南京市初三中考数学第一次模拟试题【含答案】

南京市初三中考数学第一次模拟试题【含答案】
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．
上） 1．下列计算结果是x 5的为
A ．x 2•x 3
B ．x 6－x
C ．x 10÷x 2
D ．(x 3)2 2．如图，一个有盖．．的圆柱形玻璃杯中装有半杯水，若任意放置这个水杯，则水面的 形状不可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
3．2581256的值等于
A ．15116
B ．±15116
C ．16116
D ．±16116 4．点P （m ，n ）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则坐标（m ＋1，n －1）对应的点可能是
A ．A
B ．B
C ．C
D ．D
5．完全相同的4个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为m ，n 的大长方形，则图中阴影部分的周长是
A ．4m
B ．4n
C ．2m ＋n
D ．m ＋2n
6．如图，□OABC 的周长为14，∠AOC ＝60°，以O 为原点，OC 所在直线为x 轴建立直角
坐标系，函数y ＝k x （x ＞0）的图像经过□OABC 的顶点A 和BC 的中点M ，则k 的值为 A ．2 3 B ．4 3 C ．6
D
．
12
（第2题）
A B C D P O y x （第4题）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接
填写在答题卡相应位置．．．．．．．
上） 7．已知某种纸一张的厚度为0.008 7 cm ．用科学记数法表示0.0087是 ▲ ．
8．分解因式2x 2－4xy ＋2y 2的结果是 ▲ ．
9．若式子1－2x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ▲ ．
10．计算(6－18)×1
3＋2 6 的结果是 ▲ ．
11．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－2x －4＝0的两个实数根，则x 1＋x 2－x 1x 2＝ ▲ ．
12．如图，点I 为△ABC 的重心，过点I 作PQ ∥BC 交AB 于点P ，交AC 于点Q ．若AB ＝6，AC ＝4，BC ＝5，则PQ 的长为 ▲ ．
13．已知甲、乙两组数据的折线图如图所示，则甲的方差 ▲ 乙的方差（填“＞”、“＝”或“＜”）．
14．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，⊙O 的半径为2， ⌒AC
的长为π，则∠ADC 的大小是 ▲ °．
15．如图，将边长为8正方形纸片ABCD 沿着EF 折叠，使点C 落在AB 边的中点M 处，点D
落在点D '处，MD '与AD 交于点G ，则△AMG 的内切圆半径的长为 ▲ ．
16．若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋12＋3＞－1x ＜m 的所有整数解的和是－7，则m 的取值范围是 ▲ ．
（第14题） （第15题）
D D 序号 （第13题）
（第12题）
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．
内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）先化简，再求值：(1x 2－4＋1x ＋2)÷x －1x －2
，其中－2≤x ≤2，且x 为整数，请你选一个合适的x 值代入求值．
18．（7分）解方程
23x －1－1＝36x －2
．
19．（8分）如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，E 是CD 边上一点，作等边△BEF ，连接
AF ．
（1）求证：CE ＝AF ；
（2）EF 与AD 交于点P ，∠DPE ＝48°，求∠CBE 的度数．
20．（8分）某品牌电脑销售公司有营销员14人，销售部为制定营销人员月销售电脑定额，统计了这14人某月的销售量如下（单位：台）：
（1）该公司营销员销售该品牌电脑的月销售平均数是 ▲ 台，中位数是 ▲ 台，
众数是 ▲ 台．
（2）销售部经理把每位营销员月销售量定为90台，你认为是否合理？说明理由．
B C D A E F P （第19题）
21．（8分）甲、乙、丙、丁四名同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选两位同学打第一
场比赛．
（1）若由甲挑一名选手打第一场比赛，选中乙的概率是 ▲ ；
（2）任选两名同学打第一场，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
22．（7分）如图，已知M 为△ABC 的边BC 上一点，请用圆规和直尺作出一条直线l ，使直
线l 过点M ，且B 关于l 的对称点在∠A 的角平分线上（不写作法，保留作图痕迹）．
23．（8分）某校学生步行到郊外春游．一班的学生组成前队，速度为4 km/h ，二班的学
生组成后队，速度为6 km/h ．前队出发1 h 后，后队才出发，同时，后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回进行联络，他骑车的速度为a km/h ．若不计队伍的长度，如图，折线A ﹣B ﹣C 、A ﹣D ﹣E 分别表示后队、联络员在行进过程中，离前队的路程y (km)与后队行进时间x (h)之间的部分函数图像．
