高考数学一轮规范练《空间向量的应用Ⅰ证明平行与垂直》(人教版)

课时规范练44空间向量的应用(Ⅰ)——证明平行与
垂直
课时规范练第70页
一、选择题
1.已知平面α内有一点M(1,-1,2),平面α的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列给出的点P中,在平面α内的是()
A.P(2,3,3)
B.P(-2,0,1)
C.P(-4,4,0)
D.P(3,-3,4)
答案:A
2.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).若|a|=,且a分别与垂直,则向量a为()
A.(1,1,1)
B.(-1,-1,-1)
C.(1,1,1)或(-1,-1,-1)
D.(1,-1,1)或(-1,1,-1)
答案:C
3.若直线l的一个方向向量为a=(2,5,7),平面α的一个法向量为u=(1,1,-1),则()
A.l∥α或l⊂α
B.l⊥α
C.l⊂α
D.l与α斜交
答案:A
4.已知l,m是不同的两条直线,α,β是不重合的两个平面,则下列命题中为真命题的是()
A.若l⊥α,α⊥β,则l∥β
B.若l∥α,α⊥β,则l∥β
C.若l⊥m,α∥β,m⊂β,则l⊥α
D.若l⊥α,α∥β,m⊂β,则l⊥m
答案:D
解析:∵l⊥α,α∥β,∴l⊥β.又∵m⊂β,∴l⊥m.
5.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点.则AM 与PM的位置关系为()
A.平行
B.异面
C.垂直
D.以上都不对
答案:C
解析:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,
依题意,可得D(0,0,0),P(0,1,),C(0,2,0),A(2,0,0),M(,2,0).
∴=(,2,0)-(0,1,)=(,1,-),=(,2,0)-(2,0,0)=(-,2,0),∴·=(,1,-)·(-,2,0)=0,即,∴AM⊥PM.
6.如图,正三角形P AD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直,O为正方形ABCD的中心,M 为正方形ABCD内一点,且满足MP=MB,则点M的轨迹为()
答案:B
解析:利用平面的基本性质求解.由MP=MB得点P在线段PB的垂直平分面上,又点M在平面ABCD上,所以点M在两个平面的交线上,而两个平面的交线是一条直线.又OB≠OP,所以交线不经过O点,故选B.
7.已知矩形ABCD,AB=1,BC=,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中()
A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直
B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直
C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直
D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直
答案:B
解析:找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量.
对于选项A,过点A作AE⊥BD,垂足为E,过点C作CF⊥BD,垂足为F,
在图(1)中,由边AB,BC不相等可知点E,F不重合.
在图(2)中,连接CE,若直线AC与直线BD垂直,
∵AC∩AE=A,∴BD⊥面ACE,∴BD⊥CE,与点E,F不重合相矛盾,故A错误.
对于选项B,若AB⊥CD,∵AB⊥AD,AD∩CD=D,
∴AB⊥面ADC,∴AB⊥AC,由AB<BC可知存在这样的等腰直角三角形,使得直线AB与直线CD垂直,故B正确.
对于选项C,若AD⊥BC,∵DC⊥BC,AD∩DC=D,
∴BC⊥面ADC,∴BC⊥AC.已知BC=,AB=1,BC>AB,
∴不存在这样的直角三角形.∴C错误.综上可知D错误,故选B.
二、填空题
8.设l1的方向向量为a=(1,2,-2),l2的方向向量为b=(-2,3,m),若l1⊥l2,则m=.
答案:2
9.设点C(2a+1,a+1,2)在点P(2,0,0),A(1,-3,2),B(8,-1,4)确定的平面上,则a=.
答案:16
10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点, A1M=AN=,则MN 与平面BB1C1C的位置关系是.
答案:平行
三、解答题
11.如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D为AB的中点,AC=BC=BB1.求证:
(1)BC1⊥AB1;
(2) BC1∥平面CA1D.
解:如图,以C1点为原点,C1A1,C1B1,C1C所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设AC=BC=BB1=2,则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).
(1)由于=(0,-2,-2),=(-2,2,-2),
所以·=0-4+4=0,
因为,故BC1⊥AB1.
(2)连接A1C,取A1C的中点E,连接DE,由于E(1,0,1),
所以=(0,1,1),又=(0,-2,-2),
所以=-,
又ED和BC1不共线,所以ED∥BC1,
又DE⊂平面CA1D,BC1⊄平面CA1D,
故BC1∥平面CA1D.
12.如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,P A⊥底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,P A=AB=1,BC=2.求证:
(1)EF∥平面P AB;
(2)平面P AD⊥平面PDC.
解:(1)以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),
∴E,F,
=(1,0,-1),=(0,2,-1),=(0,0,1),=(0,2,0),=(1,0,0),=(1,0,0).
∵=-,∴,即EF∥AB.
又AB⊂平面P AB,EF⊄平面P AB,∴EF∥平面P AB.
(2)∵·=(0,0,1)·(1,0,0)=0,·=(0,2,0)·(1,0,0)=0,∴,即AP⊥DC,AD⊥DC.又AP∩AD=A,∴DC⊥平面P AD.
∵DC⊂平面PDC,∴平面P AD⊥平面PDC.。