
…
3
4
3
…
三、解答题
31．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的图像经过点A （－1，0）、B （0，2）．
（1）b ＝ （用含有a 的代数式表示），c ＝ ；
（2）点O 是坐标原点，点C 是该函数图像的顶点，若△AOC 的面积为1，则a ＝ ； （3）若x ＞1时，y ＜5．结合图像，直接写出a 的取值范围．
32．某网店销售一种商品，其成本为每件30元.根据市场调查，当每件商品的售价为x 元（30x >）时，每周的销售量y （件）满足关系式：10600y x =-+.
（1）若每周的利润W 为2000元，且让消费者得到最大的实惠，则售价应定为每件多少元？
（2）当3552x ≤≤时，求每周获得利润W 的取值范围.
33．为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对A 、B 两地间的公路进行改建，如图，A ，B 两地之间有一座山．汽车原来从A 地到B 地需途经C 地沿折线ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB 行驶，已知BC ＝80千米，∠A ＝45°，∠B ＝30°． (1)开通隧道前，汽车从A 地到B 地要走多少千米？
(2)开通隧道后，汽车从A 地到B 地可以少走多少千米？(结果保留根号)
34．计算
（10
2020318(1)2⎛⎫+- ⎪⎝⎭
（2）2430x x -+=
35．解方程：3x 2﹣4x +1＝0．（用配方法解）
四、压轴题
36．如图，点A 和动点P 在直线l 上，点P 关于点A 的对称点为Q ．以AQ 为边作
Rt ABQ △，使90BAQ ∠=︒，:3:4AQ AB =，作ABQ △的外接圆O ．点C 在点P 右
侧，4PC =，过点C 作直线m l ⊥，过点O 作OD m ⊥于点D ，交AB 右侧的圆弧于点
E ．在射线CD 上取点
F ，使3
2
DF CD =，以DE 、DF 等邻边作矩形DEGF ，设3AQ x =
（1）用关于x 的代数式表示BQ 、DF ．
（2）当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，求AP 的长． （3）在点P 的整个运动过程中，当AP 为何值时，矩形DEGF 是正方形．
37．我们知道，如图1，AB 是⊙O 的弦，点F 是AFB 的中点，过点F 作EF ⊥AB 于点E ，易得点E 是AB 的中点，即AE ＝EB ．⊙O 上一点C （AC ＞BC ），则折线ACB 称为⊙O 的一条“折弦”．
（1）当点C 在弦AB 的上方时（如图2），过点F 作EF ⊥AC 于点E ，求证：点E 是“折弦ACB ”的中点，即AE ＝EC+CB ．
（2）当点C 在弦AB 的下方时（如图3），其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？若成立说明理由；若不成立，那么AE 、EC 、CB 满足怎样的数量关系？直接写出，不必证明．
（3）如图4，已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠BAC ＝30°，Rt △ABC 的外接圆⊙O 的半径为2，过⊙O 上一点P 作PH ⊥AC 于点H ，交AB 于点M ，当∠PAB ＝45°时，求AH 的长．
38．如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的弦，AE 平分BAF ∠，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED AF ⊥，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C .
(1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若10,6AB AF ==，求AE 的长.
