2016版高考数学大一轮复习第七章第4节直线、平面平行

又 CE＝
a
2
－
3 6 2 ＝ 3 a， 3 a
2 2 2 PE 2 GE PE 2 ∴PC＝3， ∴CD＝PC＝3， 即 GE＝3CD＝3a， ∴AF＝3a. 2 当 AF＝3a 时，EF∥平面 PAD.
规范解答之十一 ——————————
立体几何中的探索性问题 [1 个示范例] ——————
图 7－4－1
【答案】
2
考向一 [120]
直线与平面平行的判定与性质
如图 7－4－2，在三棱柱 ABC－ A1B1C1 中，侧棱垂直于底面， AB⊥BC，AA1 ＝AC＝2，BC＝1，E，F 分别是 A1C1，BC 的 中点． (1)求证：C1F∥平面 ABE； (2)求三棱锥 E－ABC 的体积．
2 【规范解答】 (1)∵SA⊥底面 ABCD，tan∠SDA＝3，SA ＝2，∴AD＝3. 由题意知四棱锥 S—ABCD 的底面为直角梯形， 且 SA＝AB＝BC＝2， 1 1 VS—ABCD＝3×SA×2×(BC＋AD)×AB 1 1 10 ＝3×2×2×(2＋3)×2＝ 3 . 6分 4分 2分
(2)由 EF＝2 3，EM＝AB＝ 3， 得 FM＝3 且∠MFE＝30° . 由∠DEF＝90° 可得 FD＝4，从而得 DE＝2. 因为 BC⊥CD，BC⊥FD，所以 BC⊥平面 CDFE. 1 所以，VF—BDE＝VB—DEF＝3S△DEF×BC. 1 因为 S△DEF＝2DE×EF＝2 3， 3 VF—BDE＝ 3，所以 BC＝2. 3 综上当 BC＝2时，三棱锥 F—BDE 的体积为 3.
(2)当点 E 位于棱 SD 上靠近 D 的三等分点处时， 可使 CE ∥平面 SAB. 8分
取 SD 上靠近 D 的三等分点为 E， 取 SA 上靠近点 A 的三 等分点为 F，连接 CE，EF，BF， 2 2 则 EF 綊3AD，BC 綊3AD，
∴BC 綊 EF.
∴CE∥BF. 又∵BF⊂平面 SAB，CE⊄平面 SAB， ∴CE∥平面 SAB. 12 分 10 分
又 BD∩A1B＝B，∴平面 A1BD∥平面 CD1B1.
(2)∵A1O⊥平面 ABCD， ∴A1O 是三棱柱 ABD－A1B1D1 的高． 1 2 又 AO＝2AC＝1，AA1＝ 2，∴A1O＝ AA1 －OA2＝1. 1 又 S△ABD＝2× 2× 2＝1， ∴V 三棱柱 ABD－A1B1D1＝S△ABD· A1O＝1.
规律方法 3
1.解决本题的关键是过 M 作出与平面 DAE
平行的辅助平面 MNG，通过面面平行证明线面平行． 2．通过线面、面面平行的判定与性质，可实现线线、线 面、面面平行的转化． 3．解答探索性问题的基本策略是先假设，再严格证明， 先猜想再证明是学习和研究的重要思想方法．
对点训练
如图 7－4－7 所示， 四棱锥 P—ABCD 的底面
α∥β a∥b a∥α
α∥β
1． 若直线 a 不平行于平面 α， 则下列结论成立的是( A．α 内的所有直线都与直线 a 异面 B．α 内可能存在与 a 平行的直线 C．α 内的直线都与 a 相交 D．直线 a 与平面 α 没有公共点
)
【答案】 B
2．空间中，下列命题正确的是( A．若 a∥α，b∥a，则 b∥α
【尝试解答】
(1)证明
由题设知，BB1 綊 DD1，
∴四边形 BB1D1D 是平行四边形，∴BD∥B1D1. 又 BD 平面 CD1B1，∴BD∥平面 CD1B1.
∵A1D1 綊 B1C1 綊 BC，∴四边形 A1BCD1 是平行四边形，
∴A1B∥D1C. 又 A1B 平面 CD1B1，∴A1B∥平面 CD1B1.
