安徽高二高中数学同步测试带答案解析

安徽高二高中数学同步测试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.数列的一个通项公式是（）
A．B．
C．D．
2.数列的通项公式, 则该数列的前（）项之和等于
A．B．
C．D．
3.在数列中，已知对任意，则（）A．B．
C．D．
4.已知公差不为的等差数列满足成等比数列，为的前项和，则的值为（）A．B．
C．D．不存在
5.设等比数列的前项和为，若，则（）
A．B．
C．D．
6.已知差数列等的公差，若，则该数列的前项和的最大值为（）A．50B．45
C．40D．35
7.数列满足，且对任意的都有，则（）A．B．C．D．
8.已知数列满足在直线上，如果函数
，则函数的最小值为（）
A．B．
C．D．
9.在数列中，若，且对所有满足，则（）
A．B．
C．D．
10.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第天起，每天比前一天多织相同量的布，若第天织尺布，现在一月（按天计）共织尺布，则每天比前一天多织尺布.(不作近似计算）（）
A．B．
C．D．
11.定义为个正数的“均倒数”，若已知正整数数列的前项的“均倒数”为，又，则（）
A．B．
C．D．
12.已知数列的通项公式，其前项和为，将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前项，记前项和为，若存在，使对任意，总有恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、填空题
1.已知数列的前项和，则数列的通项公式为__________．
2.数列的通项公式，其前项和，则 __________.
3.数列满足，若，则的值为_________.
4.已知数列满足下面说法正确的是
①当时，数列为递减数列;
②当时，数列不一定有最大项;
③当时，数列为递减数列；
④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.
其中正确的是（把你认为正确的命题序号都填上）_________.
三、解答题
1.设是数列的前项和，.
（1）求的通项;
（2）设,求数列的前项和.
2.已知差数列等的前项和，且对于任意的正整数满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设, 求数列的前项和.
3.已知数列的首项.
（1）证明: 数列是等比数列；
（2）数列的前项和.
4.已知,对任意实数满足:.
（1）当时求的表达式；
（2）若, 求；
（3）记, 试证.
5.已知数列中，, 且.
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）令, 数列的前项和为, 试比较与的大小；
（3）令, 数列的前项和为, 求证: 对任意, 都有.
安徽高二高中数学同步测试答案及解析
一、选择题
1.数列的一个通项公式是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】当时，排除C，D选项.当时，排除A选项，故选B.
【考点】归纳推理．
【易错点晴】归纳推理与类比推理之区别：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质．在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质．
2.数列的通项公式, 则该数列的前（）项之和等于
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，故，令，解得.
【考点】裂项求和法.
3.在数列中，已知对任意，则（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由于，所以，两式相减得，所以是以为首项，公比为的等比数列，其前项和为.
【考点】等比数列.
4.已知公差不为的等差数列满足成等比数列，为的前项和，则的值为（）A．B．
C．D．不存在
【答案】A
【解析】成等比数列，所以，，化简得，
.
【考点】等差数列.
5.设等比数列的前项和为，若，则（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，.
【考点】等比数列.
6.已知差数列等的公差，若，则该数列的前项和的最大值为（）
A．50B．45
C．40D．35
【答案】B
【解析】，又，，所以，所以，所以
，故前或项的和最大，.
【考点】等差数列.
7.数列满足，且对任意的都有，则（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】令，则，所以
所以，.
【考点】递推数列求通项.
8.已知数列满足在直线上，如果函数
，则函数的最小值为（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】将的坐标代入直线方程，有，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，故
，，
，所以单调递增，故最小值为.
【考点】数列与函数结合求最值.
9.在数列中，若，且对所有满足，则（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】依题意，；；；，所以.
【考点】递推数列求通项.
10.《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第天起，每天比前一天多织相同量的布，若第天织尺布，现在一月（按天计）共
织尺布，则每天比前一天多织尺布.(不作近似计算）（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设没特点增加尺，由题意，解得.
【考点】等差数列，数学文化.
11.定义为个正数的“均倒数”，若已知正整数数列的前项的“均倒数”为，又，则（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】依题意，，这是等差数列的前项和.时，，时，，时上式也满足，故，，，所以
.
【考点】新定义数列，裂项求和.
【思路点晴】本题考查新定义数列的理解，考查裂项求和法，考查已知求.第一步是理解题目新定义的式子，
只需要按定义将满足的式子表示出来.第二步就是由求的过程：通项与前项和的关系是
，注意：当时，若适合，则的情况可并入时的通项；当时，若不适合，则用分段函数的形式表示.
12.已知数列的通项公式，其前项和为，将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前项，记前项和为，若存在，使对任意，总有恒成立，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依题意，根据二次函数的性质，时，取得最大值为.前项为
，抽掉第二项可组成等比数列.所以，，所以
.依题意，所以.
【考点】等差数列，等比数列综合.
【思路点晴】本题考查数列的通项公式及前项和，形如的数列，是等差数列，求出首项和公差，可以求得其前项和的表达式，等差数列前项和是一个二次函数，所以在对称轴或者靠近对称轴的地方取得最值，是最大值还是最小值，要看和的符号.将前项写出来，就知道的前项，由此求得的通项公式和
前项和公式.
