2021年九年级数学中考复习专题：反比例函数综合(考察坐标、取值范围、面积等)(三)

2021年九年级数学中考复习专题：
反比例函数综合（考察坐标、取值范围、面积等）（三）
1．如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y＝（a≠0）的图象在第一象限交于A，B两点，A点的坐标为（m，6），B点的坐标为（2，3），连接OA，过B作BC⊥y轴，垂足为C．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在射线CB上是否存在一点D，使得△AOD是直角三角形，求出所有可能的D点坐标．
2．如图，一次函数y＝﹣x+3的图象与反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式及点B的坐标；
（2）若点P为x轴上一点，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出符合条件的所有点P的坐标．
3．如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与反比例函数y＝﹣的图象交于点A（n，2）和点B．
（1）n＝，k＝；
（2）点C在y轴正半轴上．∠ACB＝90°，求点C的坐标；
（3）点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，直接写出m的取值范围．
4．如图，直线y＝ax+2与x轴、y轴分别相交于A，B两点，与双曲线y＝（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝4，点A的坐标为（﹣4，0）．
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，过点Q作QH⊥x轴于点H，当以点Q，C，H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．
5．如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．
（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；
（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．
①求证：△OAE≌△BOF；
②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d （M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．
6．如图，反比例函数y＝的图象经过点，射线AB与反比例函数的图象的另一个交点为B（﹣1，a），射线AC与x轴交于点E，与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求DC的长；
（3）在x轴上是否存在点P，使得△APE与△ACD相似，若存在，请求出满足条件点P的坐标，若不存在，请说明理由．
7．如图，直线y＝﹣x+3与双曲线y＝（k＜0）的图象相交于点A和点C，点A的坐标为（﹣1，a），点C的坐标为（b，﹣1）．
（1）求a的值和反比例函数的解析式；
（2）求b的值，并写出在y轴右侧，使得反比例函数大于一次函数的值的x的取值范围；（3）如图，直线y＝﹣x+3与x轴相交于点B，在x轴上存在点D，使得△BCD是以BC 为腰的等腰三角形，求点D的坐标．
8．已知平面直角坐标系中，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，3）和点B（3，n），与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求反比例函数的表达式及n的值；
（2）将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F．
①请求出点F的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．在如图平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，2），OA、OC分别落在x轴和y轴上，OB是矩形的对角线．将△OAB绕点O逆时针旋转，使点B落在y轴上，得到△ODE，OD与CB相交于点F，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点F，交AB于点G．
（1）求k的值和点G的坐标；
（2）连接FG，则图中是否存在与△BFG相似的三角形？若存在，请把它们一一找出来，并选其中一种进行证明；若不存在，请说明理由；
（3）在线段OA上存在这样的点P，使得△PFG是等腰三角形．请直接写出点P的坐标．
10．定义：点P（a，b）关于原点的对称点为P'，以PP'为边作等边△PP'C，则称点C为P的“等边对称点”；
（1）若P（1，），求点P的“等边对称点”的坐标．
（2）若P点是双曲线y＝（x＞0）上一动点，当点P的“等边对称点”点C在第四象限时，