（1）联络员骑车的速度a ＝ ▲ ；
（2）求线段AD 对应的函数表达式；
（3）求联络员折返后第一次与后队相遇时的时间？
（第22题）
y （第23题）
24．（8分）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BAD ＝90°，点E 在BC 的延长线上，且
∠DEC ＝∠BAC ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若AC ∥DE ，当AB ＝12，CE ＝3时，求AC 的长．
25．（8分）如图，A 、B 、C 三个城市位置如图所示，A 城在B 城正南方向180 km 处，C 城
在B 城南偏东37°方向．已知一列货车从A 城出发匀速驶往B 城，同时一辆客车从B 城出发匀速驶往C 城，出发1小时后，货车到达P 地，客车到达M 地，此时测得∠BPM ＝26°，两车又继续行驶1小时，货车到达Q 地，客车到达N 地，此时测得∠BNQ ＝45°，
求两车的速度．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34，sin26°≈25，cos26°≈910，
tan26°≈12）
（第25题）
A
（第24题）
26．（8分）已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图像上，当x 1＝1、x 2＝3时，y 1＝y 2．
（1）若P （a ，b 1），Q （3，b 2）是函数图象上的两点，b 1＞b 2，则实数a 的取值范围是
（ ▲ ）
A ．a ＜1
B ．a ＞3
C ．a ＜1或a ＞3
D ．1＜a ＜3
（2）若抛物线与x 轴只有一个公共点，求二次函数的表达式．
（3）若对于任意实数x 1、x 2都有y 1＋y 2≥2，则n 的范围是 ▲ ．
27．（11分）如图1，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BDC ＝90°，AB ＝AD ，∠DCB ＝60°，CD
＝8．
（1）若P 是BD 上一点，且PA ＝CD ，求∠PAB 的度数．
（2）①将图1中的△ABD 绕点B 顺时针旋转30°，点D 落在边BC 上的E 处，AE 交BD
于点O ，连接DE ，如图2，求证：DE 2＝DO •DB ；
②将图1中△ABD 绕点B 旋转α得到△A 'BD '(A 与A '，D 与D '是对应点)，若CD '＝CD ，则cos α的值为 ▲ ．
A C
D O （图2） A
D （图1）
参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
7．8.7×10－3 8．2(x －y )2 9．x ≤12
10．2＋ 6 11．6 12．103 13．＞
14．135° 15．43 16．－3＜m ≤－2或2＜m ≤3 三、解答题（本大题共11小题，共88分）
17．（本题7分）
解： (1x 2－4＋1x ＋2)÷x －1x －2
＝
1＋x －2(x ＋2)(x －2)⋅x －2x －1 ＝x －1(x ＋2)(x －2)⋅x －2x －1
＝1x ＋2
． ································································································································ 5分 当x ＝0时，原式＝10＋2＝12或当x ＝－1时，原式=1－1+2
＝1． ·································· 7分 18．（本题7分）
解： 23x －1－1＝36x －2
两边同时乘以2(3x －1)，得
4－2(3x －1)＝3 ··············································································································· 2分 4－6x ＋2 ＝3
－6x ＝－3
x ＝12 ············································································································· 5分
检验：当x ＝12时，2(3x －1)＝2×(3×12－1)≠0．
所以，x ＝12是原方程的解． ····························································································· 7分
19. （本题8分）
（1）证明：∵ 四边形ABCD 是菱形，
∴ AB ＝BC ．
∵ △BEF 是等边三角形，
∴ BF ＝BE ，∠FBE ＝∠FEB ＝60°．
∵ ∠ABC ＝60°，
∴ ∠ABC ＝∠FBE ，
∴ ∠ABC －∠ABE ＝∠FBE －∠ABE ，即∠EBC ＝∠FBA ．
∴ △EBC ≌△FBC （SAS ）．
∴ CE ＝AF ． ············································································································ 4分
（2）解：∵ 四边形ABCD 是菱形，
∴ AD ∥BC ，∠D ＝∠ABC ＝60°．
∴ ∠C ＝180°－∠D ＝120°．
在△PDE 中，∠D ＋∠DPE ＋∠PED ＝180°，
∴ ∠DEP ＝72°．
