高三数学第一学期必修4 三角恒等变形、正、余弦定理及应用 试题

尚湖高级中学高三数学第一学期必修4 三角恒等变形、
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
正、余弦定理及应用NO-07-141
班级 高三〔 〕班 姓名 〔2021-9-22〕
△ABC 中,假设sin :sin :sin 3:4:5A B C =,那么cos B = . 2.在ABC ∆中，12,60,45BC A B ==︒=︒，那么AC=
3．βα,⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,43，sin(βα+)=－,53 sin ,13124=⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-πβ那么cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα=____
4在ABC △中，假设1
tan 3
A =
，150C =，1BC =，那么AB = 5．函数x x x f 3
2
sin
)23
2sin()(++
=π
的图象相邻的两条对称轴之间的间隔 是
6.给出下面的3个命题：〔1〕函数|)32sin(|π+=x y 的最小正周期是2
π
；〔2〕函数
)
2
3sin(π-=x y 在区间)23,[ππ上单调递增；〔3〕45π=x 是函数)2
52sin(π
+=x y ．
7、函数]),0[)(26
sin(
2ππ
∈-=x x y 为增函数的区间是 。

8、假设tan θ=2，那么2sin 2θ－3sin θcos θ= 。

9、把函数4cos()3
y x π
=+
的图象向左平移ϕ个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，那么ϕ的最小正值为= ▲ .
10.在△ABC 中，A ．B ．c 分别为∠A ．∠B ．∠C 的对边，假设A ．B ．c 成等差数列，sin B =4
5
且△ABC 的面积为32
，那么b = .
11.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，假设a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，那么cos B =( )．
A ．
14 B ．3
4
C ．4
D ．3
ABC ∆的内角A 满足2
sin 23
A =
，那么sin cos A A += ( )
A.
3 B ．3- C ．53 D ．5
3
-
13．在ABC ∆中，假设ABC C A B ∆=则,sin sin cos 2的形状一定是〔 〕
A ．等腰直角三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰三角形
14将函数21
2sin 2
y x x =
+-的图象进展以下哪一种变换就变为一个奇函数的图象( )A ．向左平移
12π个单位 B ．向左平移6π
个单位 C ．向右平移12π个单位 D ．向右平移6
π
个单位
15向量.)(),1,3(),2sin ,2(cos m b a x f b x x a +⋅===函数 〔Ⅰ〕求)(x f 的最小正周期； 〔Ⅱ〕当]2
,
0[π
∈x 时，)(x f 的最小值为5，求m 的值。

16A 、B 、C 是ABC ∆三内角，向量(1,3),(cos ,sin )m n A A =-=且1m n •=， 〔1〕求角A ；〔2〕假设221sin 23cos sin B
B B
+=--，求C tan
17在△ABC 中，5． (1)求∠A 的大小；(2)假设AB AC •=11
2
,求△ABC 的周长
18设()f x a b =⋅.向量(2sin 1),(2cos 1)a x x b x x ωωωω=+=-. (Ⅰ) 当1,(0,
)2
x π
ω=∈时,求函数()f x 的值域;
(Ⅱ)当1ω=-时,求函数()f x 的单调递减区间.
19在ABC ∆中，AB =
，1BC =，3cos 4
C =
. 〔1〕求sin A 的值；〔2〕求BC CA •的值.
20在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2
7
4sin
cos 222
A B C +-=,
5,a b c +==。

