北京市顺义2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题含解析

牛栏山2023—2024学年度第一学期期中考试
数学试卷（答案在最后）
（120分钟）2023.11
第一部分（填空题
共65分）
一、填空题共15小题，其中1-10题，每小题4分，11-15题，每小题5分，共65分，把答案填在答题卡相应位置上．
1.
已知全集
{}
1,2,3,4U =，集合
{}
1,4A =，则
U A =ð______．
【答案】{}2,3【解析】
【分析】利用补集的定义直接求解.
【详解】全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,4A =，则{}2,3U A =ð.故答案为：{}2,3.
2.已知集合{}1A x x =>，{}
B x x a =<，且A B = R ，则a 的取值范围为______．【答案】()1,+∞【解析】
【分析】根据并集的运算性质，即可求解.【详解】因为A B = R ，所以1a >.故答案为：()1,+∞.
3.“,||0x R x ∀∈≥”的否定是____________.【答案】,0x R x ∃∈<【解析】【分析】
根据全称命题的否定是特称命题解答即可.
【详解】由题意命题“,||0x R x ∀∈≥”是全称命题，故它的否定是：,0x R x ∃∈<.故答案为：,0x R x ∃∈<.
【点睛】本题考查了含有一个量词的命题的否定，属于基础题.
4.函数()1
f x x
=
的定义域为______________.【答案】[)()1,00,-+∞ 【解析】
【分析】由被开方数非负和分母不等式0得到不等式，求出定义域.【详解】由题意得10
x x +≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≥-且0x ≠，
故()1
f x x
=
+的定义域为[)()1,00,-+∞ .
故答案为：[)()
1,00,-+∞ 5.已知函数()2,0
,0
x x f x x x ⎧>=⎨-<⎩，则()()1f f -=______．
【答案】1【解析】
【分析】根据函数()f x 的解析式由内而外逐层计算可得出()()1f
f -的值.
【详解】因为()2,0,0
x x f x x x ⎧>=⎨-<⎩，则()11f -=，故()()()2
1111f f f -===.
故答案为：1.
6.若1
1
223x x --=，则1x x -+=______．【答案】11【解析】
【分析】根据指数的运算性质计算即可.
【详解】由1
1
223x x --=，两边同时平方可得129x x -+-=，所以111x x -+=.故答案为：11
7.关于x 的方程422x x -=的解为______．【答案】1x =【解析】
【分析】由422x x -=可得出(
)(
)
21220x
x
+-=，结合20x >可求得x 的值.【详解】由422x x -=可得()
2
2220x
x --=，即()()
21220x x
+-=，
因为20x >，可得22x =，故1x =.
所以，方程关于x 的方程422x x -=的解为1x =.故答案为：1x =.
8.若不等式20x ax b ++>的解集为{|2x x <或}3x >，则a b +=______．【答案】1【解析】
【分析】由题意可知：2，3是方程20x ax b ++=的两根，利用韦达定理运算求解.【详解】由题意可知：2，3是方程20x ax b ++=的两根，
则2323a b -=+⎧⎨=⨯⎩，可得56a b =-⎧⎨=⎩
，所以1a b +=.
故答案为：1.
9.写出21a >成立的一个充分不必要条件______．【答案】1a >（答案不唯一）【解析】
【分析】解不等式21a >，结合集合的包含关系可得出结果.【详解】解不等式21a >可得1a <-或1a >，因为{
}1
a a >{1a a <-或}1a >，故2
1a
>成立的一个充分不必要条件为1a >.
故答案为：1a >（答案不唯一）.
10.不等式(
)
2
660x x x -+<的解集为______．
【答案】()(,03-∞-+U 【解析】
【分析】根据题意分析可得2
0660x x x >⎧⎨
-+<⎩或20
660
x x x <⎧⎨-+>⎩，结合一元二次不等式分析求解.【详解】由题意可知：20660x x x >⎧⎨-+<⎩或20
660x x x <⎧⎨-+>⎩
，
解得33x -<<+或0x <，
所以不等式的解集为()(,03-∞-+U .
故答案为：(
)(,03-∞-+U .11.不等式21x x ->+的解集为______．【答案】(,0)-∞【解析】
【分析】根据一次函数及指数函数的性质求解.