39．抛物线G ：2
y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于C （0，-1），且AB =4OC ．
（1）直接写出抛物线G 的解析式： ；
（2）如图1，点D （-1，m ）在抛物线G 上，点P 是抛物线G 上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ，当线段PQ 取最大值时，求点P 的坐标；
（3）如图2，点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上，若S △CMN =2，求点M 的坐标．
40．抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的顶点为(),P h k ，作x 轴的平行线4y k =+与抛物线交
于点A 、B ，无论h 、k 为何值，AB 的长度都为4． （1）请直接写出a 的值____________； （2）若抛物线当0x =和4x =时的函数值相等， ①求b 的值；
②过点()0,2Q 作直线2y =平行x 轴，交抛物线于M 、N 两点，且4QM QN +=，求
c 的取值范围；
（3）若1c b =--，2727b -<<AB 与抛物线所夹的封闭区域为S ，将抛物线绕原点逆时针旋转α，且1
tan 2
α=
，此时区域S 的边界与y 轴的交点为C 、D 两点，若点D 在点C 上方，请判断点D 在抛物线上还是在线段AB 上，并求CD 的最大值．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
根据折叠得出∠DFE ＝∠A ＝60°，AD ＝DF ，AE ＝EF ，设BD ＝x ，AD ＝DF ＝5﹣x ，求出∠DFB ＝∠FEC ，证△DBF ∽△FCE ，进而利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】
解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝BC ＝AC ＝5， ∵沿DE 折叠A 落在BC 边上的点F 上， ∴△ADE ≌△FDE ，
∴∠DFE ＝∠A ＝60°，AD ＝DF ，AE ＝EF ，
设BD＝x，AD＝DF＝5﹣x，CE＝y，AE＝5﹣y，∵BF＝2，BC＝5，
∴CF＝3，
∵∠C＝60°，∠DFE＝60°，
∴∠EFC+∠FEC＝120°，∠DFB+∠EFC＝120°，∴∠DFB＝∠FEC，
∵∠C＝∠B，
∴△DBF∽△FCE，
∴BD BF DF
FC CE EF
==，
即
25
35
x x
y y
-
==
-
，
解得：x＝21
8
，
即BD＝21
8
，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质、相似三角形的判定定理.
2．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得对角线相等且互相平分，再结合三角函数的定义，逐个计算即可判断.【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO, ∠ADC=∠BCD=90°
∴AO=CO=BO=DO,
∴∠OCD=∠ODC=β,
A、BDC DCAβ
∠=∠=∠,故A选项正确；
B、在Rt△ADC中，cos∠ACD=DC
AC
, ∴cosβ=
2
a
AO
,∴AO=
2cos
a
，故B选项错误；
C、在Rt△BCD中，tan∠BDC=BC
DC
, ∴ tanβ=
BC
a
∴BC=atanβ，故C选项正确；
D、在Rt△BCD中，cos∠BDC=DC
DB
, ∴ cosβ=
a
BD
∴
cos
a
BD
β
=，故D选项正确.
故选：B.【点睛】
本题考查矩形的性质及三角函数的定义，掌握三角函数的定义是解答此题的关键.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用A 、B 、C 、D 四点共圆，根据同弧所对的圆周角相等，得出ADC ABC ∠∠=，再作AE CD ⊥，设AE=DE=x ，最后利用勾股定理求解即可. 【详解】 解：如图所示，
∵△ABC 、△ABD 都是直角三角形， ∴A,B,C,D 四点共圆， ∵AC=BC ，
∴BAC ABC 45∠∠==︒， ∴ADC ABC 45∠∠==︒， 作AE CD ⊥于点E,
∴△AED 是等腰直角三角形，设AE=DE=x,则AD 2x =，
∵CD=7,CE=7-x, ∵AB 52= ∴AC=BC=5，
在Rt△AEC 中，222AC AE EC =+， ∴()2
2257x x =+- 解得，x=3或x=4， ∴AD 232x ==2.
故答案为：A.
【点睛】
本题考查的知识点是勾股定理的综合应用，解题的关键是根据题目得出四点共圆，作出合理辅助线，在圆内利用勾股定理求解.
4．A
解析：A
【分析】
根据一元二次方程的定义可得m﹣1≠0，再解即可．
【详解】
由题意得：m﹣1≠0，
解得：m≠1，
故选A．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
5．A
解析：A
【解析】
【分析】
将x=2y代入x
y
中化简后即可得到答案.
【详解】
将x=2y代入x
y
得：
2
2
x y
y y
==，
故选：A.
【点睛】
此题考查代数式代入求值，正确计算即可.
6．C
解析：C
【解析】
试题分析：由题意可得根的判别式，即可得到关于k的不等式，解出即可.
由题意得，解得
故选C.
