最新-优化设计2021学年高中数学北师大版选修11课件：2

双曲线的简单性质
【例1】 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、
虚轴长、离心率和渐近线方程.
2
解双曲线的方程化为标准形式是
9
2
− =1,
4
∴a2 =9,b2 =4, ∴a=3,b=2,c= 13.
又双曲线的焦点在 x 轴上,
∴顶点坐标为(-3,0),(3,0),
焦点坐标为(- 13,0),( 13,0),
双曲线的标准方程的求法和椭圆方程的求法类似,一般都采用待
定系数法,其步骤可以总结为:
设方程→列方程→求参数→得方程
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
2.巧设双曲线方程的六种常用方法
(1)焦点在 x
2
轴上的双曲线的标准方程可设为2
−
(2)焦点在 y
2
轴上的双曲线的标准方程可设为 2

−
2
(3)与双曲线 2

2
2
+
−
2

2 =1
2
2 =1(a>0,b>0).

2

2 =1(a>0,b>0).
2
共焦点的方程可设为 2 −
-
=1(λ≠0,-b2 <λ<a2 ).
2
(4)与双曲线 2

−
2
Hale Waihona Puke 22 =1 具有相同渐近线的方程可设为 2

−
2

2 =λ(λ≠0).
(5)渐近线为y=kx的双曲线方程可设为k2x2-y2=λ(λ≠0).
25
2
−
=1.
144
1
(2)由双曲线的渐近线方程为 y=±2x,可设双曲线方程为
2
2
-y
=λ(λ≠0),
2
2
因为 A(2,-3)在双曲线上,
22
所以 2 -(-3)2 =λ,即 λ=-8.
2
2
所以所求双曲线的标准方程为 8
−
2
=1.
32
13
,
5
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟1.双曲线的标准方程的求法
实轴长 2a=6,虚轴长 2b=4,


离心率 e= =
13
,渐近线方程为
3
2
3
y=± x.
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
反思感悟已知双曲线方程求其几何性质的步骤
1.若不是标准方程的先化成标准方程;
2.确定方程中a,b的对应值,利用c2=a2+b2得到c;
3.确定双曲线的焦点位置,从而写出双曲线的几何性质.
2
C.y=± 2 x
2
(3)双曲线 4
D.4 2
2 =1(a>0,b>0)的虚轴长为
曲线的渐近线方程为(
)
2,焦距为 2 3,则双
)
B.y=±2x
1
D.y=±2x
−
2
=1
12
的焦点到渐近线的距离为
.
2
解析:(1)双曲线的标准方程为 4
−
2
=1,
8
∴a2 =4, ∴2a=4.
(2)由已知,得 b=1,c= 3,a= 2 - 2 = 2.
1
2
(2)渐近线方程为 y=± x,且经过点 A(2,-3).
分析分析双曲线的几何性质→求a,b,c→确定(讨论)焦点位置→
求双曲线的标准方程
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析

解(1)依题意可知,双曲线的焦点在 y 轴上,且 c=13,又 =
所以 a=5,b= 2 -2 =12,
2
故其标准方程为
F 1 (-c,0),F 2 (c,0)
焦距
|F 1 F 2 |=2c
范围
x≤-a 或 x≥a
对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
F 1 (0,-c),F 2 (0,c)
y≤-a 或 y≥a
标准方程
顶点
轴
离心率
渐近线
x2
a2
−
y2
b2
=1(a>0,b>0)
A 1 (-a,0),A 2(a,0)
y2
(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小,离心率越
大,双曲线的开口越大,反之亦然;
(3)实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,它的渐近线是y=±x,
离心率为e= 2 .
【做一做】 (1)双曲线 2x2 -y2 =8 的实轴长是(
B.2 2
A.2
2
(2)设双曲线2
−
C.4
2

A.y=± 2x
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练1求双曲线x2-3y2+12=0的实轴长、虚轴长、焦点坐标、
顶点坐标、渐近线方程、离心率.
解将方程 x -3y +12=0
2
2
2
化为标准方程
4
−
2
=1, ∴a2 =4,b2 =12,
12
∴a=2,b=2 3,
∴c= 2 + 2 = 16=4.
∴双曲线的实轴长 2a=4,虚轴长 2b=4 3,焦点坐标为
3
F 1 (0,-4),F 2(0,4),顶点坐标为 A 1 (0,-2),A2 (0,2),渐近线方程为 y=± 3 x,
离心率 e=2.
探究一
探究二
探究二
探究三
探究四
思维辨析
根据双曲线的几何性质求标准方程
【例 2】 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
13
(1)一个焦点为(0,13),且离心率为 5 ;
(6)渐近线为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
变式训练 2 求适合下列条件的双曲线的标准方程.
3
(1)顶点间距离为 6,渐近线方程为 y=±2x.
3.2
双曲线的简单性质
学 习 目 标
1.掌握双曲线的范围、对称性、顶点、
渐近线及离心率等简单几何性质.
2.感受双曲线在刻画现实世界和解决
实际问题中的作用,体会数形结合思想.
思 维 脉 络
双曲线的简单性质
标准方程
x2
a2
−
y2
b2
=1(a>0,b>0)
y2
a2
−
x2
b2
=1(a>0,b>0)
图像
焦点
∵双曲线的焦点在 x 轴上,

2
∴渐近线方程为 y=±x=± 2 x.
2
(3)∵双曲线
4
−
2
=1
12
的一个焦点为 F(4,0),其中一条渐近线方
程为 y= 3x,
4 3
=2
2
∴点 F 到 3x-y=0 的距离为
答案:(1)C (2)C (3)2 3
3.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的
打“×”.
2
(1)双曲线 2
2
− 4 =1
的焦点在 y 轴上.
(2)双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔.(
(3)以y=±2x为渐近线的双曲线有2条.(
)
(4)椭圆与双曲线的离心率都是e,其范围一样.(
答案:(1)× (2)√ (3)× (4)×
(
)
)
)
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探究三
探究一
探究四
思维辨析
a2
−
x2
b2
=1(a>0,b>0)
A 1 (0,-a),A 2(0,a)
实轴:线段 A 1 A 2 ,长:2a;虚轴:线段 B 1 B 2 ,长:2b;半实轴
长:a,半虚轴长:b
c
e= ∈(1,+∞)
a
b
y=±a x
a
y=±b x
名师点拨对双曲线的简单几何性质的几点认识
(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置;