【详解】当0x <时，0x ->，则0221x ->=，而11x +<，满足21x x ->+；当0x =时，则0221x -==，而11x +=，则21x x -=+；当0x >时，0x -<，则0221x -<=，而11x +>，则21x x -<+，综上，不等式21x x ->+的解集为(,0)-∞.故答案为：(,0)-∞.
12.已知二次函数()2
f x ax bx =+，且()()()1212f x f x x x =≠，则()12f x x +=______．
【答案】0【解析】
【分析】当120x x +=时，()()1200+==f x x f ，当120x x +≠时，
()()()12
1112
220-+=+-=
x x f x x x x f x f x ，可知()120f x x +=.
【详解】已知二次函数()2
f x ax bx =+，且()()()1212f x f x x x =≠，当120x x +=时，()()1200+==f x x f ，当120x x +≠时，由()()()1212f x f x x x =≠，
()()()()()
2222
11221212120+-+=--==-+ax a f bx x bx a x x f x x x b x ()()()2
12121212121212--⎡⎤+++=+⎣⎦++x x x x a x x b x x f x x x x x x ，
120x x -≠，故()120f x x +=.
故答案为：0
13.已知a ，b 为正实数，且满足2ab =，则
14
a b
+的最小值为______，此时a b +=______．
【答案】①.②.
2
【解析】
【分析】利用基本不等式求解即可．
【详解】
14a b +≥=，
当且仅当
14a b
=且2ab =，即,2a b ==时取等号，
则
14a b +的最小值为，此时22
a b ==++.
故答案为：2
.14.若函数(){}
max ,6M x x x =+，则()M x 的最小值为______，此时x =______．【答案】①.3
②.3
-【解析】
【分析】作出函数()M x 的图象，可得出函数()M x 的最小值及其对应的x 的值.【详解】由6x x ≤+可得221236x x x ≤++，解得3x ≥-，由6x x >+可得221236x x x >++，解得3x <-，
故(){},3
max ,66,3x x M x x x x x ⎧<-⎪=+=⎨+≥-⎪⎩
，
作出函数()M x 的图象如下图中的实线部分所示：
由图可知，当3x =-时，函数()M x 取最小值3.故答案为：3；3-.
15.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120
元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①.130.
②.15.
【解析】
【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值.
【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元.(2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,
120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.
120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8y
y x y x -≥≤
,即min
158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元.所以x 的最大值为15.
【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.
第二部分（简答题共85分）
二、解答题共6道题，共85分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
16.已知函数()()2
2,1
2,1
x
x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩.（1）在直角坐标系xOy 下，画出函数()f x 的草图（用铅笔作图）；（2）写出函数()f x 的单调区间；
（3）若关于x 方程()f x k =有3个解，求k 的取值范围（直接写出答案即可）．【答案】（1）作图见解析
（2）减区间为(),1-∞、()1,2，增区间为()2,+∞.
（3）1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
【解析】
【分析】（1）根据函数解析式直接作出函数()f x 的图象；
（2）根据函数()f x 的图象可得出函数()f x 的增区间和减区间；
（3）分析可知，直线y k =与函数()f x 的图象有三个公共点，数形结合可得出实数k 的取值范围.【小问1详解】
解：作出函数()()2
2,1
2,1
x x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩的图象如下图所示：【小问2详解】
解：由图可知，函数()f x 的减区间为(),1-∞、()1,2，增区间为()2,+∞.【小问3详解】
解：如下图所示：
当
1
12
k <≤时，直线y k =与函数()f x 的图象由三个公共点，此时，方程关于x 方程()f x k =有3个解，故实数k 的取值范围是1,12⎛⎤
⎥⎝⎦
.
17.已知函数()4f x x x
=+
．（1）利用函数的单调性定义证明函数()f x 在()2,+∞上单调递增；（2）比较4f a a ⎛⎫+
⎪⎝
⎭，()141f a a a ⎛
⎫+> ⎪⎝
⎭的大小．
【答案】（1）证明见解析（2）414⎛
⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭f a f a a a 【解析】
【分析】（1）由定义法证明函数的单调性；（2）通过单调性比较函数值的大小.【小问1详解】函数()4
f x x x
=+
，任取122x x <<，()()()()12121212121
2121244
444⎛⎫
⎛⎫⎛⎫--=+
-+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
x x f x f x x x x x x x x x x x x x ，
由122x x <<，124x x >，120x x -<，()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 在()2,+∞上单调递增.