①如图（1），请问点C是否也会在某一函数图象上运动？如果是，请求出此函数的解
析式；如果不是，请说明理由．
②如图（2），已知点A（1，2），B（2，1），点G是线段AB上的动点，点F在y轴上，若以A、G、F、C这四个点为顶点的四边形是平行四边形时，求点C的纵坐标y c 的取值范围．
参考答案
1．解：（1）∵点B（2，3）在反比例函数y＝的图象上，
∴a＝3×2＝6，
∴反比例函数的表达式为y＝，
∵点A的纵坐标为6，
∵点A在反比例函数y＝图象上，
∴A（1，6），
∴，
∴，
∴一次函数的表达式为y＝﹣3x+9；
（2）如图，①当∠OD1A＝90°时，
设BC与AO交于E，则E（，3），
∴AE＝OE＝D1E＝，
∵E（，3），
∴D1的坐标为（，3）；
②当∠OAD2＝90°时，
可得直线AD2的解析式为：y＝﹣x+，
当y＝3时，x＝19，
∴D2的坐标为（19，3），
综上所述，当△AOD是直角三角形，D点坐标为（，3）或（19，3）
2．解：（1）把点A（1，a）代入y＝﹣x+3，得a＝2，
∴A（1，2）
把A（1，2）代入反比例函数y＝，
∴k＝1×2＝2；
∴反比例函数的表达式为y＝，
解得，，，
∴B（2，1）；
（2）∵一次函数y＝﹣x+3的图象与x轴交于点C，
∴C（3，0），
∵A（1，2），
∴AC＝＝2，
过A作AD⊥x轴于D，
∴OD＝1，CD＝AD＝2，
当AP＝AC时，PD＝CD＝2，
∴P（﹣1，0），
当AC＝CP＝2时，△ACP是等腰三角形，
∴OP＝3﹣2或OP＝3+2
∴P（3﹣2，0）或（3+2，0），
当AP＝CP时，△ACP是等腰三角形，此时点P与D重合，
∴P（1，0），
综上所述，所有点P的坐标为（﹣1，0）或（3﹣2，0）或（3+2，0）或（1，0）．
3．解：（1）把A（n，2）代入反比例函数y＝﹣中，得n＝﹣4，∴A（﹣4，2），
把A（﹣4，2）代入正比例函数y＝kx（k≠0）中，得k＝﹣，故答案为：﹣4；﹣；
（2）过A作AD⊥y轴于D，过B作BE⊥y轴于E，
∵A（﹣4，2），
∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2），
设C（0，b），则CD＝b﹣2，AD＝4，BE＝4，CE＝b+2，
∵∠ACO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠CBE＝90°，
∴∠ACO＝∠CBE，
∵∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴△ACD∽△CBE，
∴，即，
解得，b＝2，或b＝﹣2（舍），
∴C（0，2）；
另一解法：∵A（﹣4，2），
∴根据双曲线与正比例函数图象的对称性得B（4，﹣2），
∴，
∵∠ACB＝90°，OA＝OB，
∴，
∴）；
（3）如图2，过A作AM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得OP1＝OP2＝OA＝OB，
∴，
∴P 1（﹣2，0），P2（2，0），
∵OP1＝OP2＝OA＝OB，
∴四边形AP1BP2为矩形，
∴AP1⊥P1B，AP2⊥BP2，
∵点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，
∴P点必在P1的左边或P2的右边，
∴m＜﹣2或m＞2．
另一解法：在x轴上原点的两旁取两点P1，P2，使得∠AP1B＝∠AP2B＝90°，
则，
∴，
∵点P（m，0）在x轴上，∠APB为锐角，
∴P点必在P1的左边或P2的右边，
∴m＜﹣2或m＞2．
4．解：（1）把A（﹣4，0）代入y＝ax+2，
得，﹣4a+2＝0，解得a＝，
故直线AB的解析式为y＝x+2，
把y＝4代入y＝x+2，得，x+2＝4，
解得x＝4，
∴点P（4，4）．
把P（4，4）代入y＝，得k＝16，
故双曲线的解析式为y＝；
（2）把x＝0代入y＝x+2，得y＝2，
∴点B的坐标为（0，2），
∴OB＝2，
∵A（﹣4，0），
∴OA＝4，
设Q（m，），则CH＝m﹣4，QH＝，
由题意可知∠AOB＝∠QHC＝90°，
当△AOB∼△QHC时，，即，
解得：m 1＝2+2，m2＝2﹣2（不合题意，舍去），∴点Q的坐标为（2+2，4﹣4），
当△BOA∼△QHC时，，即，
解得m1＝8，m2＝﹣4（不合题意，舍去），
∴点Q的坐标为（8，2）．
综上可知，点Q的坐标为（2+2，4﹣4）或（8，2）．
5．解：（1）∵点E为线段OC的中点，OC＝5，
∴，即：E点坐标为，
又∵AE⊥y轴，AE＝1，
∴，
∴．
（2）①在△OAB为等腰直角三角形中，AO＝OB，∠AOB＝90°，∴∠AOE+∠FOB＝90°，
又∵BF⊥y轴，
∴∠FBO+∠FOB＝90°，
∴∠AOE＝∠FBO，
在△OAE和△BOF中，
，
∴△OAE≌△BOF（AAS），
②解：设点A坐标为（1，m），
∵△OAE≌△BOF，
∴BF＝OE＝m，OF＝AE＝1，
∴B（m，﹣1），
设直线AB解析式为：l AB：y＝kx+5，将AB两点代入得：
则．
解得，．
当m＝2时，OE＝2，，，符合；
∴d（A，C）+d（A，B）＝AE+CE+（BF﹣AE）+（OE+OF）＝1+CE+OE﹣1+OE+1＝1+CE+2OE＝1+CO+OE＝1+5+2＝8，
