山东省济南市2011届高三数学第二次模拟考试 理

山东省济南市
2011年4月高三模拟考试数学（理工类）试题
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页. 第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页.满分150分，考试时间120分钟。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：
1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上. 参考公式：
柱体的体积公式V=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高. 锥体的体积公式V=13
Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高.
如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B); 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)·P(B). 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的
概率:()(1)(0,1,2,
,)k k n k
n n P k C p p k n -=-=.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1. i 为虚数单位，复平面内表示复数2i
z i
-=
+的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ２. 已知集合{}
|21|1M x x =-<,{}
|31x N x =>，则M
N =
A.∅
B. {}|0x x <
C.{}|1x x <
D.{}|01x x <<
3. 若02log <a )1,0(≠>a a 且，则函数()log (1)a f x x =+的图像大致是
A. B. C. D.
4. 已知等比数列}{n a 的公比为正数，且2
4754a a a =⋅，2a =1，则1a =
A.
2
1
B. 22
C.
2 D.2
5.已知变量x 、y 满足约束条件11y x x
y y ≤⎧⎪+≤⎨≥-⎪⎩，则32z x y =+的最大值为
A ．3-
B 25
C.5-
D.4
6. 过点（0,1）且与曲线1
1
x y x +=-在点(32)，处的切线垂直的直线的方程为
A ．012=+-y x
B ．012=-+y x
C ．022=-+y x
D ． 022=+-y x
7.右图给出的是计算
1111
246
20
++++
的值的一个框图， 其中菱形判断框内应填入的条件是
A ．10>i
B ．10<i
C ．11>i
D ．11<i 8．为了得到函数x x y 2cos 2sin +=的图像，只需把函数 x x y 2cos 2sin -=的图像
A ．向左平移
4π个长度单位 B ．向右平移4π
个长度单位 C. 向左平移2π个长度单位 D ．向右平移2
π
个长度单位
9. 关于直线,m n 与平面,αβ，有以下四个命题：①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ；②若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ； ③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥；
④若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥.其中真命题有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10. 设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有1
(3)()
f x f x +=-，且当[3,2]x ∈--时，()4f x x =,
则(107.5)f = A.10 B.
110 C.10- D.110
- 11．设点P 是双曲线22221(,0)x y a b a b
-=>>与圆2222
x y a b +=+在第一象限的交点,F 1、
F 2分别是双曲线的左、右焦点，且12||3||PF PF =，则双曲线的离心率 A 5B ．
5
2
C 10
D ．
102
F
D
C B
A
12．已知函数⎪⎩
⎪⎨⎧=≠+=0 ,00 ,1)(x x x
x x f ，则关于x 的方程0)()(2
=++c x bf x f 有5个不同实数解的充要条件是
A ．2-<b 且0>c
B ．2->b 且0<c
C ．2-<b 且0=c
D ．2-≥b 且0=c
2011年4月济南市高三模拟考试
高三数学（理工类）试题
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
注意事项：
1. 第Ⅱ卷共2页, 必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答，不能写在试题卷上; 如需改动，先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效.作图时,可用2B 铅笔，要字体工整，笔迹清晰.在草稿纸上答题无效.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分. 请直接在答题卡上相应位置填写答案.
13．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有18件，那么此样本的容量n = ． 14．二项式6)2(x
x -
的展开式中的常数项为 ．
15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和
BC 上，且3,3DC DE BC BF ==，若AC mAE nAF =+，
其中,m n R ∈，则m n += _________.
