高中数学第一章基本初等函数II12任意角的三角函数122单位圆与三角函数线示范教案新.docx

1.2.2单位圆与三角函数线
示范教案
整体设计
教学分析
从初中的锐角三角函数到高中的任意角的三角函数，是学生在三角函数认知结构上的一次质的飞跃.要使这次认知结构的飞跃在课堂上顺利完成，关键是抓住三角函数的定义，其媒介是从初屮的直角三角形转化为高屮的平面直角坐标系.因此，准确理解任意角的三角函数定义是极其重要的.
在上一节三角函数的定义中，分析教材图110,以0A为半径画单位圆.学生很容易发现比值可转化为坐标轴上的点的坐标來表示.在坐标轴上，把点的坐标与点的位置向量対应起來，即定义三角函数线，这样可更形象地研究三角函数的性质.
利用信息技术，可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆屮的三角函数线之间的联系，并在角的变化过程屮，将这种联系直观地体现出来.所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质.
三角函数的单位圆模型，是研究三角函数最得力的工具.从这一节开始，教材基本上都是利用单位圆來研究三角函数的性质与图象的.
三维目标
1.通过借助单位圆，理解并进一步常握三角函数定义.
2.掌握三角函数线的定义，初步掌握利用单位圆分析和解决三角函数问题.
3.能通过单位圆上点的运动，初步了解各三角函数值的变化情况，为学习后面三角函数性质打下基础.
重点难点
教学重点：三角函数线的定义.
教学难点：正确利用单位圆中轴上向量将任意角a的正眩、余弦、正切函数值表示出来.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.（情境导入）同学们都在一些旅游景地或者在公园中见过大观览车，大家是否想过大观览车在转动过程中，座椅离地面的高度随着转动角度的变化而变化，二者之间冇怎样的相依关系呢？
思路2.（复习导入）由三角函数的定义我们知道，对于角a的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余眩、正切函数的另一种表示方法一一几何表示法.我们知道，直角坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.因此自然产生一个想法是以坐标轴的方向来规定有向线段的方向，以使它们的取值与点的坐标联系起来.
推进新课
新知探究
1冋忆上节课学习的三角函数定义并思考：三角函数的定义能否用几何中的方法来表示，怎样探究这种表示呢？，2怎样理解轴上的向量？
活动:指导学生在教材图110屮，作出单位圆,我们把半径为1的圆叫做单位圆（图1）•设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A（l,0）, A' （—1,0）,而与y
设角a的顶点在圆心0,始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(图1(1)), 过点P作PM垂直x轴于M,作PN垂直y轴于点N,则点\1、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影(简称射影).由三角函数的定义可知，点P的坐标为(cos a , sina),即P (cos a , sin a ),其中cos a =0M, sin a =0N.
v v Y X 于是,根据正弦、余弦函数的定义，就有sina=¥=T=y, cos a =-=^=x.
这就是说，角a的余弦和正弦分别等于角«终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标.
以A为原点建立X轴与y轴同向，y‘轴与a的终边(或其反向延长线)相交于点T(或
T f)(图1(2)),则tana =AT(或 ).
我们把轴上向量就尿和AT(ngAr )分别叫做a的余眩线、正眩线和正切线.
当角a的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，此时，正弦线和正切线都变成了一点，它们的数量为零，而余弦线0M=l或一1.
当角a的终边在y轴上时，正弦线\1P=1或一1,余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在.
讨论结果：(1)略；(2)略.
提出问题
错误！
活动：师生共同讨论，最后一致得出以下几点：
(1)当角a的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.
(2)当角a的终边在x轴上时，正弦线、正切线都变成点.
(3)正弦线、余弦线、正切线都是轴向量，即与单位圆有关的有向线段，所以作某角的三角函数线吋，一定要先作单位圆.
(4)线段有两个端点，在用字母表示正弦线、余弦线、正切线时，要先写起点字母，再写终点字母，不能颠倒；或者说，含原点的线段，以原点为起点，不含原点的线段，以此线段与x轴的公共点为起点.
(5)三种有向线段的正负与坐标轴正反方向一致，三种有向线段的数量与三种三角函数值相同.
正弦线、余弦线、正切线统称为三角函数线.
讨论结果：(1)略；(2)略.
示例应用
例1如图2, a , B的终边分别与单位圆交于点P, Q,过A(l,0)作切线AT,交
射线OP 于点T,交射线0Q 的反向延长线于T'，点P 、Q 在X 轴上的射影分别为点M 、 N,贝ij sin a = , cos a = , tan a = , sin 3 = , cos B = _________ , tan B = ___________ .