由（1）得，∠FEB ＝60°，
∴ ∠BED ＝∠DEP ＋∠BEP ＝72°＋60°＝132°．
∴ ∠CBE ＝∠BED －∠C ＝132°－120°＝12°． ····················································· 8分
20．（本题8分）
（1）90，80，80． ··············································································································· 6分
（2）不合理，因为若将每位营销员月销售量定为90台，则多数营销员可能完不成任务． ················································································································································· 8分
21．（本题8分）
解：（1）13 ． ···················································································································· 2分
（2）随机选两位同学打第一场比赛，可能出现的结果有12种，即（甲，乙）、（甲，
丙）、（甲，丁）、（乙，甲）、（乙，丙），（乙，丁）、（丙，甲）、（丙，乙）、（丙，
丁）、（丁，甲）、（丁，乙），（丁，丙）、并且它们出现的可能性相等．恰好选
中甲、乙两位同学（记为事件A ）的结果有2种，即（甲，乙）、（乙，甲），
所以P （A ）＝212＝16． ···································································· 8分
22．（本题7分）
略 ········································································································································ 7分
23．（本题8分）
解：（1）12． ······················································································································ 2分
（2）设线段AD 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ．
因为y ＝kx ＋b 的图像过点（0，4）与（12，0），
所以⎩
⎪⎨⎪⎧b ＝4，12k ＋b ＝0． 解方程组，得⎩⎨⎧k ＝－8，b ＝4． 所以线段AD 所表示的y 与x 之间的函数表达式为y ＝－8x ＋4． ··················· 5分
（3）根据题意，联络员出发12
h 后与第一次追上一班，此时，联络员与二班相距3 km ，折返后需要312+6＝16(h)，因为12＋16＝23
， 所以，联络员出发23
h 后与第一次后队相遇． ···················································· 8分
24．（本题8分）
证明：（1）如图，连接BD ，交AC 于点F ．
∵ ∠BAD ＝90°， ∴ BD 是直径．
∴ ∠BCD ＝90°． ∴ ∠DEC ＋∠CDE ＝90°．
∵ ∠DEC ＝∠BAC ， ∴ ∠BAC ＋∠CDE ＝90°．
∵ ∠BAC ＝∠BDC ， ∴ ∠BDC ＋∠CDE ＝90°．
∴ ∠BDE ＝90°，即 BD ⊥DE ．
∵ 点D 在⊙O 上，
∴ DE 是⊙O 的切线． ·················································································· 4分
（2）∵ DE ∥AC ，∠BDE ＝90°，
∴ ∠BFC ＝90°．
∴ CB ＝AB ＝12，AF ＝CF ＝12AC ，
∵ ∠CDE ＋∠BDC ＝90°，∠BDC ＋∠CBD ＝90°．
∴ ∠CDE ＝∠CBD ．
∵ ∠DCE ＝∠BCD ＝90°， ∴ △BCD ∽△DCE ，
∴ BC CD ＝CD CE ， ∴ CD ＝6．∴ BD ＝65．
同理：△CFD ∽△BCD ，∴ CF BC ＝CD BD ， ∴ CF ＝1255．
∴ AC ＝2AF ＝2455． ·························································································· 8分
25．（本题8分）
解：设货车、客车的速度分别为x km/h 、y km/h ，
由题意，得AP ＝PQ ＝x km ，BM ＝MN ＝y km.
如图，过点M 作ME ⊥AB ，垂足为E ．
在Rt △BME 中， ∵ sin B ＝ME BM
中学数学一模模拟试卷
一、选择题（每小题3分，计30分） 1．若a 是绝对值最小的有理数，b 是最大的负整数，c
式a ﹣b +c 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 A （第24题）
2．如图是一个全封闭的物体，则它的俯视图是（）
A．B．C．D．
3．若点A（1，a）和点B（4，b）在直线y＝﹣x+m上，则a与b的大小关系是（）A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．与m的值有关