〔1〕求角C 的大小；〔2〕求ABC ∆的面积。

21函数)cos 3,cos (sin ,)(x x x m n m x f ωωω+=⋅=其中，
)(,0),sin 2,sin (cos x f x x x n 若其中>-=ωωωω相邻两对称轴间的间隔 小于.2
π
〔Ⅰ〕求ω的取值范围；
〔Ⅱ〕在,3,3,,,,,,=+=
∆c b a C B A c b a ABC 的对边分别是角中 ,最大时当ω
ABC A f ∆=求,1)(的面积.
1．
35；2. 解析：由正弦定理得，sin 45sin 60
AC BC =解得AC =
3. 56
65
-
;4. ;523π6．①②．③中π45=x 是)2
52sin(π+=x y 的对称中心．7、]65,3[ππ 8、5
2
9、
23π10.． 2 11解：ABC ∆中，a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，那么b =2a ，
222cos 2a c b B ac +-==2222
423
44
a a a a +-=，选B. 12解：由sin2A ＝2sinAcosA >0，可知A 这锐角，所以sinA ＋cosA >0，又
25
(sin cos )1sin 23
A A A +=+=，应选A
13. D14. A
15．解：〔Ⅰ〕由题意知：m x x x f ++=2sin 2cos 3)(
.)3
2sin(2m x ++
=π
………………………………………………4分
所以，)(x f 的最小正周期为.π=T ………………………………6分 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知：,)3
2sin(2)(m x x f ++
=π
当].3
4,3[32,]2
,
0[π
ππ
π
∈+
∈x x 时 所以当.3)(,3
43
2m x f x +-=
+
有最小值为时π
π
………………10分 又,53,5)(=+-∴m x f 的最小值为
.35+=m 即……………………12分
16〔1〕∵1m n ⋅= ∴(()cos ,sin 1A A -⋅=cos 1A A -= 4分
12(sin cos )122A A ⋅
-⋅=, 1sin 62A π⎛
⎫-= ⎪⎝
⎭ ∵50,666A A π
π
ππ<<-
<-
<
，∴66A ππ-=，∴3
A π
= 6分
〔2〕由题知22
12sin cos 3cos sin B B
B B
+=--，整理得22sin sin cos 2cos 0B B B B --= ∴cos 0B ≠，∴2
tan tan 20B B --=，∴tan 2B =或者tan 1B =-
10
分
而tan 1B =-使2
2
cos sin 0B B -=，舍去，∴tan 2B = 11分 ∴()()tan tan tan tan tan 1tan tan A B
C A B A B A B
π+=-+=-+=-
⎡⎤⎣⎦-
==
13分
18．f (x )a b =
=22sin cos 2cos 1sin 2cos 2x x x x x ωωωωω+-=+ ----------------2分
)4
x π
ω+ ------------------------------------------4分
〔Ⅰ〕当ω=1时，())4
f x x π
=
+
∵(0,)2x π∈，∴52444
x πππ
<+<
sin(2)124
x π
-
<+≤，∴1()f x -<≤
函数()f x 的值域是(-. -------------------------------------8分
〔Ⅱ〕当ω=-1时，()2)4f x x π=
-+=)4
x π
-
求函数()f x 的单调递减区间即求函数)4
x π
-的递增区间-------10分
令222,2
4
2
k x k k Z π
π
π
ππ-
≤-
≤+∈ ---------------------------12分
解得38
8
k x k π
πππ-
≤≤+
∴当ω=-1时，函数()f x 的单调递减区间是[38
8
k k π
π
ππ-
+
，]，k Z ∈ ----------------------------14分
19.解：〔1〕在ABC ∆中，由3cos 4C =
，得sin 4C =， 又由正弦定理：sin sin AB BC
C A
=
得：sin 8
A =
. ……………………4分 〔2〕由余弦定理：2
2
2
2cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅得：2
32124
b b =+-⨯， 即2
3102b b -
-=，解得2b =或者1
2
b =-〔舍去〕
，所以2AC =. ……8分
所以，BC CA •cos ,cos()BC CA BC CA BC CA C π=⋅⋅<>=⋅⋅-3
312()4
2
=⨯⨯-=- 即3
2
BC CA •=-.
20．〔1〕由2
74sin
cos 222A B C +-=,得27
4cos cos 222C C -=， ∴21cos 74(2cos 1)22
C C +--=，
整理,得2
4cos 4cos 10C C -+= 4分 解得：1cos 2
C =
，∴0
60C =
6分
〔2〕由余弦定理得：2
2
2
2cos c a b ab C =+-，即2
2
7a b ab =+- 〔1〕 8分 又5a b +=，∴2
2
225a b ab ++=〔2〕，〔1〕〔2〕联立解得，6ab = 10分
∴11sin 622ABC S ab C ∆=
=⨯= 12分
21．解： 〔Ⅰ〕x x x x n m x f ωωωωsin cos 32sin cos )(22⋅+-=⋅=
x x ωω2sin 32cos +=
)6
2sin(2π
ω+
=x ……………………………………3分
0>ω
,22)(ω
π
ωπ==
∴T x f 的周期函数…………………………4分 由题意可知
,2
2,22πωππ≥≥即T 解得}10|{,10≤<≤<ωωωω的取值范围是即……………………5分
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕可知ω的最大值为1，
)6
2sin(2)(π
+
=∴x x f
1)(=A f
2
1
)62sin(=
+
∴π
A …………………………6分
而πππ6
13626<+<a ππ6
5
62=+∴A
3
π=
∴A …………………………………………8分
由余弦定理知bc
a c
b A 2cos 2
22-+=
33
22=+=-+∴c b bc c b 又 (10)
联立解得⎩
⎨
⎧==⎩⎨⎧==21
12c b c b 或…………………………………………11分
2
3sin 21==
∴∆A bc S ABC ……………………………………………………12分
〔或者用配方法2,333)(2
=∴=+=-+bc c b bc c b
.2
3sin 21==
∴∆A bc S ABC 〕
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。