活动：根据三角函数线的定义可知，sin a =MP, cos a =0M, tan a =AT, sin 0 =NQ, cos 3 =0N, tan 0 =AT Z .
答案：MP OM AT NQ ON AT'
点评：掌握三角函数线的作法，注意用有向线段表示三角函数线时，字母的书写顺序不 能随意颠倒.
变式训练
利用三角函数线证明Isina | + |cosa |>1.
解：当a 的终边落在坐标轴上时，正弦（或余弦）线变成一个点，而余弦（或正弦）线的长等 于 r,所以 |sin a | + |cosa | =1.
当角a 终边落在四个象限时，利用三角形两边之和大于第三边有Isina | + |cosa | = |0M| + | MP | > 1, | sin a | + | cos a |N1.
2 JI
3 兀
2分别作出〒和一〒的正弦线、余弦线和正切线.
解：在直角坐标系中作单位圆，如图3,以Ox 轴正方向为始边作严的终边与单位圆交
于P 点，作PM 丄Ox 轴，垂足为M,由单位圆与Ox 正方向的交点A 作Ox 轴的垂线与0P 的反
o n
即〒的正眩线为祜，余眩线为丽，正切线为肝.
向延长线交于T 点, 2兀 2兀 2兀
3 71 3 JT
同理可作出一〒的正弦线、余弦线和正切线，如图3中，sin (—〒)=W P‘ , cos(- 3 JT 3 JI 3 JI
二一)=0『,tan(-—)=AT Z ，即一一厂的正弦线为M /_P Z ，余弦线为0谚，正切线为Af 7 .
3在单位圆中画出适合下列条件的角a 的终边或终边所在的范围，并由此写出角□的 集
合：
(1) sin a =*； (2) sin a M*.
活动：引导学生画出单位圆，对于(1)，可设角«的终边与单位圆交于A(x,y),则sina =y ，所以要作出满足sina=*的终边，只要在单位圆上找出纵坐标为#的点A,则0A 即为 角«的终边；对于(2),可先作出满足sina 的角的终边，然后根据已知条件确定角a 的范围.
解：(1)作直线y=扌交单位圆于A 与B 两点，连结OA, 0B,则0A 与0B 为角a 的终边, 如图4所示.
图4
故满足条件的角a 的集合为{ a | ci =2k 兀+*■或a =2k “ +专，keZ}. 6 6
(2)作直线y=*交单位圆于A 与B 两点，连结OA, 0B,则0A 与0B 围成的区域(如图4 中的阴影部分)即为角a 的终边所在的范围.
故满足条件的角a 的集合为{ a |2k 兀+*W a W2k 兀+罟，keZ}.
点评：在解简单的特殊值(如土£，平等)的等式或不等式时，应首先在单位圆内找到对 应的终边(作纵坐标为特殊值的直线与单位圆相交，连结交点与坐标原点作射线)，一般情况 下，用(0,2n )内的角表示它，然后画出满足原等式或不等式的区域，用集合表示出来.
变式训练
、叵
解：作直线y=*交单位圆于点P, P 1 ,则sinZPOx = sinZP z Ox=专，在［0, 2兀）内ZPOx
JI 3 71
=〒 ZP Z Px=—・ 4 4
已知sin a ，求角a 的集合.
n JI 2 JI
・••函数的定义域为{x|2k ar <x<2k 兀 +空■或 2k n +—<x<2k n k WZ}.
(所求x 的终边所在的区域如图5中的阴影部分所示)
JI
兀、， 2兀 4开、，
.•.xG (2k 兀―，2k 兀 +—) U (2k n +—^―, 2k 兀 +~(k^Z), 即x 丘(k 兀——,k 兀+~) (k 丘Z)・
(所求x 的终边所在的区域如图6中的阴影部分所示)
•I 满足条件的集合为{ a |2k 兀+寸W a W2k 兀+节，k^Z}.
4求下列函数的定义域：
(1)y=logsinx(2cosx+1): (2)y=lg(3—4sin 2x).