4．一副三角板如图摆放，边DE∥AB，则∠1＝（）
A．135°B．120°C．115°D．105°
5．不等式9﹣3x＜x﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）
A．
B．
C．
D．
等于（）6．如图，在△ABC中，BC＝4，BC边上的中线AD＝2，AB+AC＝3+，则S
△ABC
A．B．C．D．
7．一次函数图象经过A（1，1），B（﹣1，m）两点，且与直线y＝2x﹣3无交点，则下列与点B（﹣1，m）关于y轴对称的点是（）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，3）D．（1，﹣3）
8．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂
直AC交AD于点E，则DE的长是（）
A．5 B．C．D．
9．已知：⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，E是AB的中点，连OE，OE＝，BC＝8，则⊙O 的半径为（）
A．3 B．C．D．5
10．二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，那么tan∠CBA的值是（）
A．B．C．2 D．
二、填空题（每小题3分，计12分）
11．因式分解：x2﹣y2﹣2x+2y＝．
12．如图，△ABC中，AB＝BD，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠ABD＝∠DCE，若∠BEC ＝105°，则∠A的度数是．
13．如图，点B是双曲线y＝（k≠0）上的一点，点A在x轴上，且AB＝2，OB⊥AB，若∠BAO＝60°，则k＝．
14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于点E，若AE＝17，BC＝8，CD＝6，则四边形ABCD的面积为．
三、解答题
15．（5分）计算；﹣tan30°+（π﹣1）0+
16．（5分）解方程： +﹣＝1．
17．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD．在BC上求作一点P使△ABP≌△ADP．（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP＝MN．
19．（7分）为了解某中学去年中招体育考试中女生“一分钟跳绳”项目的成绩情况，从中抽取部分女生的成绩，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据下列统计图中提供的信息解决下列问题：
（1）本次抽取的女生总人数为，第六小组人数占总人数的百分比为，请补全频数分布直方图；
（2）题中样本数据的中位数落在第组内；
（3）若“一分钟跳绳”不低于130次的成绩为优秀，这个学校九年级共有女生560人，请估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩的优秀人数．
20．（7分）如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH＝5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度．
21．（7分）一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示：
（1）甲乙两地的距离是千米；
（2）两车行驶多长时间相距300千米？
（3）求出两车相遇后y与x之间的函数关系式．
22．（7分）有2部不同的电影A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看．（1）求甲选择A部电影的概率；
（2）求甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）．
23．（8分）如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．
（1）求证：∠DAC＝∠DCE；
（2）若AB＝2，sin∠D＝，求AE的长．
24．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C （0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）已知点P（m，n）在抛物线上，当﹣2≤m＜3时，直接写n的取值范围；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D与点C关于点M对称，试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题提出；
（1）如图1，矩形ABCD，AB＝4，BC＝8，点E为CD的中点，点P为BC上的动点，CP＝时，△APE的周长最小．
（2）如图2，矩形ABCD，AB＝4，BC＝8，点E为CD的中点，点P、点Q为BC上的动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，请确定点P的位置（即BP的长）
问题解决；
（3）如图3，某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部（不包括边界）点P处修一个凉亭，设计要求PA长为100米，同时点M，N分别是水域AB，AC边上的动点，连接P、M、N的水上浮桥周长最小时，四边形AMPN的面积最大，请你帮忙算算此时四边形AMPN面积的最大值是多少？