第四节
直线、平面平行的判定及其性质
[ 考情展望]
1.以多面体为载体，考查空间线面平行、面
面平行的判定与性质 .2. 以解答题的形式考查线面的平行关 系.3.考查空间中平行关系的探索性问题．
一、直线与平面平行 判定定理 性质定理
图形
条件 结论
l∥a，l⊄α，a⊂α
a∥α，a⊂β，α∩β＝b
a∥b
l∥α
)
B．若 a∥α，b∥α，a⊂β，b⊂β，则 β∥α C．若 α∥β，b∥α，则 b∥β D．若 α∥β，a⊂α，则 a∥β
【答案】 D
3．在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 是 DD1 的中点，则 BD1 与平面 ACE 的位置关系是
【答案】 平行
．
4．如图 7－4－1，正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，AB＝2， 点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上．若 EF∥平面 AB1C，则 线段 EF 的长度等于 ．
【名师寄语】
1.本题在解题时易出现两种错误：一是
误认为 E 是 SD 中点，二是对于这类探索性问题找不到切入 口，入手难．在步骤书写时易忽视“BF⊂平面 SAB，CE⊄平 面 SAB”这一关键条件． 2．解决立体几何中探索性问题的步骤： 第一步，探求出点的位置． 第二步，证明符合要求． 第三步，给出明确答案． 第四步，反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
(12 分)如图 7－4－8，在四棱锥 S—ABCD 中， 已知底面 ABCD 为直角梯形， 其中 AD ∥ BC ，∠ BAD ＝ 90° ， SA ⊥底面 2 ABCD，SA＝AB＝BC＝2.tan∠SDA＝3. (1)求四棱锥 S—ABCD 的体积； (2)在棱 SD 上找一点 E，使 CE∥平面 SAB，并证明．
图7－4－2
【尝试解答】 (1)证明：取 AB 的中点 G， 连接 EG， FG. 因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点， 1 所以 FG∥AC，且 FG＝2AC. 因为 AC∥A1C1，且 AC＝A1C1，所以 FG∥EC1， 且 FG＝EC1， 所以四边形 FGEC1 为平行四边形． 所以 C1F∥EG. 又因为 EG⊂平面 ABE，C1F⊄平面 ABE， 所以 C1F∥平面 ABE.
(2)因为 AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以 AB＝ AC2－BC2＝ 3. 1 1 1 所以三棱锥 E－ABC 的体积 V＝3S△ABC· AA1＝3×2× 3 3 ×1×2＝ 3 .
规律方法 1
1.判断或证明线面平行的常用方法有： (1)
利用反证法；(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b ⇒a∥α)；(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)； (4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)． 2．利用判定定理判定直线与平面平行，关键是找平面内 与已知直线平行的直线．可先直观判断平面内是否已有，若 没有，则需作出该直线，常考虑三角形的中位线、平行四边 形的对边或过已知直线作一平面找其交线．
又 PA⊥面 ABCD，∴PA⊥BC， 又 BC⊥AB，∴BC⊥面 PAB. ∴PB⊥BC. ∴PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2. 设 PA＝x 则 PC＝ 2a2＋x2， 由 PB· BC＝BE· PC 得： 6 a ＋x · a＝ 2a ＋x ·3 a，
2 2 2 2
∴x＝a，即 PA＝a，∴PC＝ 3a.
如图，取 DC 中点 S，连接 AS、GS、GA. ∵G 是 DF 的中点，∴GS∥FC，AS∥CM. ∵GS∩AS＝S，FC∩CM＝C，∴平面 GSA∥平面 FMC， ∵GA⊂平面 GSA， ∴GA∥平面 FMC， 即 GP∥平面 FMC.
是边长为 a 的正方形， 侧棱 PA⊥底面 ABCD， 在侧面 PBC 内， 6 有 BE⊥PC 于 E，且 BE＝ 3 a，试在 AB 上找一点 F，使 EF ∥平面 PAD.
图 7－4－7
【解】 连接 AG，
在平面 PCD 内，过 E 作 EG∥CD 交 PD 于 G，
在 AB 上取点 F，使 AF＝EG， ∵EG∥CD∥AF，EG＝AF， ∴四边形 FEGA 为平行四边形， ∴FE∥AG. 又 AG⊂平面 PAD， FE⊄平面 PAD， ∴EF∥平面 PAD. ∴F 即为所求的点．
图7－4－5
【证明】
如图所示，连接 A1C 交 AC1 于点 E，
因为四边形 A1ACC1 是平行四边形， 所以 E 是 A1C 的中点，连接 ED， 因为 A1B∥平面 AC1D， 平面 A1BC∩平面 AC1D＝ED， 所以 A1B∥ED. 因为 E 是 A1C 的中点，所以 D 是 BC 的中点． 又因为 D1 是 B1C1 的中点， 所以 BD1∥C1D，A1D1∥AD. 又 A1D1∩BD1＝D1，C1D∩AD＝D， 所以平面 A1BD1∥平面 AC1D.