考点：一元二次方程的根的判别式
点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当
时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质，确定抛物线的对称轴及开口方向得出函数的增减性，结合题意确定
【详解】 解：抛物线的对称轴为直线221m x
m
∵10a =-<,抛物线开口向下，
∴当x m < 时，y 的值随x 值的增大而增大，
∵当2x <-时，y 的值随x 值的增大而增大，
∴2m ≥- ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，由系数的符号特征得出函数性质是解答此题的关键. 8．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【详解】
将抛物线2
3y x =向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为23(2)3y x =++，故答案选A ． 9．B
解析：B
【解析】
【分析】
直接得出朝上面的数字大于4的个数，再利用概率公式求出答案．
【详解】
∵一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，投掷一次， ∴共有6种情况，其中朝上面的数字大于4的情况有2种，
∴朝上一面的数字是朝上面的数字大于4的概率为：
2163
=， 故选：B ．
【点睛】
本题考查简单的概率求法，概率=所求情况数与总情况数的比；熟练掌握概率公式是解题关键． 10．A
解析：A
【解析】
将二次函数2
2y x =的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式为：
2
=-+.
2(3)2
y x
故选A.
11．B
解析：B
【解析】
【分析】
连接OA，由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，根据切线定理可得∠OAP＝90°，继而推出∠P＝90°﹣50°＝40°．
【详解】
连接OA，
由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠P＝90°﹣50°＝40°，
故选：B．
【点睛】
本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是求出∠AOP的度数．
12．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据全等三角形对应角相等可得∠B=∠E=40°，∠F=∠C，然后利用三角形内角和定理计算出∠C的度数，进而可得答案．
【详解】
解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠B=∠E=40°，∠F=∠C，
∵∠A=60°，
∴∠C=180°-60°-40°=80°，
∴∠F=80°，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
13．A
解析：A
【解析】
【分析】
连接OC，根据等边三角形的性质得到∠BOC＝60°，得到∠AOC＝100°，根据圆周角定理解答．
【详解】
连接OC，
由题意得，OB＝OC＝BC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∵∠AOB＝40°，
∴∠AOC＝100°，
由圆周角定理得，∠ADC＝∠AOC＝50°，
故选：A．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，等边三角形的判定和性质，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
14．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据切线的性质，由PD切⊙O于点C得到∠OCD＝90°，再利互余计算出∠DOC＝50°，由
∠A＝∠ACO，∠COD＝∠A+∠ACO，所以
1
25
2
A COD
∠=∠=︒，然后根据三角形外角性
质计算∠PCA的度数．【详解】
解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝40°，
∴∠DOC＝90°﹣40°＝50°，∵OA＝OC，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠COD＝∠A+∠ACO，
∴
1
25
2
A COD
∠=∠=︒，
∴∠PCA＝∠A+∠D＝25°+40°＝65°．
故选C．
【点睛】
本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形外角性质等知识；熟练掌握切线的性质与三角形外角性质是解题的关键．
15．B
解析：B
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；
∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，
∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，
∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，∴②错误；
∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵b=2a，
∴3b，2c＜0，∴③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，
∴y=a﹣b+c的值最大，
即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，
∴am2+bm+b＜a，
即m（am+b）+b＜a，∴④正确；
即正确的有3个，
故选B．
考点：二次函数图象与系数的关系
二、填空题
16．-3
【解析】
【分析】
根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x≤4时，函数的最小值．
【详解】
解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴是直线x ＝1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随
解析：-3
【解析】
【分析】
根据题意和二次函数的性质可以求得当−1≤x ≤4时，函数的最小值．
【详解】
解：∵二次函数2
22y x x -=-，
∴该函数的对称轴是直线x ＝1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，
∵−1≤x≤4，
∴当x ＝1时，y 取得最小值，此时y ＝-3，
故答案为：-3．
【点睛】
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 17．【解析】
【分析】
观察图象当时，直线在抛物线上方，此时二次函数值小于一次函数值，当或时，直线在抛物线下方，二次函数值大于一次函数值，将不等式变形，观察图象确定x 的取值范围，即为不等式的解集.
【
解析：23x -<<
【解析】
【分析】
观察图象当23x -<<时，直线在抛物线上方，此时二次函数值小于一次函数值，当2x <-或3x >时，直线在抛物线下方，二次函数值大于一次函数值，将不等式变形，观察图象确定x 的取值范围，即为不等式的解集.