参考答案一、选择题
1．解：根据题意得：a＝0，b＝﹣1，c＝1，则a﹣b+c＝0﹣（﹣1）+1＝2，
故选：C．
2．解：从上面观察可得到：．
故选：D．
3．解：因为k＝﹣1＜0，
所以在函数y＝﹣x+m中，y随x的增大而减小．∵1＜4，
∴a＞b．
故选：A．
4．解：∵DE∥AB，
∴∠D+∠DAB＝180°，
又∵∠D＝45°，∠BAC＝30°，
∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠BAC＝105°，
故选：D．
5．解：移项，得：﹣3x﹣x＜﹣3﹣9，
合并同类项，得：﹣4x＜﹣12，
系数化为1，得：x＞3，
将不等式的解集表示如下：
故选：B．
6．解：∵BC＝4，AD＝2，
∴BD＝CD＝2，
∴AD＝BD，AD＝CD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD＝180°÷2＝90°，
即△ABC是直角三角形，
设AB＝x，则AC＝3+﹣x，根据勾股定理得
x2+（3+﹣x）2＝42，
解得x＝3或，
∴AB＝3或，AC＝或3，
＝×3×＝．
∴S
△ABC
故选：D．
7．解：∵一次函数图象与直线y＝2x﹣3无交点，∴设一次函数的解析式为y＝2x+b，
把A（1，1）代入得1＝2+b，
∴b＝﹣1，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣1，
把B（﹣1，m）代入得m＝﹣3，
∴B（﹣1，﹣3），
∴点B（﹣1，m）关于y轴对称的点是（1，﹣3），故选：D．
8．解：∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10（勾股定理）；
∴AO＝AC＝5，
∵EO⊥AC，
∴∠AOE＝∠ADC＝90°，
又∵∠EAO＝∠CAD，
∴△AEO∽△ACD，
∴，
即，
解得，AE＝；
∴DE＝8﹣，
故选：C．
9．解：如图，作直径AD，连接BD；
∵AB＝AC，
∴＝，
∴AD⊥BC，BE＝CE＝4；
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE，而OA＝OB，
∴OE为△ABD的中位线，
∴BD＝2OE＝5；
由勾股定理得：
DF2＝BD2﹣BF2＝52﹣42，
∴DF＝3；
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，由射影定理得：
BD2＝DF•AD，而BD＝5，DE＝3，
∴AD＝，
⊙O半径＝．
故选：C．
10．解：∵y＝ax2﹣4ax+2，
∴对称轴为直线x＝﹣＝2，A（0，2），
∵点B（3，6）关于二次函数对称轴的对称点为点C，∴C（1，6），
∴BC∥x轴，
∴∠ADB＝90°，
∴tan∠CBA＝＝＝，
故选：B．
二、填空题
11．解：x2﹣y2﹣2x+2y＝（x2﹣y2）﹣（2x﹣2y）＝（x+y）（x﹣y）﹣2（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y﹣2）．
故答案为：（x﹣y）（x+y﹣2）．
12．解：∵BA＝BD，
∴∠A＝∠BDA，设∠A＝∠BDA＝x，∠ABD＝∠ECD＝y，
则有，
解得x＝85°，
故答案为85°．
13．解：∵AB＝2，0A⊥OB，∠ABO＝60°，
∴OA＝AB÷cos60°＝4，
作AD⊥OB于点D，
∴AD＝AB×sin60°＝，
BD＝AB×cos60°＝1，
∴OD＝OA﹣BD＝3，
∴点B的坐标为（3，），
∵B 是双曲线y ＝上一点，
∴k ＝xy ＝3
． 故答案为：3．
14．解：如图，过点A 作AF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，连接AC ，
则∠ADF +∠ADC ＝180°，
∵∠ABC +∠ADC ＝180°，
∴∠ABC ＝∠ADF ，
∵在△ABE 和△ADF 中，
∴△ABE ≌△ADF （AAS ），
∴AF ＝AE ＝17，
∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD ＝×8×17+×6×17＝119
故答案为：119
三、解答题
15．解：原式＝
﹣+1+﹣1
＝． 16．解：方程两边同乘（x +2）（x ﹣2）得 x ﹣2+4x ﹣2（x +2）＝x 2﹣4，
整理，得x 2﹣3x +2＝0，
解这个方程得x 1＝1，x 2＝2，
经检验，x 2＝2是增根，舍去，
所以，原方程的根是x ＝1．
17．解：如图所示，点P 即为所求．
18．证明：如图，连结PB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°．
∵在△CBP和△CDP中，
，
∴△CBP≌△CDP（SAS）．
∴DP＝BP．
∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠MBN＝90°
∴四边形BNPM是矩形．
∴BP＝MN．
∴DP＝MN．
19．解：（1）本次抽取的女生总人数是：10÷20%＝50（人），第四小组的人数为：50﹣4﹣10﹣16﹣6﹣4＝10（人），
第六小组人数占总人数的百分比是：×100%＝8%．
补全图形如下：
故答案是：50人、8%；
（2）因为总人数为50，
所以中位数是第25、26个数据的平均数，
而第25、26个数据都落在第三组，
所以中位数落在第三组，
故答案为：三；
（3）随机抽取的样本中，不低于130次的有20人，
则总体560人中优秀的有560×＝224（人），