16.如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()(
)sin 0,f x x x π=∈
及直 线()()
0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷 一点，若落在阴影部分的概率为
16
3
，则a 的值是 ． 三、解答题：本大题共6个小题.共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
已知向量3
(sin ,),(cos ,1)4
a x
b x ==-. （1）当//a b 时，求2
cos sin 2x x -的值；
（2）设函数()2()f x a b b =+⋅，已知在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若36sin ,2,3=
==
B b a ,求()⎪⎭⎫ ⎝
⎛++62cos 4πA x f (0,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦)的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知矩形ABCD 与正三角形AED 所在的平面
互相垂直， M 、N 分别为棱BE 、AD 的中点，
1=AB ,2=AD ，
(1)证明：直线//AM 平面NEC ； (2)求二面角D CE N --的大小．
19.（本小题满分12分）
在数列}{n a 中，11=a ，并且对于任意n ∈N *，都有1
21+=+n n
n a a a ．
（1）证明数列}1
{
n
a 为等差数列，并求}{n a 的通项公式； （2）设数列}{1+n n a a 的前n 项和为n T ，求使得2011
1000
>n T 的最小正整数n . 20.（本小题满分12分）
济南市开展支教活动，有五名教师被随机的分到A 、B 、C 三个不同的乡镇中学，且每个乡镇中学至少一名教师，
（1）求甲乙两名教师同时分到一个中学的概率； （2）求A 中学分到两名教师的概率；
（3）设随机变量X 为这五名教师分到A 中学的人数，求X 的分布列和期望． 21.（本小题满分12分）
已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的短轴长为32，右焦点F 与抛物线x y 42
=的焦点
重合， O 为坐标原点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设A 、B 是椭圆C 上的不同两点，点(4,0)D -，且满足DA DB λ=，若⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈21,83λ，
求直线AB 的斜率的取值范围.
B
C
D
第18题图
已知函数()11ln )(2
+-+=x p x p x f .
（1）讨论函数)(x f 的单调性；
（2）当1=p 时，kx x f ≤)(恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：n
n 1
31211)1ln(++++<+ )(*N n ∈.
2011年4月济南市高三模拟考试 高三数学（理工类）参考答案
一、选择题： 1.C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 8 .A 9.B 10.B 11.D 12.C 二、填空题：13. 81 14. 160- 15. 32 16. 23
π
三、解答题： 17．解：（1）
33
//,cos sin 0,tan 44
a b x x x ∴+=∴=-
…………2分
22
222
cos 2sin cos 12tan 8
cos sin 2sin cos 1tan 5
x x x x x x x x x ---===++ …………6分 （2）()2()2sin(2)4f x a b b x π=+⋅=
++3
2
由正弦定理得
sin ,,sin sin 24
a b A A A B π===可得所以 …………………9分 ()
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++62cos 4πA x f =)4x π+12-,
0,3x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦
, 所以
()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++≤-πA x f --------------------12分 18、（1）证明：方法一：
取EC 的中点F ，连接FM ，FN ，
则BC FM //，BC FM 21=
，BC AN //，BC AN 2
1
= ………………………2分 所以BC FM //且BC FM =，所以四边形AMFN 为平行四边形，
所以NF AM //， …………………………………4分 因为⊄AM 平面NEC ，⊂NF 平面NEC ，
所以直线//AM 平面NEC ； …………………………………6分
（2）解：由题设知面⊥ABCD 面ADE ，AD CD ⊥，ADE CD 面⊥∴
又CDE CD 面⊂ ，∴面ADE CDE 面⊥，作DE NH ⊥于H ，则CDE NH 面⊥，作O EC HO 于⊥，连接NO ，由三垂线定理可知CE NO ⊥，
∴HON ∠就是二面角D CE N --的平面角， …………………………………9分 在正ADE ∆中，可得2
3
=
NH ，在EDC Rt ∆中，可得1053=OH ，故在NHO Rt ∆中，
3
15
tan ==
∠OH NH HON ， …………………………………11分 所以二面角D CE N --的大小为3
15
arctan
…………………………………12分
方法二：如图以N 为坐标原点建立空间右手 直角坐标系,所以),0,1,0()1,1,0(),0,1,0(D B A -- ),2
1
,21,23(),1,1,0(),0,0,3(),0,0,0(-M C E N …1（1）取EC 的中点F ，所以)2
1
,21,23(
F ， 设平面NEC 的一个法向量为)1,,(y x n =，因为)1,1,0(=NC ，)0,0,3(=NE 所以01=+=⋅y NC n ，03==
⋅x NE n ；所以)1,1,0(-=n ， ……………3分
因为)2
1
,21,23(
=AM ，0=⋅AM n ，所以AM n ⊥ ………………………5分 因为⊄AM 平面NEC ，所以直线//AM 平面NEC ………………………7分 （2）设平面DEC 的一个法向量为),,1(z y m =，因为)1,0,0(=DC ，)0,1,3(-=DE
所以0==⋅z DC m ，03=-=⋅y DE m ；所以)0,3,1(=m ……………9分
4
6
2
23,cos -
=⨯-=
>=
<m n m n ………………………………11分 因为二面角D CE N --的大小为锐角, 所以二面角D CE N --的大小为 4
6
arccos ………………………………12分 19．解：(1)
11
1
=a ， 因为121+=
+n n n a a a ，所以
21
11=-+n
n a a ， B
∴数列}1
{
n
a 是首项为1，公差为2的等差数列，………………………………………4分 ∴
121
-=n a n
， 从而12-=n a n . …………………………………………………6分 (2)因为⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=+-=
+12112121)12)(12(11n n n n a a n n ………………… 8分
所以13221++++=n n n a a a a a a T
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121121513131121n n 1
2+=
n n
……………………………………………10分 由2011100012>
+=
n n T n ，得11
1000
>n ，最小正整数n 为91. …………………12分 20.解：（1）设甲乙两位教师同时分到一个中学为事件A ，
基本事件总数N=
22333
5335312
C C A C A +. 所以P （A ）=
2313
3333
223335335312
C A C A C C A C A ++=
6
25
. ----------4分 （2）设A 中学分到两名教师为事件B ，所以P （B ）=
222
532
223335335312
C C A C C A C A +=
2
5
. ------8分 （3）由题知X 取值1，2，3.
