单一同态同构映射

>

a
b
aab
bba
< B, >
偶奇 偶 偶奇 奇 奇偶
< C, * >
* 0° 180° 0° 0 ° 180° 180° 180° 0°
这三个代数系统是同构的。
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上节回顾
设<H,*>是群<G,*>的子群，如果 A={x|x∈G,x*H*x-1=H} 证明<A,*>是<G,*>的一个子群。
则称 f 为由<A,>到<B,*>的一个同态映射；
称 <A,>同态于<B,*>，记为A~B；
称 <f(A),*>为<A, >的一个同态象，
其中 f (A) = {x | x = f(a), aA} B。
2
满同态、单一同态、同构映射 定义2： f是由<A,>到<B,*>的一个同态映射，
(1) 若f是从A到B的一个满射，则称f为满同态； (2) 若f是从A到B的一个入射，则称f为单一同态； (3) 若f是从A到B的一个双射，则称f为同构映射， 称 <A, >和<B,*>是同构的，记为A≌B 。
3
例1：<R-{0}, • >,<R,+>，定义一个函数f:R-{0}R，使f为满同态。
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f 的同态核 K 构成的代数系统<K,>是<G,>的子群。
证明：由同态核的定义可知：KG， 设e是<G, °>的幺元，e’是<G’,*>的幺元， 由上个定理中(2)的证明可知：f(e) = e’， ∴eK，∴K≠Ø 对x1,x2K，由同态核的定义可知： f(x1)=e’、f(x2)=e’ 由上个定理中(3)的证明可知： f(x2 -1) = (f(x2)) -1 = (e’) -1 = e’ f ( x1 °x2 -1) = f(x1) * f(x2 -1) = e’ * e’ = e’ ∴x1 °x2 -1K ∴ <K, °>是<G, °>的子群
9
对y1,y2,y3f(A)，存在x1,x2,x3A， 使y1=f(x1)、y2=f(x2)、y3=f(x3) y1*(y2*y3) = f(x1)*(f(x2)*f(x3))
= f(x1)*f(x2x3) = f (x1(x2x3)) ∵<A,>是半群，∴可结合， ∴y1*(y2*y3) = f ((x1x2)x3)
主要内容
1 代数系统的基本概念 2 半群与含幺半群（独异点） 3 群（阿贝尔群与循环群） 4 子群与陪集 5 同态与同构 6 环与域
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同态、同态映射、同态象
定义1：<A,>和<B,*>是两个代数系统，和*分别是A和B
上的二元运算，f是从A到B的一个映射，对a1,a2A ，
有
f(a1a2) =f(a1)*f(a2)
定理1：G是代数系统的集合，则G中代数系统之间的同 构关系是等价关系。
证明略
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定理2： f是<A,°>到<B,*>的一个同态映射，若<A,°>是半 群（独异点、群），则在f作用下，同态象<f(A),*>也是 半群（独异点、群）。
证明： (1)若<A,>是半群，则<f(A),*>也是半群
对y1,y2f(A)，存在x1,x2A， 使y1=f(x1)、y2=f(x2) y1*y2=f(x1)*f(x2)=f(x1x2) ∵<A,>是半群，∴x1x2A， ∴f(x1x2) f(A)，y1*y2 f(A) ∴*在f(A) 上封闭；
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(3) 若<A, °>是群，则<f(A),*>也是群 对 f(x)f(A)， ∵<A,>是群，∴ xA，有x-1A f(x)*f(x-1) = f(xx-1) = f(e) =f(x-1x) = f(x-1)*f(x) ∴(f(x))-1 = f(x -1) ，∴每个元素都有逆元 ∴ <f(A),*>是群
例2：f:RR，f(x)=5x，验证f是从<R,+>到<R,•>的单一同态。 证明：（根据定义证明）
对 x1,x2 R，f (x1+x2) =5x1+x2=5x1 •5x2=f(x1) •f(x2) ∴f是<R,+>到<R, • >的同态 若x1≠x2，则f(x1)=5x1，f(x2)=5x2，f(x1) ≠ f(x2) ∴ f是入射， ∴ f是从<R,+>到<R,•>的单一同态。
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例4： 若 f 是从<A, ⊕>到<B,*>的同构映射，则 f-1是从<B,*>到 <A, ⊕>的同构映射。
证明：∵f是从A到B的双射，∴ f -1是从B到A的双射 对于y1,y2B，存在x1,x2A， 使 f-1(y1)=x1，f-1(y2)=x2，y1=f(x1)，y2=f(x2) f-1(y1*y2)=f-1(f(x1)*f(x2)) ∵f 是从<A, ⊕>到<B,*>的同构映射， ∴f(x1)*f(x2)=f(x1 ⊕ x2) ∴f-1(y1*y2)=f-1(f(x1 ⊕x2))=x1 ⊕x2=f-1(y1) ⊕f-1(y2) ∴f-1是从<B,*>到<A, ⊕>的同态映射，又∵ f是双射 ∴f-1是从<B,*>到<A, ⊕>的同构映射。
解：定义 f(x) = ln | x | 对 x1,x2 R - {0} f (x1•x2) = ln | x1 • x2 | = ln | x1 | • | x2 | = ln | x1 | + ln | x2 | ∴f是<R-{0},•>到<R,+>的同态 ， 而f是满射 ∴ f是满同态
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自同态、自同构
定义3： <A,°> 是一个代数系统， 若f是由<A,°>到<A,°>的同态映射，则称f是自同态； 若f是由<A,°>到<A, °>的同构映射，则称f是自同构。
例：代数系统<I,+>中，f(n)=2n 是自同态， f(n1+n2) = 2(n1+n2) = 2n1+2n2 = f(n1)+f(n2) f(n)=n是自同构
= f(x1x2)*f(x3) = (f(x1)*f(x2))*f(x3) = (y1*y2)*y3 ∴*在f(A) 上可结合； ∴ <f(A),*>是半群
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(2) 若<A,°>是独异点，则<f(A),*>也是独异点 设e是<A,>的幺元，则f(e)f(A)， yf(A)，存在xA，使y=f(x) y * f(e) = f(x) * f(e) = f(xe) = f(x) = y f(e) * y = f(e) * f(x) = f(ex) = f(x) = y ∴f(e)是<f(A), *>的幺元 ∴ <f(A),*>是独异点
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定义3：f是群<G,>到群<G’,*>的同态映射，e’是G’ 中的幺元，称 Ker(f)={x | x G且f(x)=e’}为同态映射 f 的核，简称为 f 的同态核。 说明：同态核也可记为K(f)，同态核就是<G’,*>的幺元所
对应的原象集合，由同态核构成的代数系统也是一个 群。
定理3： f 是群<G,>到群<G’,*>的同态映射，则 f 的同态 核 K 构成的代数系统<K,>是<G,>的子群。