答：估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩的优秀人数为224人．20．解：∵CD⊥BF，AB⊥BF，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴＝，
同理可得＝，
∴＝，
∴＝，
解得BD＝6，
∴＝，
解得AB＝5.1．
答：路灯杆AB高5.1m．
21．解：（1）由图象得：甲乙两地相距600千米；
故答案为：600；
（2）由题意得：慢车总用时10小时，
∴慢车速度为（千米/小时）；
设快车速度为x千米/小时，
由图象得：60×4+4x＝600，
解得：x＝90，
∴快车速度为90千米/小时；
设出发x小时后，两车相距300千米．
①当两车没有相遇时，
由题意得：60x+90x＝600﹣300，解得：x＝2；
②当两车相遇后，
由题意得：60x+90x＝600+300，解得：x＝6；
即两车2或6小时时，两车相距300千米；
（3）由图象得：（小时），60×400（千米），
时间为小时时快车已到达甲地，此时慢车走了400千米，
∴两车相遇后y与x的函数关系式为y＝．
22．解：（1）甲选择A部电影的概率＝；
（2）画树状图为：
共有8种等可能的结果数，其中甲、乙、丙3人选择同1部电影的结果数为2，
所以甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率＝＝．23．解：（1）∵AD是圆O的切线，
∴∠DAB＝90°．
∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵∠DAC+∠CAB＝90°，∠CAB+∠ABC＝90°，
∴∠DAC＝∠B．
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠OCB．
又∵∠DCE＝∠OCB．
∴∠DAC＝∠DCE．
（2）∵AB＝2，
∴AO＝1．
∵sin∠D＝，
∴OD＝3，DC＝2．
在Rt△DAO中，由勾股定理得AD＝＝2．
∵∠DAC＝∠DCE，∠D＝∠D，
∴△DEC∽△DCA．
∴，即．
解得：DE＝．
∴AE＝AD﹣DE＝．
24．解：（1）将点C坐标代入函数表达式得：y＝x2+bx﹣3，将点A的坐标代入上式并解得：b＝﹣2，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）令y＝x2﹣2x﹣3＝0，则x＝3或﹣1，即点B（3，0），函数的对称轴为x＝1，
m＝﹣2时，n＝4+4﹣3＝5，
m＜3，函数的最小值为顶点纵坐标的值：﹣4，
故﹣4≤n≤5；
（3）点D与点C（0，﹣3）关于点M对称，则点D（2，3），
在x轴上方的P不存在，点P只可能在x轴的下方，
如下图当点P在对称轴右侧时，点P为点D关于x轴的对称点，此时△ABP与△ABD全等，
即点P（2，﹣3）；
同理点C（P′）也满足△ABP′与△ABD全等，
即点P′（0，﹣3）；
故点P的坐标为（0，﹣3）或（2，﹣3）．
25．解：（1）：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°＝∠ABC，AB＝CD＝4，BC＝AD＝8，
∵E为CD中点，
∴DE＝CE＝2，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝2，
即△APE的边AE的长一定，
要△APE的周长最小，只要AP+PE最小即可，
延长AB到M，使BM＝AB＝4，则A和M关于BC对称，
连接EM交BC于P，此时AP+EP的值最小，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△ECP∽△MBP，
∴
∴
∴CP＝
故答案为：
（2）点A向右平移2个单位到M，点E关于BC的对称点F，连接MF，交BC于Q，
此时MQ+EQ最小，
∵PQ＝3，DE＝CE＝2，AE＝2，
∴要使四边形APQE的周长最小，只要AP+EQ最小就行，
即AP+EQ＝MQ+EQ，过M作MN⊥BC于N，
∴MN∥CD
∴△MNQ∽△FCQ，
∴
∴
∴NQ＝4
∴BP＝BQ﹣PQ＝4+2﹣2＝4
（3）如图，作点P关于AB的对称点G，作点P关于AC的对称点H，连接GH，交AB，AC 于点M，N，此时△PMN的周长最小．
∴AP＝AG＝AH＝100米，∠GAM＝∠PAM，∠HAN＝∠PAN，
∵∠PAM+∠PAN＝60°，
∴∠GAH ＝120°，且AG ＝AH ，
∴∠AGH ＝∠AHG ＝30°，
过点A 作AO ⊥GH ，
∴AO ＝50米，HO ＝GO ＝50
米， ∴GH ＝100米，
∴S △AGH ＝GH ×AO ＝2500
平方米， ∵S 四边形AMPN ＝S △AGM +S △ANH ＝S △AGH ﹣S △AMN ，
∴S △AMN 的值最小时，S 四边形AMPN 的值最大，
∴MN ＝GM ＝NH ＝时
∴S 四边形AMPN ＝S △AGH ﹣S △AMN ＝2500
﹣＝平方米．
中学数学一模模拟试卷
一、选择题（每小题3分，计30分）
1．若a 是绝对值最小的有理数，b 是最大的负整数，c 是倒数等于它本身的自然数，则代数式a ﹣b +c 的值为（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2．如图是一个全封闭的物体，则它的俯视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．若点A （1，a ）和点B （4，b ）在直线y ＝﹣x +m 上，则a 与b 的大小关系是（ ）
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a ＝b