当m＝3时，OE＝3，，S △AOB＝5＞3，不符，舍去；
综上所述：d（A，C）+d（A，B）＝8．
6．解：（1）∵反比例函数y＝的图象经过点，
∴k＝﹣2，
∴反比例函数的解析式为：；
（2）过点B作BM⊥AD于M，把B（﹣1，a）代入得，
∴B（﹣1，2），
∴AM＝BM＝2﹣1，
∴∠BAM＝45°，
∵∠BAC＝75°，
∴∠DAC＝75°﹣45°＝30°，
∴CD＝AD•tan∠DAC＝2×＝2；
（3）存在，
如图，∵OC＝CD﹣OD＝1，
∴OE＝OC＝，
①当AP⊥x轴时，△APE～△CDA，则：OP 1＝AD＝2，
∴P 1（﹣2，0），
②当AP⊥AE时，△APE～△DCA，∵AP1＝1，∠AP2P1＝90°﹣30°＝60°∴
则，
综上所述，满足条件点P的坐标为（﹣2，0），（﹣，0）．
7．解：（1）把（﹣1，a）代入y＝﹣x+3得a＝4，
∴A（﹣1，4），
把A（﹣1，4）代入得，
解得：k＝﹣4，
∴反比例函数的解析式为；
（2）把（b，﹣1）代入得，
∴b＝4，
∴C（4，﹣1）；
在y轴右侧，使得反比例函数大于一次函数的值的x的取值范围为：x＞4；（3）如图：过点C作CH⊥x轴于点H，
把y＝0代入y＝﹣x+3得x＝3，
∴B（3，0），
∵C（4，﹣1），
∴CH＝1，BH＝4﹣3＝1，
∴在Rt△BCH中，，
当BC＝BD时，或，
当BC＝DC时，如图，
∵CH⊥BD，
∴BH＝HD＝1，
∴OD＝OH+HD＝4+1＝5，
∴D（5，0），
综上所述，D（3+，0）或（3﹣，0）或（5，0）．
8．解：（1）∵直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（1，3）和点B（3，n），
∴把A（1，3）代入y＝得，3＝，
∴k＝3，
∴反比例函数的表达式为y＝，
把B（3，n）代入y＝得，n＝＝1；
（2）①设直线AB的解析式为：y＝kx+b，
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+4，
当y＝0时，x＝4，当x＝0时，y＝4，
∴点C（4，0），点D（0，4），
∴OC＝OD＝4，
∴△COD是等腰直角三角形，
∴∠ODC＝∠OCD＝45°，
∵将△OCD沿直线AB翻折，
∴四边形OCED是正方形，
∴DE＝CE＝4，
∴E（4，4），
把x＝4代入y＝中得，y＝，
∴F（4，）；
②存在，
理由：设点P（m，0），
∴DP2＝m2+16，PF2＝（4﹣m）2+（）2，FD2＝16+（4﹣）2，
∵△DPF是以DF为斜边的直角三角形，
∴DP2+PF2＝FD2，
即m2+16+（4﹣m）2+（）2＝16+（4﹣）2，
解得：m＝1或m＝3，
故在x轴上存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形．
9．解：（1）∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为（4，2），
∴∠OCB＝∠OAB＝∠ABC＝90°，OC＝AB＝2，OA＝BC＝4，
∵△ODE是△OAB旋转得到的，即：△ODE≌△OAB，
∴∠COF＝∠AOB，∴△COF∽△AOB，
∴＝，∴＝，∴CF＝1，
∴点F的坐标为（1，2），
∵y＝（x＞0）的图象经过点F，
∴2＝，得k＝2，
∵点G在AB上，
∴点G的横坐标为4，
对于y＝，当x＝4，得y＝，
∴点G的坐标为（4，）；
（2）△COF∽△BFG；△AOB∽△BFG；△ODE∽△BFG；△CBO∽△BFG．下面对△OAB∽△BFG进行证明：
∵点G的坐标为（4，），∴AG＝，
∵BC＝OA＝4，CF＝1，AB＝2，
∴BF＝BC﹣CF＝3，
BG＝AB﹣AG＝．
∴，＝．
∴，
∵∠OAB＝∠FBG＝90°，
∴△OAB∽△FBG．
（3）设点P（m，0），而点F（1，2）、点G（4，），
则FG2＝9+＝，PF2＝（m﹣1）2+4，PG2＝（m﹣4）2+，
当GF＝PF时，即＝（m﹣1）2+4，解得：m＝（舍去负值）；
当PF＝PG时，同理可得：m＝；
当GF＝PG时，同理可得：m＝4﹣；
综上，点P的坐标为（4﹣，0）或（，0）或（，0）．
10．解：（1）∵P（1，），
∴P'（﹣1，﹣），
∴PP'＝4，
设C（m，n），
∴等边△PP′C，
∴PC＝P'C＝4，
∴＝＝4，
∴m＝﹣n，
∴（﹣n﹣1）2+（n﹣）2＝16．
解得n＝或﹣，
∴m＝﹣3或m＝3．
如图1，观察点C位于第四象限，则C（﹣3，）．即点P的“等边对称点”的坐标是（3，）．
（2）①设P（c，），
∴P'（﹣c，﹣），
∴PP'＝2，
设C（s，t），
PC＝P'C＝2，
∴＝＝2，
∴s＝﹣，
∴t2＝3c2，
∴t＝c，
∴C（﹣，c）或C（，﹣c），
∴点C在第四象限，c＞0，
∴C（，﹣c），
令，
∴xy＝﹣6，即y＝﹣（x＞0）；
②当AG为平行四边形的边时，G与B重合时，为一临界点通过平移可求得C（1，﹣6），∴y c≤﹣6；
当AG为平行四边形的对角线时，G与B重合时，求得C（3，﹣2），
G与A重合时，C（2，﹣3），
此时﹣3＜y c≤﹣2，
综上所述：y c≤﹣6或﹣3＜y c≤﹣2．。