随机信号课程设计

随机信号课程设计队别：四院二队年级：06级姓名：朱兆渊学号：200604014006随机信号分析与处理课程总结（第七、第八章） 一、综述：第七、第八章主要讲述了随机信号的检测理论和估计理论，是现在许多信号处理系统设计的基础。

所有这些系统都有共同的问题，其一是需要在接收的数据或波形中判断是否有需要的信号，称为信号检测问题；其二是在检测到信号后需要估计信号的某些参数，称为信号参数的估计问题。

根据随机信号先检测再估计的的过程，本人先总结第八章再总结第七章。

二、检测理论：首先对于二元假设检验问题，在进行判决时可能发生下列四种情况：⑴H 为真，判H 成立；⑵H 为真，判H 成立；⑶H 为真，判H 成立；⑷H 为真，判H 成立。

第⑴、⑵种情况属于正确判决，第⑶种判决是一种错误判决，称为第一类错误，雷达的术语称为虚警，虚警概率为dzP F P D |H f z|HZ第⑷种判决也是一种错误判决，称为第二类错误，雷达的术语称为漏警，漏警概率为dzP M P D |H f z|HZ在上面两式中，D 和D 分别表示判H 成立和判H 成立。

总的错误概率为P F P D |H P D |H P F P H P M P H第二种判决按雷达的术语称为检测，检测概率为dzP D P D |H f z|HZ检测概率与漏警概率之间存在如下关系： P D P M 1㈠判决准则：判决准则 1、贝叶斯准则2、极大极小准则3、纽曼—皮尔逊 Neyman Pearson 准则1) 贝叶斯准则在已知信号的先验概率和代价因子条件下，使统计平均代价最小。

对于二元假设检验，有四种判决情况，其中两种错误判决，两种正确判决，做出错误的判决是要付出代价的，同样正确的判决也要付出代价，只不过正确判决的代价一般要小于错误判决的代价。

为了描述每种判决情况的代价，引入代价因子C ，表示H 为真判H 成立所付出的代价。

统计平均代价: 代价因子C 表示H 为真，判决为Hi 所付出的代价。

通常C 及C 取0，在通信系统中，通常取C =C ,在雷达系统中则赋予不同的代价。

贝叶斯准则使上式最小。

统计平均代价可以写为: 上式最小等效于下式最小:此为贝叶斯准则另一表达式. 使C”最小就是使式中积分项最大。

选择判决域Z ,使得它包括所有可以使被积函()()00100111c D C C PC q C C P p αβ=+++()()001110000111C C q C p C C q C C p αβ=++−+−()()10000111C C C q C C p αβ′=−+−()()10000111C C q C C C p αβ−′′=+−()()()()10110000101111000100111(|)(|)1(|)(|)Z Z Z C C q C p z H dz p z H dz C C p C C q p z H p z H dz C C p −′′=+−⎡⎤−=−−⎢⎥−⎣⎦∫∫∫数取正的z 值,而不包括任何可以使被积函数为负的z 值。

即Z 满足: 利用似然比： 和门限： 贝叶斯判决准则写为：最小总错误概率准则，就是在已知信号的先验概率p 和q 的条件下，使平均总错误概率P 最小： 常应用在数字通信中。

相当于贝叶斯准则中C ＝C =0, C =C =1。

判决规则为：多次测量问题：观测值 似然比 判决公式()()1000100111(|)(|)0C C q p z H p z H C C p −−≥−10(|)()(|)p z H z p z H Λ=100000111()()C C q C C p η−=−100()H z H η>Λ<00(()|)c P p z H d η−∞=ΛΛ∫01(()|)D P p z H d η∞=ΛΛ∫00(()|)F p z H d P ηα∞=ΛΛ=∫01(()|)M p z H d P ηβ−∞=ΛΛ=∫e Pp q βα=+=最小100()H q z p H η>Λ=<12[,,,]N z z z =z 1110(,|)()(,|)N N P z z H P z z H Λ=z 10()H H η>Λ<z极大极小准则在已知代价因子，而不知先验概率时，可以采用极大极小准则：使最大可能代价极小化。

将q=1-p ，P =1-α及P D =1- β代入平均代价：可得：为了求出极大极小准则应满足的条件，即求出p1*及相应的门限值η0，令：，称为极大极小方程。

求出p *及η ，即可给出判决准则。

当C ＝C =0,C =C =1。

时，上式为：**11()()p p β=α2) 纽曼—皮尔逊准则在许多情况下，给出信号的先验概率或代价因子是困难的，如雷达系统。

此时可采样纽曼-皮尔逊准则：指定一个虚警概率α的容许值，在约束α不变的条件下使检测概率P D 达到最大。

即：利用拉格朗日乘子构造函数:划分判决域使J 最小：划分的结果是使J 最小的分界面满足: ()()00100111c D C C P C q C C P p αβ=+++[]0010110001110100(1)()()()C C C p C C C C C C ααβα=−++−+−−−*1()0p p C p p =∂=∂**11000111110001()()()()()0C C C C p C C p βα−+−−−=D P α=⎧⎨=⎩常数最大αβ=⎧⎨=⎩常数最小()M F J P P λα=+−011010(|)[(|)](1)[(|)(|)]Z Z Z J f z H dz f z H dz f z H f z H dz =+λ−α=λ−α+−λ∫∫∫1100(|)()(|)H f H f H H λ>Λ=<z z z选取λ满足α=常数的约束条件，即:100(|)[()|]Z f H d f H d λα∞==ΛΛ∫∫z z z㈡接收机工作特性工作特性曲线性质一： i 当α＝0，有η＝∞，P D ＝0； ii 当α＝1，有η＝－∞，P D ＝1； iii 所有似然比检验的接收机工作特性都是上凸的； iv 所有似然比检验的接收机工作特性均位于对角线之上； v 接收机工作特性在某点处斜率等于该点上P D 和P F 所要求的检测门限值； vi 检测系统的接收机工作特性是似然比检验性能的完整描述。