D ．与m 的值有关
4．一副三角板如图摆放，边DE ∥AB ，则∠1＝（ ）
A．135°B．120°C．115°D．105°
5．不等式9﹣3x＜x﹣3的解集在数轴上表示正确的是（）
A．
B．
C．
D．
等于（）6．如图，在△ABC中，BC＝4，BC边上的中线AD＝2，AB+AC＝3+，则S
△ABC
A．B．C．D．
7．一次函数图象经过A（1，1），B（﹣1，m）两点，且与直线y＝2x﹣3无交点，则下列与点B（﹣1，m）关于y轴对称的点是（）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，3）D．（1，﹣3）
8．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则DE的长是（）
A．5 B．C．D．
9．已知：⊙O为△ABC的外接圆，AB＝AC，E是AB的中点，连OE，OE＝，BC＝8，则⊙O 的半径为（）
A．3 B．C．D．5
10．二次函数y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）的图象与y轴交于点A，且过点B（3，6）若点B关于二次函数对称轴的对称点为点C，那么tan∠CBA的值是（）
A．B．C．2 D．
二、填空题（每小题3分，计12分）
11．因式分解：x2﹣y2﹣2x+2y＝．
12．如图，△ABC中，AB＝BD，点D，E分别是AC，BD上的点，且∠ABD＝∠DCE，若∠BEC ＝105°，则∠A的度数是．
13．如图，点B是双曲线y＝（k≠0）上的一点，点A在x轴上，且AB＝2，OB⊥AB，若∠BAO＝60°，则k＝．
14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，AB＝AD，AE⊥BC于点E，若AE＝17，BC＝8，CD＝6，则四边形ABCD的面积为．
三、解答题
15．（5分）计算；﹣tan30°+（π﹣1）0+
16．（5分）解方程： +﹣＝1．
17．（5分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD．在BC上求作一点P使△ABP≌△ADP．（要求：用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
18．（5分）如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP＝MN．
19．（7分）为了解某中学去年中招体育考试中女生“一分钟跳绳”项目的成绩情况，从中抽取部分女生的成绩，绘制出如图所示的频数分布直方图（从左到右依次为第一到第六小组，每小组含最小值，不含最大值）和扇形统计图，请根据下列统计图中提供的信息解决下列问题：
（1）本次抽取的女生总人数为，第六小组人数占总人数的百分比为，请补全频数分布直方图；
（2）题中样本数据的中位数落在第组内；
（3）若“一分钟跳绳”不低于130次的成绩为优秀，这个学校九年级共有女生560人，请估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩的优秀人数．
20．（7分）如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH＝5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度．
21．（7分）一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地，一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地，两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的对应关系如图所示：
（1）甲乙两地的距离是千米；
（2）两车行驶多长时间相距300千米？
（3）求出两车相遇后y与x之间的函数关系式．
22．（7分）有2部不同的电影A、B，甲、乙、丙3人分别从中任意选择1部观看．
（1）求甲选择A部电影的概率；
（2）求甲、乙、丙3人选择同1部电影的概率（请用画树状图的方法给出分析过程，并求出结果）．
23．（8分）如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E．
（1）求证：∠DAC＝∠DCE；
（2）若AB＝2，sin∠D＝，求AE的长．
24．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B两点，与y轴交于点C （0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）已知点P（m，n）在抛物线上，当﹣2≤m＜3时，直接写n的取值范围；
（3）抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D与点C关于点M对称，试问在该抛物线上是否存在点P，使△ABP与△ABD全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题提出；
（1）如图1，矩形ABCD，AB＝4，BC＝8，点E为CD的中点，点P为BC上的动点，CP＝时，△APE的周长最小．
（2）如图2，矩形ABCD，AB＝4，BC＝8，点E为CD的中点，点P、点Q为BC上的动点，且PQ＝2，当四边形APQE的周长最小时，请确定点P的位置（即BP的长）
问题解决；