二、填空题
1.已知数列的前项和，则数列的通项公式为__________．
【答案】
【解析】当时，，当时，，所以.
【考点】已知求.
【思路点晴】已知求是一种非常常见的题型，这些题都是由与前项和的关系来求数列的通项公
式，可由数列的通项与前项和的关系是，注意：当时，若适合，
则的情况可并入时的通项；当时，若不适合，则用分段函数的形式表示.
2.数列的通项公式，其前项和，则 __________.
【答案】
【解析】，所以，
所以.
【考点】裂项求和法.
3.数列满足，若，则的值为_________.
【答案】
【解析】因为数列满足，，所以，所以是以为周期的
周期数列，所以.
【考点】递推数列求通项.
【思路点晴】由已知条件利用递推公式求出数列的前项，得到是以为周期的周期数列，从而求得.本题考查数列递推数列求通项的方法，由于题目求第项的数值，所以想到可能有周期性，所以
利用列举法，将数列的前几项列举出来，找到数列的内在规律和周期，由周期来求后面下标较大的项.
4.已知数列满足下面说法正确的是
①当时，数列为递减数列;
②当时，数列不一定有最大项;
③当时，数列为递减数列；
④当为正整数时，数列必有两项相等的最大项.
其中正确的是（把你认为正确的命题序号都填上）_________.
【答案】③④
【解析】当时，，不是递减数列；当时，，取，则第七项与第八项相等且为最大项.当时，，所以为递减数列.当为正整数时，，当时，，当时，令，解得，则，数列必有两项相等的最大项.
【考点】数列的单调性与最值.
三、解答题
1.设是数列的前项和，.
（1）求的通项;
（2）设,求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）将转化为，化简后利用配凑法得到是以为公差的等差数列，其首项为，求得，再利用，求得通项公式；（2）根据（1）化简，利用裂
项求和法求得.
试题解析：
（1）时，，展开化简整理得，
数列是以为公差的等差数列，其首项为，
.由已知条件，可得.
（2）由于, 数列的前项和
.
【考点】数列、数列求和.
2.已知差数列等的前项和，且对于任意的正整数满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设, 求数列的前项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）当时，，时，利用求得通项公式为；（2）根据（1）化简，利用裂项求和法求得.
试题解析：
（1）对于任意的正整数①恒成立，当时，，即,当时，有② ,得，即,
,
数列是首项为公差为的等差数列..
（2）
.
【考点】递推数列求通项，裂项求和法.
3.已知数列的首项.
（1）证明: 数列是等比数列；
（2）数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）对两边取倒数得，化简得，所以数列是等比数列；（2）由（1）是等比数列.，求得，利用错位相减法和分组求和法求得前项和.
试题解析：
（1），又
，数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）知，，即，设，①
则，②由①-②得
，.
又.数列的前项和.
【考点】配凑法求通项，错位相减法.
4.已知,对任意实数满足:.
（1）当时求的表达式；
（2）若, 求；
（3）记, 试证.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】（1）令求得，且为等差数列，所以；（2）利用（1）的结论，化简已知得，利用累加法求得；（3）化简，利用放缩法，有，利用裂项求和法即可证明原不等式.
试题解析：
（1）令,得,故
,当时，
.
（2）由得,故
.
（3）由（2）知，
.
【考点】抽象函数，数列，裂项求和法，放缩法.
【方法点晴】第一问结合了函数的观点来解数列问题，要求数列的通项公式，可以先证明数列是等差还是等比数列，即利用可知数列是一个等差数列，可求得其通项公式；第二问利用第一问的结论，首先
化简题目所给等式，得到，利用累加法就可以求得的表达式；第三问证明不等式，用的是放缩法.
5.已知数列中，, 且.
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）令, 数列的前项和为, 试比较与的大小；
（3）令, 数列的前项和为, 求证: 对任意, 都有.
【答案】（1）；（2）当时,，当时,；（3）证明见
解析.
【解析】（1）令，求得，同理令，求得.对两边除以，得到，利用累加法求得，所以；（2）化简，则
，.记函数，利用可得当
时,；当时,；（3）化简，故，利用放缩法
，利用裂项求和法证得.
试题解析：
（1）当时，, 当时，,因为
,所以,当时，由累加法得, 因为,所以时，有，即，又时，，故.
（2）时,,则.
记函数，所以,
则,所以.由于
,此时，,此时,
,此时,由于,故时，，此时.综上所述，当时,;当时,.
（3）证明: 对于,有,
当时,.所以当时,
.且.故对得证.
【考点】递推数列求通项，错位相减法，放缩法.
【方法点晴】首先求出，两边除以，利用累加法可以求出数列，累加法适用于形式的递推数列求通项，若则利用累乘法来求数列通项公式.写出的表达式后，利用差比较法求得何
时大于零，何时小于零.第三问要证明不等式，考虑将已知进行放缩，利用放缩法化简已知，再用列项求和法来证明.。