【小问2详解】
1a >
，则44a a +
≥=，当且仅当4a a =，即2a =时等号成立，
()2
3114343-⎛⎫+-+=-=
⎪⎝⎭a a a a a a a a
，由1a >，有210a ->，则1440⎛⎫+
-+> ⎪⎝⎭a a a a ，14
44+>+≥a a a a
，函数()f x 在()2,+∞上单调递增，所以414⎛
⎫⎛⎫+<+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
f a f a a a .18.已知函数()()2
1f x x x a a =+-+∈R ．
（1）当0a =时，求()f x 的最小值；（2）若函数()f x 是偶函数，求a 值；
（3）证明函数()f x 不是奇函数．【答案】（1）1（2）0
（3）证明见解析【解析】
【分析】（1）利用二次函数的性质求解；（2）利用偶函数的定义求解；（3）利用奇函数的定义判断.【小问1详解】
当0a =时，()2
2
2
411132f x x x x x x ⎛⎫=++=++=+ ⎪+⎝
⎭，
∵0x ≥，∴当0x =，即0x =时，min ()1f x =.【小问2详解】
若函数()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，∴()2
211x x a x x a -+--+=+-+，∴x a x a +=-，即()()2
2
x a x a +=-，得40ax =，则0a =.【小问3详解】
函数()()2
1f x x x a a =+-+∈R 的定义域为R ，
∵()2
1f a a =+，2
()21f a a a -=++，
∴()2
2
13()2222022f a a f a a a ⎛⎫-+=++=++≠ ⎪⎝
⎭，即()()a f a f -≠-，
∴函数()f x 不是奇函数.19.已知函数()22x
x
f x -=-．
（1）判断函数的单调性与奇偶性，直接写出答案；（2）若120x x +=，求()()12f x f x +；
（3）若120x x +>，判断()()12f x f x +的符号并证明．【答案】（1）函数()22x
x
f x -=-在R 上为增函数，且为奇函数
（2）()()120
f x f x +=（3）()()120f x f x +>，证明见解析【解析】
【分析】（1）根据指数型函数的单调性与函数奇偶性的定义直接判断可得出结论，然后结合单调性和奇偶性的定义证明即可；
（2）利用奇函数的性质可得出()()12f x f x +的值；
（3）判断出()()120f x f x +>，由120x x +>可得出12x x >-，利用函数()f x 的单调性及奇函数的性质可证得结论成立.【小问1详解】
解：函数()22x
x
f x -=-在R 上为增函数，且为奇函数，理由如下：
任取1x 、2x ∈R ，且12x x <，则2122x x >，所以，12220x x -<，12
1102x x ++>，
则()()()1212
12211211112222222
2x
x x x x x x x f x f x ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫-=-
--=-+- ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭⎝⎭()()121
2
121212
22122221022
x x x x x x x x x x ++-⎛
⎫
=-+=-+< ⎪⎝⎭
，所以，函数()22x
x
f x -=-在R 上为增函数，
对任意的x ∈R ，()()22x
x f x f x --=-=-，故()f x 为奇函数.
【小问2详解】
解：因为120x x +=，则21x x =-，又因为函数()f x 为R 上的奇函数，
故()()()()()()1211110f x f x f x f x f x f x +=+-=-=.【小问3详解】
解：()()120f x f x +>，证明如下：因为120x x +>，则12x x >-，
又因为函数()22x
x
f x -=-在R 上为增函数，且为奇函数，
则()()()122f x f x f x >-=-，所以，()()120f x f x +>.
20.已知参数k 为非零实数，记11x x y y =⎧⎨=⎩与22x x y y =⎧⎨=⎩为关于x ，y 的方程组()222,1142y kx y x =⎧⎪⎨++=⎪⎩
的两组不同实数解；记33x x y y =⎧⎨=⎩与44x x y y =⎧⎨=⎩为关于x ，y 的方程组()223,114
2y kx y x =-⎧⎪⎨++=⎪⎩的两组不同实数解．（1）求证：122881k x x k +=-
+，122281x x k =-+；（2）求34121234
32x x x x x x x x +++的值；（3）求322314414123
x y x y x y x y y y y y --+--的值．【答案】（1）证明见解析；
（2）0；
（3）0.