活动：先引导学生求出x 所满足的条件，这点要提醒学生注意，研究函数必须在自变量 允许的范围内研究，否则无意义.再利用三角函数线画出满足条件的角X 的终边范围.求解 时，可根据各种约朿条件，利用三角函数线画出角X 满足条件的终边范围，写出适合条件的 X 的取值集合.
sinx>0,
解：⑴由题意，得“sinxHl, 2cosx+1>0,
"sinx>0, sin xH 1,
即s COSX>—77, 厂2k n <x< Ji +2k 兀,
JT x^—+2k n ,
(kez). 2k Ji ^<x<2k ，+ 孕
(2) V3_4sin'x>0, sin 2x
课堂小结
本节课我们学习了正眩线、余眩线、正切线的定义，这三种三角函数线都是一些特殊的有向线段，其之所以特殊，一是其与坐标轴平行(或重合)，二是其与单位圆有关，这些线段分别都可以表示相应三角函数的值，所以说它们是三角函数的一种几何表示.
三角函数线是三角函数的儿何表示，它直观地刻画了三角函数的概念，与三角函数的定义结合起来，可以从数和形两方面认识三角函数的定义，并使得对三角函数的定义域、函数值符号的变化规律、公式一等的理解容易了.
作业
1.课本本节练习A组1；练习B组1(2).
2.利用单位圆和三角函数线证明：
若u 为锐角，则(1) sin a +cos ci >1； (2) sin2 a +cos2a =1.
证明：如图7,记角a与单位圆的交点为P,过P作PM丄x轴于M,贝lj sin a =MP, cos a = 0M.
(1)在RtAOMP 中,MP+OM>OP,即sina +cosa >1.
(2)在RtAOMP 中，MP2+OM2=OP2,即sin2a +cos2a =1.
3.求幣数y=〈l-2sin2x的定义域. 答案：kn+令］,kw乙
设计感想
1.对于三角函数线，开始时学生可能不是很理解，教师应该充分发挥好图象的直观作
用，让学生通过图形来感知、了解三角函数线的定义.在学生理解了止弦线、余弦线、正切 线的定义后，教师应引导学生会利用三角函数线来发现、总结、归纳正弦函数、余弦函数、 正切函数的性质.以便为以后更好地学习三角函数的图象和性质打下良好的基础.
2. 教师要把握好深度让学牛对三角函数线了解即可，要让学生利用任意角的三角函数 线来感知对应的三角函数图象的变化趙势，不要再向深处挖掘，因为三角函数线能解决的问 题都可以用三角函数的图象来解决.
3. 教师在教学中要搞好师生互动，让学生自己动脑、动手，多启发学生善于发现问题、 提出问题、解决问题的能力，让学生学会独立思考和归纳总结知识的能力.
备课资料
一、一个三角不等式的证明
已知 9 e (0,—),求证：sin 0 < 9 <tan B .
证明：如图8,设锐角0的终边交单位圆于点P,过单位圆与x 轴正半轴的交点A 作圆 的切线交
OP 于点T,过点P 作PM 丄x 轴于点M,则MP=si n0, AT=tan 0 ,而的长为0,
连结PA.
*•* S AOPA ^S 扇形 OPA ^S AOAT ,
・・・#• |0A| • |MP|<||0A|2- 0<||OA| - |AT|.
A |MP|< 0 <|AT| ,则 MP< 0 <AT,即 sin 0 < 0 <tan 0 . 二、备用习题
1.若才〈()〈亍 则sin (), cos (), tan 0的大小关系是(
)
z JI JI
、 z JI v A.(一亍 B. (0,—)
5 JI n ,5 H C. (—, 2n)
D. (0, —) U (—, 2n) 3. 在(0, 2 )内，使sinx>cosx 成立的x 的取值范围是 _____________ .
4. 如图9,点B 、C 在x 轴的负半轴上，且BC=CO,角a 的顶点重合于坐标原点0, 始边重合于x 轴的正半轴，终边落在第二象限，点A 在角a 的终边上，且有ZBAC = 45° ,
ZCAO=90° ,求 sin a, cos a , tan a .
A. tan 9 <cos 0 <sin 0
B. sin 9 <tan 0 <cos 9
C. cos 0 <tan （）<sin （）
D. cos 0 <sin 0〈tan 0 2. 若 0< a <2 n , 的取值范围是( 则使sin a COS Cl •同时成立的
参考答案：
1. D
2. D
3. (―, ^-)
AC RC 1
4.解:VAB是ZCAO的外角的平分线‘ ••瑞=蛊=寺
在RtAAC0 中，设AC=a,则A0=2a, CO=^/a2+ 2a 2=^5a.
・・・sinZCOA=^=晋.・・・角a的终边与OA重合，而0A落在第二象
限,
1
cos a =
2'。