P （X =1）=
12232542422233353353(71152C C C C A C C A C A +=+， P （X =2）=2
5,P （X =3）=2252223335335321152
C A C C A C A =+. 所以分布列为
3
=EX -------------------------12分
21. 解:（1）由已知得2,1,3===a c b ，所以椭圆的方程为13
42
2=+y x ………4分
（2）∵DA DB λ=,∴,,D A B 三点共线,而(4,0)D -,且直线AB 的斜率一定存在，所以设
AB 的方程为(4)y k x =+，与椭圆的方程22
143x y +
=联立得 222(34)24360k y ky k +-+=
由0)41(1442
>-=∆k ，得41
2
<
k . …………………6分 设),(),,(2211y x B y x A ， 2
121222
2436,3434k k y y y y k k +=⋅=++ ①
又由DA DB λ=得: 1122
(4,)(4,)x y x y λ+=+ ∴ 21y y λ= ②.
将②式代入①式得:22
2
22
224(1)343634k y k k
y k λλ⎧
+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩
消去2y 得:2216(1)1
234k λλλλ
+==+++ …………………9分
当⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈21,83λ时, 21)(++=λλλh 是减函数, 24121
)(29≤≤∴λh , ∴
241214316292≤+≤k ,解得36
5484212≤≤k , 又因为4
12<
k ，所以365484212
≤≤k ,即222165-≤≤-k 或652221≤≤k ∴直线AB 的斜率的取值范围是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--2221,65⎥⎦⎤
⎢⎣⎡65,2221 …………12分 22解：（1）()f x 的定义域为（0，+∞），()()()x
p
x p x p x p x f +-=-+=2'
1212…2分
当1>p 时，'()f x ＞0，故()f x 在（0，+∞）单调递增；
当0≤p 时，'()f x ＜0，故()f x 在（0，+∞）单调递减；……………4分
当-1＜p ＜0时，令'()f x =0，解得()
12--
=p p
x .
则当()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--
∈12,0p p x 时，'()f x ＞0；()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+--∈,12p p
x 时，'()f x ＜0. 故()f x 在()⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--
12,0p p 单调递增，在()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+--,12p p 单调递减. …………6分 （2）因为0>x ，所以 当
1
=p 时，kx x f ≤)(恒成立x
x
k kx x ln 1ln 1+≥
⇔≤+⇔ 令x x
x h ln 1)(+=
，则max )(x h k ≥, ……………8分 因为2
ln )('x x
x h -=，由0)('=x h 得1=x ，
且当)1,0(∈x 时，0)('>x h ；当),1(+∞∈x 时，0)('<x h .
所以)(x h 在)1,0(上递增，在),1(+∞上递减.所以1)1()(max ==h x h ，
故1≥k ……………………10分
（3）由（2）知当1=k 时，有x x f ≤)(，当1>x 时，x x f <)(即1ln -<x x ，
令n n x 1+=，则n n n 11ln <+，即n n n 1
ln )1ln(<-+ …………12分 所以1112ln <，2123ln <，…，n n n 11ln <+，
相加得n
n n 1
2111ln 23ln 12ln ++<+++
而)1ln(12
312ln 1ln 23ln 12ln
+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅=+++n n n n n 所以n
n 1
31211)1ln(++++
<+ ，)(*N n ∈.……………………14分。