(1)证线面平行 ①若 a∥α，a∥b，b⊄α，则 b∥α. ②若 a∥α，α∥β，a⊄β，则 a∥β. (2)线面平行的性质 ①若 a∥α，a∥β，α∩β＝b，则 a∥b ②若 a∥α，a⊥β，则 α⊥β.
二、面面平行的判定与性质 判定 图 形 条 件 结 论 性质
α∩β＝∅
a⊂β，b⊂β， α∥β，α∩γ α∥β，a⊂β a∩b＝P， ＝a，β∩γ＝b a∥α，b∥α
考向三 [122]
线面、面面平行的综合应用
如图 7－4－6 所示，四边形 ABCD 为矩形，AD ⊥平面 ABE，AE＝EB＝BC，F 为 CE 上的点，且 BF⊥平面 ACE. (1)求证：AE⊥BE； (2)设 M 在线段 AB 上， 且满足 AM ＝2MB，试在线段 CE 上确定一点 N， 使得 MN∥平面 DAE.
规律方法 2
判定面面平行的方法
(1)利用定义：(常用反证法) (2)利用面面平行的判定定理； (3)利用垂直于同一条直线的两平面平行； (4)利用平面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三 个平面，则这两个平面平行．
对点训练
如图 7－4－5 所示，三棱
柱 ABC—A1B1C1， D 是 BC 上一点， 且 A1B ∥平面 AC1D，D1 是 B1C1 的中点． 求证：平面 A1BD1∥平面 AC1D.
对点训练 如图 7－4－3， FD 垂直于矩 形 ABCD 所在平面 CE∥DF，∠DEF＝90° . (1)求证：BE∥平面 ADF； (2)若矩形 ABCD 的一边 AB＝ 3，EF ＝2 3，则另一边 BC 的长为何值时，三棱 锥 F—BDE 的体积为 3？
【解】 (1)证明：过点 E 作 CD 的平行线交 DF 于点 M， 连接 AM. 因为 CE∥DF， 所以四边形 CEMD 是平行四边形． 可得 EM＝CD 且 EM∥CD， 于是四边形 BEMA 也是平行四边形，所 以有 E∥AM. 而 AM⊂平面 ADF，BE⊄平面 ADF， 所以 BE∥平面 ADF.
考向二 [121]
平面与平面平行的判定和性质
(2013· 陕西高考)如图 7－4－4， 四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，O 是底面中心，A1O⊥底面 ABCD，AB＝AA1＝ 2. (1)证明：平面 A1BD∥平面 CD1B1； 图7－4－4 (2)求三棱柱 ABD－A1B1D1 的体积．
一个多面体的直观图和三视图如图 7－4－9 所示，其中 M 是 AB 的中点，G 是 DF 上的一点．当 FG＝GD 时，在棱 AD 上确定一点 P，使得 GP∥平面 FMC，并给出证明．
图 7－4－9
【解】
由三视图可得直观图为直三棱柱，且底面 ADF
中 AD⊥DF，DF＝AD＝DC，点 P 在 A 点处．
图7－4－6
【尝试解答】 (1)∵AD⊥平面 ABE，AD∥BC，∴BC⊥ 平面 ABE，
则 AE⊥BC. 又∵BF⊥平面 ACE，∴AE⊥BF， ∵BC∩BF＝B ∴AE⊥平面 BCE， 又 BE⊂平面 BCE，∴AE⊥BE.
(2)在△ABE 中，过 M 点作 MG∥AE 交 BE 于 G 点，在 △BEC 中过 G 点作 GN∥BC 交 EC 于 N 点，连接 MN，则由 1 比例关系易得 CN＝3CE. ∵MG∥AE，MG⊄平面 ADE，AE⊂平面 ADE， ∴MG∥平面 ADE. 同理，GN∥平面 ADE.又∵GN∩MG＝G， ∴平面 MGN∥平面 ADE. 又 MN⊂平面 MGN，∴MN∥平面 ADE. ∴N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点．