工作特性曲线性质二： i 在贝叶斯准则、最小平均错误概率准则下，先根据先验知识求出似然比检测门限η，以η为斜率的直线与信噪比为d 的曲线相切，如图中a 点，该切点所对应的P D 和P F 就是该信噪比下的两种判决概率；ii 在极大极小准则下，极大极小方程是P D ～P F 平面上的一条直线，当信噪比为d 时，该直线与d 的工作特性曲线相交于点b ，则b 点所对应的P D 和P F 就是该信噪比下极大极小准则的两种判决概率 ；iii 对纽曼－皮尔逊准则，给定约束条件P F ＝α，则其解为P F ＝α的直线与信噪比d 的工作特性曲线的交点c ，该点对应的P D 就是该约束及信噪比下的检测概率。

给定虚警概率，检测概率与信噪比之间的关系曲线称为检测器的检测性能曲线 。

㈢复合假设检验在假设检验问题中,对于已知信号的假设称为简单假设；对于含有未知参量信号的假设称为复合假设; 对于未知参量信号的检测是复合假设检验。

（贝叶斯方法，一致最大势检验）信号一般可表示为:为信号s(t)附带的随机参量或未知的非随机量. 以二元信号检测问题为例.假定已知概率密度 , ,若信号s 及s 的先验概率q 、p 及代价因子均已知，且代价因子与 无关。

可得贝叶斯判决规则为:其中: 复合假设检验变换为简单的假设检验. 若P D 与θ无关，则检验称为一致最大势检验（UMP ）。

若一致最大势检验不存在，可以采用下列方法： 广义似然比检验：对未知参数采用最大似然估计，并将此估计当作真值来进行似然比检验。

θ的最大似然估计：就是使似然函数f(z|θ)最大的θ。

对于复合假设情形，广义似然比判决规则为：12()(;,,,)(;)M s t s t s t θθθ==θ12,,,M θθθ0011:()(;)():()(;)()H z t s t n t H z t s t n t =+=+φθ()f φ()f θ,φθ1100001110()()()HC C q C C p H >−Λ<−z 1{}100{}(|,)()(|)()(|)(|,)()f H f d f H f H f H f d Λ==∫∫θφz θθθz z z z φφφ()()11000ˆ|,()ˆ|,H f H f H H η>Λ=<z θz z θ㈣恒虚警检测虚警率是雷达检测系统重要的性能指标. 检测系统的虚警率: 其中λ为检测门限，z 为检验统计量。

在门限不变的情况下，检测系统干扰的变化将导致条件概率密度函数变化.以瑞利分布为例 若:虚警率:若门限不变,而σ2增加2dB 时,由图可见，若原来虚警率为10-6,则由于σ2增加2dB ，虚警率约为10-4.采用新的检验统计量： 令y=z/σ，则检验统计量y 的概率密度为: 根据规定的α值，由下式确定门限: 此方案的实施关键在于σ对于瑞利分布，有:恒虚警检测特点:①噪声的概率密度函数的类型是已知的,变化的仅仅是其参量; ②恒虚警检测的关键是寻找对于参量变化不敏感的检验统计量; ③恒虚警检测系统对于检测的检测概率没有预先的制约,因此,实施结果必然带来某种影响。

杂波的恒虚警检测：0(|)a f z H dz λ∞=∫2220exp 0(|)200z z z f z H z σσ⎧⎛⎞−≥⎪⎜⎟=⎨⎝⎠⎪<⎩22222exp exp 22z z a dz λλσσσ∞⎛⎞⎛⎞−=−=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫2()exp ,02y f y y y ⎛⎞−=≥⎜⎟⎝⎠2exp 2y a y dy λ∞⎛⎞−=⎜⎟⎝⎠∫[]E z =方法：①单元平均恒虚警检测－杂波呈指数分布;②对数恒虚警检测－杂波呈瑞利分布;③对数正态杂波的恒虚警检测－杂波呈对数正态分布。

三、估计理论估计问题通常是以下三种情况：⑴根据观测样本直接对观测样本的各类统计特性作出估计；⑵根据观测样本，对观测样本中的信号中的未知的待定参量作出估计，称为信号的参量估计问题，又分为点估计和区间估计；⑶根据观测样本对随时间变化的信号作出波形估计，又称为过程估计。

构造一个估计问题的基本要素：1）参数空间：这是被估计量的取值空间，对于单参数，参数空间是一维空间，对于多参数，参数空间是一个多维空间，这时对应的是多参量的同时估计。

2）概率传递机制：由于噪声的存在使得观测数据出现随机性，f z| （当 为随机变量时为条件概率密度f z| ）反映了这种概率传递作用，也就是说，观测数据的产生是受到概率密度的控制。