【详解】
解：设21y ax h =+，2y kx b =+，
∵2ax b kx h -<-
∴2ax h kx b +<+，
∴12y y <
即二次函数值小于一次函数值，
∵抛物线与直线交点为()3,A m ，()2,B n -，
∴由图象可得，x 的取值范围是23x -<<.
【点睛】
本题考查不等式与函数的关系及函数图象交点问题，理解图象的点坐标特征和数形结合思想是解答此题的关键.
18．15
【解析】
【分析】
由在比例尺为1：50000的地图上，量得A 、B 两地的图上距离AB=3cm ，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．
【详解】
解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离
解析：15
【解析】
【分析】
由在比例尺为1：50000的地图上，量得A 、B 两地的图上距离AB=3cm ，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．
【详解】
解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离是3厘米，
∴A 、B 两地的实际距离3×500000=1500000cm=15km ，
故答案为15．
【点睛】
此题考查了比例尺的性质．注意掌握比例尺的定义，注意单位要统一．
19．4
【解析】
【分析】
根据垂径定理求得BD ，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD⊥BC，
∴BD=CD=BC=3，
∵OB=AB=5，
∴在Rt△OBD 中，OD==4．
故答案为4．
解析：4
【解析】
【分析】
根据垂径定理求得BD ，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】
解：∵OD ⊥BC ，
∴BD=CD=
12BC=3， ∵OB=12
AB=5， ∴在Rt △OBD 中，
=4．
故答案为4．
【点睛】
本题考查垂径定理及其勾股定理，熟记定理并灵活应用是本题的解题关键．
20．1
【解析】
【分析】
设AB=a ，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF 与弧长BE ，即可求出的值.
【详解】
设AB=a ，
∵
∴AD=1.5a，则DE=0.5a ，
∵平行四边形中，，∴∠D=120
解析：1
【解析】
【分析】
设AB=a ，根据平行四边形的性质分别求出弧长EF 与弧长BE ，即可求出12
r r 的值. 【详解】
设AB=a ， ∵32
AD AB = ∴AD=1.5a ，则DE=0.5a ，
∵平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，∴∠D=120°，
∴l 1弧长EF=
12020.5360
a π⨯⨯⨯=13a π l 2弧长BE=602360
a π⨯⨯⨯=13a π ∴12r r =12l l =1 故答案为：1.
【点睛】
此题主要考查弧长公式，解题的关键是熟知弧长公式及平行四边形的性质.
21．【解析】
试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为.
考点：概率公式．
解析：
【解析】
试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为42
=
147
.
考点：概率公式．
22．2π
【解析】
分析：根据弧长公式可得结论．
详解：根据题意，扇形的弧长为=2π，
故答案为：2π
点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．
解析：2π
【解析】
分析：根据弧长公式可得结论．
详解：根据题意，扇形的弧长为1203
180
π⨯
=2π，
故答案为：2π
点睛：本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．23．x1＝0，x2＝2
【解析】
【分析】
先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴x(x-2)=0，
x1＝0，x2＝2．
故答案为：x1＝0，x2＝2．
【点睛】
本题考查了一
解析：x 1＝0，x 2＝2
【解析】
【分析】
先移项，再用因式分解法求解即可．
【详解】
解：∵22x x =，
∴22=0x x -，
∴x(x-2)=0，
x 1＝0，x 2＝2．
故答案为：x 1＝0，x 2＝2．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
24．60π
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求出BC 的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】
解：∵它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．
∴BC＝＝10（cm ），
∴圆锥的侧面积是：（
解析：60π
【解析】
【分析】
先利用勾股定理求出BC 的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】
解：∵它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．
∴BC =＝10（cm ）， ∴圆锥的侧面积是：
12610602
r l rl ππππ⋅⋅==⋅⨯=（cm 2）． 故答案为：60π．
【点睛】