（3）如图3，某公园计划在一片足够大的等边三角形水域内部（不包括边界）点P处修一个凉亭，设计要求PA长为100米，同时点M，N分别是水域AB，AC边上的动点，连接P、M、N的水上浮桥周长最小时，四边形AMPN的面积最大，请你帮忙算算此时四边形AMPN面积的最大值是多少？
参考答案一、选择题
1．解：根据题意得：a＝0，b＝﹣1，c＝1，则a﹣b+c＝0﹣（﹣1）+1＝2，
故选：C．
2．解：从上面观察可得到：．
故选：D．
3．解：因为k＝﹣1＜0，
所以在函数y＝﹣x+m中，y随x的增大而减小．∵1＜4，
∴a＞b．
故选：A．
4．解：∵DE∥AB，
∴∠D+∠DAB＝180°，
又∵∠D＝45°，∠BAC＝30°，
∴∠1＝180°﹣∠D﹣∠BAC＝105°，
故选：D．
5．解：移项，得：﹣3x﹣x＜﹣3﹣9，
合并同类项，得：﹣4x＜﹣12，
系数化为1，得：x＞3，
将不等式的解集表示如下：
故选：B．
6．解：∵BC＝4，AD＝2，
∴BD＝CD＝2，
∴AD＝BD，AD＝CD，
∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAD，
∴∠BAD+∠CAD＝180°÷2＝90°，
即△ABC是直角三角形，
设AB＝x，则AC＝3+﹣x，根据勾股定理得
x2+（3+﹣x）2＝42，
解得x＝3或，
∴AB＝3或，AC＝或3，
＝×3×＝．
∴S
△ABC
故选：D．
7．解：∵一次函数图象与直线y＝2x﹣3无交点，∴设一次函数的解析式为y＝2x+b，
把A（1，1）代入得1＝2+b，
∴b＝﹣1，
∴一次函数的解析式为y＝2x﹣1，
把B（﹣1，m）代入得m＝﹣3，
∴B（﹣1，﹣3），
∴点B（﹣1，m）关于y轴对称的点是（1，﹣3），故选：D．
8．解：∵AB＝6，BC＝8，
∴AC＝10（勾股定理）；
∴AO＝AC＝5，
∵EO⊥AC，
∴∠AOE＝∠ADC＝90°，
又∵∠EAO＝∠CAD，
∴△AEO∽△ACD，
∴，
即，
解得，AE＝；
∴DE＝8﹣，
故选：C．
9．解：如图，作直径AD，连接BD；
∵AB＝AC，
∴＝，
∴AD⊥BC，BE＝CE＝4；
∵OE⊥AB，
∴AE＝BE，而OA＝OB，
∴OE为△ABD的中位线，
∴BD＝2OE＝5；
由勾股定理得：
DF2＝BD2﹣BF2＝52﹣42，
∴DF＝3；
∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，由射影定理得：
BD2＝DF•AD，而BD＝5，DE＝3，
∴AD＝，
⊙O半径＝．
故选：C．
10．解：∵y＝ax2﹣4ax+2，
∴对称轴为直线x＝﹣＝2，A（0，2），
∵点B（3，6）关于二次函数对称轴的对称点为点C，∴C（1，6），
∴BC∥x轴，
∴∠ADB＝90°，
∴tan∠CBA＝＝＝，
故选：B．
二、填空题
11．解：x2﹣y2﹣2x+2y＝（x2﹣y2）﹣（2x﹣2y）＝（x+y）（x﹣y）﹣2（x﹣y）＝（x﹣y）（x+y﹣2）．
故答案为：（x﹣y）（x+y﹣2）．
12．解：∵BA＝BD，
∴∠A＝∠BDA，设∠A＝∠BDA＝x，∠ABD＝∠ECD＝y，
则有，
解得x＝85°，
故答案为85°．
13．解：∵AB＝2，0A⊥OB，∠ABO＝60°，
∴OA＝AB÷cos60°＝4，
作AD⊥OB于点D，
∴AD＝AB×sin60°＝，
BD＝AB×cos60°＝1，
∴OD＝OA﹣BD＝3，
∴点B的坐标为（3，），
∵B 是双曲线y ＝上一点，
∴k ＝xy ＝3
． 故答案为：3．
14．解：如图，过点A 作AF ⊥CD 交CD 的延长线于F ，连接AC ，
则∠ADF +∠ADC ＝180°，
∵∠ABC +∠ADC ＝180°，
∴∠ABC ＝∠ADF ，
∵在△ABE 和△ADF 中，
∴△ABE ≌△ADF （AAS ），
∴AF ＝AE ＝17，
∴S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD ＝×8×17+×6×17＝119
故答案为：119
三、解答题
15．解：原式＝
﹣+1+﹣1
＝． 16．解：方程两边同乘（x +2）（x ﹣2）得 x ﹣2+4x ﹣2（x +2）＝x 2﹣4， 整理，得x 2﹣3x +2＝0，
解这个方程得x 1＝1，x 2＝2，
经检验，x 2＝2是增根，舍去，
所以，原方程的根是x ＝1．
17．解：如图所示，点P 即为所求．
18．证明：如图，连结PB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°．
∵在△CBP和△CDP中，
，
∴△CBP≌△CDP（SAS）．
∴DP＝BP．
∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠MBN＝90°
∴四边形BNPM是矩形．
∴BP＝MN．
∴DP＝MN．
19．解：（1）本次抽取的女生总人数是：10÷20%＝50（人），第四小组的人数为：50﹣4﹣10﹣16﹣6﹣4＝10（人），
第六小组人数占总人数的百分比是：×100%＝8%．
补全图形如下：
故答案是：50人、8%；
（2）因为总人数为50，
所以中位数是第25、26个数据的平均数，
而第25、26个数据都落在第三组，
所以中位数落在第三组，
故答案为：三；
（3）随机抽取的样本中，不低于130次的有20人，
则总体560人中优秀的有560×＝224（人），
答：估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩的优秀人数为224人．20．解：∵CD⊥BF，AB⊥BF，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴＝，
同理可得＝，
∴＝，
∴＝，
解得BD＝6，
∴＝，
解得AB＝5.1．。