【解析】
【分析】（1）由给定方程组消去y ，再利用韦达定理列式即得.
（2）由（1）的结论，求出3434,x x x x +，再代入计算即得.
（3）由1234,,,x x x x 表示给定式子，再结合（1）（2）的信息计算即得.
【小问1详解】由()222114
2y kx y x =⎧⎪⎨++=⎪⎩消去y 并整理得：22(81)820k x kx ++-=，显然12,x x 是此一元二次方程的两个根，所以：122881k x x k +=-
+，122281
x x k =-+.【小问2详解】由()223114
2y kx y x =-⎧⎪⎨++=⎪⎩消去y 并整理得：22(181)1220k x kx +--=，显然34,x x 是此一元二次方程的两个根，于是34212181k x x k +=+，3422181
x x k =-+，由（1）知122881k x x k +=-+，122281x x k =-+，
所以223412123422222332118118108122281181
x x x x k k k k x x x x k k k k ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=+==++-++.【小问3详解】
由（1）（2）知12122282,8181k x x x x k k +=-
=-++，422343122,181181k x x x x k k +==-++，所以32233223144114414123412323323223x y x y kx x kx x x y x y kx x kx x y y y y kx kx kx kx -+---+=+----+23142323141414231423523)
25()5235323(2)()3(23x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++=++=++++2123422221423124334110()15()0(212281015()()8()11811818123)(23(23)(23)k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x -⋅+--+=
+++++++++==+.21.已知{}()1,2,,3n S n n =≥ ，{}()12,,,2k A a a a k =≥L 是n S 的子集，定义集合{}
*,i j i j i j A a a a a A a a =-∈>且，若{}*n A n S = ，则称集合A 是n S 的恰当子集．用X 表示有限集合X 的元素个数．
（1）若5n =，{}1,2,3,5A =，求*A 并判断集合A 是否为5S 的恰当子集；
（2）已知{}()1,,,7A a b a b =<是7S 的恰当子集，求a ，b 的值并说明理由；
（3）若存在A 是n S 的恰当子集，并且5A =，求n 的最大值．
【答案】（1）{}*1,2,3,4A =，集合A 是5S 的恰当子集；（2）2a =，5b =或3a =，6b =.
（3）10
【解析】
【分析】（1）由定义求*A 并判断集合A 是否为5S 的恰当子集；
（2）已知{}()1,,,7A a b a b =<是7S 的恰当子集，则有{}*
1,2,3,4,5,6A =，列方程求a ，b 的值并检验；（3）证明10n =时，存在A 是10S 的恰当子集；当11n =时，不存在A 是11S 的恰当子集，
【小问1详解】
若5n =，有{}51,2,3,4,5S =，由{}1,2,3,5A =，则{}*
1,2,3,4A =，
满足{}5*
5A S = ，集合A 是5S 的恰当子集；【小问2详解】
{}()1,,,7A a b a b =<是7S 的恰当子集，则{}*1,2,3,4,5,6A =，
*716A -=∈，由*5A ∈则75a -=或15b -=，
75a -=时，2a =，此时5b =，{}1,2,5,7A =，满足题意；
15b -=时，6b =，此时3a =，{}1,3,6,7A =，满足题意；
2a =，5b =或3a =，6b =.
【小问3详解】
若存在A 是n S 的恰当子集，并且5A =，
当10n =时，{}1,2,3,7,10A =，有{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9A =，满足{}0*110A S = ，所以{}1,2,3,7,10A =是10S 的恰当子集，
当11n =时，若存在A 是11S 的恰当子集，并且5A =，则需满足{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =，由*10A ∈，则有1A ∈且11A ∈；由*9A ∈，则有2A ∈或10A ∈，
2A ∈时，设{}()1,2,,,11310A a b a b =≤<≤，经检验没有这样的,a b 满足{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =；
当10A ∈时，设{}()1,,,10,1129A a b a b =≤<≤，经检验没有这样的,a b 满足{}*1,2,3,4,5,6,7,8,9,10A =；，因此不存在A 是11S 的恰当子集，并且5A =，
所以存在A 是n S 的恰当子集，并且5A =，n 的最大值为10.。