本题主要考查勾股定理及扇形的面积公式，掌握勾股定理及扇形的面积公式是解题的关键． 25．【解析】
【分析】
圆C 过点P 、Q ，且与相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再
解析：4223- 【解析】
【分析】
圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再根据等腰直角三角形的性质即可用r 表示出CD 、NC ，最后根据勾股定理列方程即可求出r ．
【详解】
解：如图所示，圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D
∵2OP =，6OQ =，
∴PQ=OQ －OP=4
根据垂径定理，PN=
122PQ = ∴ON=PN ＋OP=4
在Rt △OND 中，∠O=45°
∴ON=ND=4，∠NDO=∠O=45°，242ON =设圆C 的半径为r ，即CM=CP=r
∵圆C 与OB 相切于点M ，
∴∠CMD=90°
∴△CMD 为等腰直角三角形
∴CM=DM=r ，22CM r =
∴NC=ND －CD=42r
根据勾股定理可得：NC 2＋PN 2=CP 2
即()222422r r -+=
解得：124223,4223r r +==DM ＞OD ，点M 不在射线OB 上，故舍去）
故答案为：23．
【点睛】
此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、垂径定理、勾股定理和切线的性质，掌握垂径定理和勾股定理的结合和切线的性质是解决此题的关键．
26．y＝x2−5
【解析】
【分析】
根据平移规律“左加右减”解答．
【详解】
按照“左加右减，上加下减”的规律可知：y＝（x＋2）2−5向右平移2个单位，
得：y＝（x＋2−2）2−5，即y＝x2−5
解析：y＝x2−5
【解析】
【分析】
根据平移规律“左加右减”解答．
【详解】
按照“左加右减，上加下减”的规律可知：y＝（x＋2）2−5向右平移2个单位，
得：y＝（x＋2−2）2−5，即y＝x2−5．
故答案是：y＝x2−5．
【点睛】
考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
27．．
【解析】
【分析】
根据等式的基本性质将等式两边都除以3b，即可求出结论．
【详解】
解：两边都除以3b，得
＝，
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解决此
解析：4
3
．
【解析】
【分析】
根据等式的基本性质将等式两边都除以3b，即可求出结论．【详解】
解：两边都除以3b，得
a b ＝
4
3
，
故答案为：4
3
．
【点睛】
此题考查的是等式的基本性质，掌握等式的基本性质是解决此题的关键．
28．2023
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2020＝3+2020=2
解析：2023
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义即可求出答案．
【详解】
解：由题意可知：2m2﹣3m﹣1＝0，
∴2m2﹣3m＝1，
∴原式＝3（2m2﹣3m）+2020＝3+2020=2023．
故答案为：2023．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．
29．36°．
【解析】
【分析】
由正五边形的性质得出∠BAE=(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，得出 ==，由圆周角定理即可得出答案．
【详解】
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
解析：36°．
【解析】
【分析】
由正五边形的性质得出∠BAE=1
5
(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，得出
BC=CD=DE，由圆周角定理即可得出答案．【详解】
∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，
∴∠BAE=1
5
(n﹣2)×180°=
1
5
(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，
∴BC=CD=DE，
∴∠CAD=1
3
×108°=36°；
故答案为：36°．
【点睛】
本题主要考查了正多边形和圆的关系，以及圆周角定理的应用；熟练掌握正五边形的性质和圆周角定理是解题的关键．
30．（3，0）．
【解析】
分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴x==1；
点（﹣1，0）
解析：（3，0）．
【解析】
分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，
∴对称轴x=0+2
2
=1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为（3，0）．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．
三、解答题
31．（1）a+2；2；（2）-2或6±3）8
a≤--
【解析】
【分析】
（1）将点B的坐标代入解析式，求得c的值；将点A代入解析式，从而求得b；；（2）由题意可得AO=1，设C点坐标为（x,y），然后利用三角形的面积求出点C的纵坐标，然
后代入顶点坐标公式求得a 的值；（3）结合图像，若x ＞1时，y ＜5，则顶点纵坐标大于等于5，根据顶点纵坐标公式列不等式求解即可.
【详解】
解：（1）将B （0，2）代入解析式得：c=2
将A （－1，0）代入解析式得： a ×（-1）2＋b ×（-1）＋c=0
∴a-b+2=0
∴b=a+2
故答案为：a+2；2
（2）由题意可知：AO=1
设C 点坐标为（x,y ） 则
1112
y ⨯⨯= 解得：2y =± 当y=2时，2
424ac b a
-= 由（1）可知，b=a+2;c=2 ∴2
42(2)24a a a
⨯-+= 解得：a=-2
当y=-2时，2
424ac b a
-=- 由（1）可知，b=a+2;c=2 ∴2
42(2)24a a a
⨯-+=-
解得：6a =±
∴a 的值为-2或6±（3）若x ＞1时，y ＜5，又因为图像过点A （－1，0）、B （0，2）
∴图像开口向下，即a ＜0
则该图像顶点纵坐标大于等于5 ∴2
454ac b a
-≥ 即2
42(2)54a a a
⨯-+≥
解得：8a ≤--或8a ≥-+
∴a 的取值范围为8a ≤--
【点睛】
本题考查二次函数的性质，掌握顶点坐标公式及数形结合思想解题是本题的解题关键.
32．（1）售价应定为每件40元；（2）每周获得的利润的取值范围是1250元W ≤≤2250
元.
【解析】
【分析】
（1）根据题意列出方程即可求解；
（2）根据题意列出二次函数，根据3552x ≤≤求出W 的取值.
【详解】
解：（1）根据题意得()()30106002000x x --+=，
解得140x =，250x =.
∵让消费者得到最大的实惠，∴140x =.
答：售价应定为每件40元.
（2）()()2
30106001090018000W x x x x =--+=-+- ()210452250x =--+.
∵100-<，∴当45x =时，W 有最大值2250.
当35x =时，1250W =；当52x =时，1760W =.
∴每周获得的利润的取值范围是1250元W ≤≤2250元.
【点睛】
此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程或二次函数进行求解.
33．(1)开通隧道前，汽车从A 地到B 地要走)千米；(2)汽车从A 地到B 地比原来
少走的路程为千米．
【解析】
【分析】
（1）过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ，在直角△ACD 中，解直角三角形求出CD ，进而解答即可；
（2）在直角△CBD 中，解直角三角形求出BD ，再求出AD ，进而求出汽车从A 地到B 地比原来少走多少路程．
【详解】
(1)过点C 作AB 的垂线CD ，垂足为D ，
∵AB ⊥CD ，sin30°＝CD BC
，BC ＝80千米， ∴CD ＝BC •sin30°＝80×
12＝40(千米)，
AC ＝CD sin 45
︒=千米)， AC +BC ＝80+1-
8(千米)，
答：开通隧道前，汽车从A 地到B 地要走(80+1-8)千米； (2)∵cos30°＝BD BC
，BC ＝80(千米)， ∴BD ＝BC •cos30°＝80×
3=4032(千米)， ∵tan45°＝
CD AD ，CD ＝40(千米)， ∴AD ＝CD 40tan 45
︒=(千米)， ∴AB ＝AD +BD ＝40+403(千米)， ∴汽车从A 地到B 地比原来少走多少路程为：AC +BC ﹣AB ＝80+1-
8﹣40﹣403＝40+40(23)-(千米)．
答：汽车从A 地到B 地比原来少走的路程为 [40+40(23)-]千米．
【点睛】
本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
34．（1）2；（2）13x =，21x =
【解析】
【分析】
（1）按照开立方，零指数幂，正整数指数幂的法则计算即可；
（2）用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】
（1）解：原式=2112-+=
（2）解：(3)(1)0x x --=
30x -=或10x -=
123,1x x ∴==
【点睛】
本题主要考查实数的混合运算和解一元二次方程，掌握实数混合运算的法则和因式分解法是解题的关键．
35．x 1＝1，x 2＝
13
【解析】
【分析】 首先把系数化为1，移项，把常数项移到等号的右侧，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方公式，右边是常数项，即可求解．
【详解】
3x 2﹣4x +1＝0
3（x 2﹣
43x ）+1＝0 （x ﹣
23）2＝19 ∴x ﹣23＝±13
∴x 1＝1，x 2＝
13 【点睛】
本题考查解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤．
四、压轴题
36．（1）（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或65
AP =
或3AP = 【解析】
【分析】
（1）由:3:4AQ AB =、3AQ x =，易得4AB x =，由勾股定理得BQ ，再由中位线的性质得12
AH BH AB ==，求得CD 、FD ； （2）利用（1）的结论，易得CQ 的长，作OM AQ ⊥于点M ，则//OM AB ，由垂径定理得32
QM AM x ==，由矩形性质得OD MC =，利用矩形面积求得x ，得出结论； （3）点P 在A 点的右侧时，利用（1）、（2）的结论和正方形的性质得243x x +=，得AP ；点P 在A 点的左侧时，当点C 在Q 右侧，当407x <<
时，473x x -=，解得x ，易得AP ；当
4273
x ≤<时，743x x -=，得AP ；当点C 在Q 的左侧时，即23x ≥，同理得AP ．
【详解】
解：（1）∵:3:4AQ AB =，3AQ x =
∴4AB x =
∴在Rt ABQ △中，225BQ AQ AB x =
+= ∵OD m ⊥，m l ⊥ ∴//OD l
∵OB OQ =
∴122AH BH AB x ==
= ∴2CD x =
∴332
FD CD x == （2）∵点P 关于点A 的对称点为Q ∴3AP AQ x ==
∵4PC =
∴64CQ x =+
过点O 作OM AQ ⊥于点M ，如图：
∵90BAQ ∠=︒
∴//OM AB
∵O 是ABQ △的外接圆，90BAQ ∠=︒
∴点O 是BQ 的中点 ∴1322
QM AM AQ x === ∴3964422OD MC CQ QM x x ==-=+-
=+ ∵1522
OE BQ x == ∴9542422DE OD OE x x x =-=
+-=+ ∴()32490DEGF S DF DE x x =⋅=⋅+=矩形 ∴13x =，25x =-（不合题意，舍去）
∴39AP x ==
∴当点P 在点A 右侧时，若矩形DEGF 的面积等于90，AP 的长为：9． （3）若矩形DEGF 是正方形，则DE DF = ①点P 在A 点的右侧时，如图：
∴243x x +=
∴4x =
∴312AP x ==
②点P 在A 点的左侧时 I.当点C 在Q 右侧时
i.当 407
x <<时，如图：
∵47DE x =-，3DF x = ∴473x x -=
∴25
x = ∴635AP x x ==
ii.当4273
x ≤<时，如图：
∵74DE x =-，3DF x = ∴743x x -=
∴1x =（不合题意，舍去） II. 当点C 在Q 的左侧时，即2
3
x ≥
，如图：
∵74DE x =-，3DF x = ∴743x x -= ∴1x = ∴33AP x ==
∴综上所述，当12AP =或6
5
AP =
或3AP =时，矩形DEGF 是正方形． 故答案是：（1）5BQ x =；3FD x =（2）9AP =（3）12AP =或6
5
AP =或3AP = 【点睛】
本题考查了分类讨论思想、矩形的性质、正方形的性质、圆的性质等，综合性强，难度大，正确的画出相应的图形可以更顺利地解决问题．
37．（1）见解析；（2）结论AE ＝EC+CB 不成立，新结论为：CE ＝BC+AE ，见解析；（3）AH 3﹣13+1． 【解析】 【分析】
（1）在AC上截取AG＝BC，连接FA，FG，FB，FC，证明△FAG≌△FBC，根据全等三角形的性质得到FG＝FC，根据等腰三角形的性质得到EG＝EC，即可证明.
（2）在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，证明△FCG≌△FCB，根据全等三角形的性质得到FG＝FB，得到FA＝FG，根据等腰三角形的性质得到AE＝GE，即可证明.
（3）分点P在弦AB上方和点P在弦AB下方两种情况进行讨论.
【详解】
解：（1）如图2，
在AC上截取AG＝BC，连接FA，FG，
FB，FC，
∵点F是AFB的中点，FA＝FB，
在△FAG和△FBC中，
,
FA FB
FAG FBC
AG BC
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△FAG≌△FBC（SAS），
∴FG＝FC，
∵FE⊥AC，
∴EG＝EC，
∴AE＝AG+EG＝BC+CE；
（2）结论AE＝EC+CB不成立，新结论为：CE＝BC+AE，
理由：如图3，
在CA上截取CG＝CB，连接FA，FB，FC，
∵点F是AFB的中点，。