2020届广西来宾市高三5月教学质量诊断性联合考试数学(文)试题(解析版)

2020届广西来宾市高三5月教学质量诊断性联合考试
数学（文）试题
一、单选题
1．已知集合{}|36M x N x =∈-<<，{}2,0,2,4,6N =-，则M N =I （ ） A ．{}0,2,4 B ．{}2,0,2,4-
C ．{}0,2,4,6
D ．{}2,4
【答案】A
【解析】将集合M 化简可得{}0,1,2,3,4,5M =，再由交集的定义即可求出答案． 【详解】
依题意，{}{}|360,1,2,3,4,5M x N x =∈-<<=，故{}0,2,4M N =I ． 故选：A. 【点睛】
本题主要考查交集的运算，属于基础题． 2．已知复数10
23z i i
=
-+（i 是虚数单位），则z 的共轭复数是（ ） A ．33i -- B ．33i +
C ．151344
i -
- D ．
151344
i + 【答案】B
【解析】由复数的除法运算整理已知复数，再由共轭复数定义表示即可. 【详解】
1010(3)10(3)
22232333(3)(3)10
i i z i i i i i i i i i --=
-=-=-=--=-++-Q ， 33z i ∴=+.
故选：B 【点睛】
本题考查复数的除法运算，还考查了求共轭复数，属于基础题. 3．若3sin 5α=
，且,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，则tan 4πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭（ ）
A ．3
4-
B ．
34
C ．7
D ．
17
【答案】D
【解析】由同角三角函数关系，求得tanα，再由两角和的正切公式展开求解即可. 【详解】
若
3
sin
5
α=，且,
2
π
απ
⎛⎫
∈ ⎪
⎝
⎭
，则
2
2
34
cos1sin1
55
αα⎛⎫
=--=--=-
⎪
⎝⎭
，
所以
3
sin3
5
tan
4
cos4
5
α
α
α
===-
-
，
故
3
tan tan11
44
tan
3
47
1tan tan11
44
π
α
π
α
π
α
+-+
⎛⎫
+===
⎪⎛⎫
⎝⎭---⨯
⎪
⎝⎭
.
故选：D
【点睛】
本题考查三角函数中给值求值问题，属于基础题.
4．若某10人一次比赛得分数据如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（）
A．82.5 B．83 C．93 D．72
【答案】A
【解析】由茎叶图得出所有数据并从小到大排序，由于偶数个，则中位数为中间两个数之和再除以2.
【详解】
将这组数据从小到大排列为72，74，76，81，82，83，86，93，93，99，则这组数据的中位数是
8283
2
+
，即82.5
故选：A
【点睛】
本题考查读取茎叶图数据并求中位数，属于基础题.
5．已知命题:p若1
a>，则0.2
log0.21
a
a
<<；命题:q若函数22
()1
f x mx m x
=-+在(1,)
+∞上单调递增，则实数m的取值范围为(,0)(0,2]
-∞⋃，下列说法正确的是（）
A ．p q ∧为真命题
B ．q 为真命题
C ．p 为假命题
D ．()p q ⌝∧为假命题
【答案】D
【解析】结合指数函数与对数函数的性质，得到命题p 是真命题，利用二次函数的性质，得到q 是假命题，再利用复合命题的真值表，即可求解． 【详解】
由题意，若1a >，则函数log a
y x =与函数x y a =在(0,)+∞上单调递增，
所以log 0.2log 10a a <=，00.21a a >=，所以0.2
log 0.21a a <<，
即命题p 是真命题，则p ⌝为假命题；
函数22
()1f x mx m x =-+在(1,)+∞上单调递增，则满足20
12m m m >⎧⎪⎨--≤⎪⎩
，解得02m <≤，
所以命题q 是假命题．
所以p q ∧为假命题，命题 ()p q ⌝∧为假命题． 故选：D ． 【点睛】
本题主要考查了复合命题的真假判定及应用，其中解答中根据指数函数与对数函数的性质，以及一元二次函数的性质，求得命题,p q 的真假是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．
6．设实数,x y 满足不等式组123x y
x y x +≥⎧⎪
+≥⎨⎪≥⎩
，则2z x y =-的最小值为（ ）
A ．2-
B ．2
C ．1
D ．7
【答案】B
【解析】画出不等式组所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】
由题意，作出不等式组123x y x y x +≥⎧⎪
+≥⎨⎪≥⎩
所表示的平面区域，如图所示，
目标函数2z x y =-，可化为直线2y x z =-，
当直线2y x z =-过点A 时，此时直线在y 轴上的截距最大，目标函数取得最小值，
又由13
x y
x +=⎧⎨
=⎩，解得(3,4)A ，
所以目标函数的最小值为2342z =⨯-=． 故选：B ．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．
7．曲线3sin y x x =-在点()0,0处的切线方程为（ ） A ．10x y +-= B ．0x y +=
C ．10x y -+=
D ．0x y -=
【答案】B
【解析】根据导数的几何意义求出在点()0,0处的切线的斜率，再由点斜式即可得到答案． 【详解】
因为3sin y x x =-，所以23cos y x x '=-，则0x =时，1y '=-， 所以曲线3sin y x x =-在点()0,0处的切线的斜率1k =-， 所以切线方程为()00y x -=--，即0x y +=. 故选：B. 【点睛】
本题主要考查在一点处的切线方程，同时考查直线的点斜式方程，属于基础题
8．若双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的右焦点(,0)c 到渐近线的距离为2
38a c
，则双曲
线C 的离心率为（ ） A ．3 B ．
103
C ．
32
4
D ．
42
3
【答案】C
【解析】由已知右焦点到渐近线的距离与双曲线中a ,b ,c 的关系构建方程组，进而表示
2
2b a
，再由双曲线的离心率计算公式求解即可. 【详解】
由题意，得双曲线C 的右焦点(,0)c 到渐近线0bx ay -=的距离为
2
2
b a b
=+，
则2
38a b c
=，即22833bc c b =-，
所以223830c bc b --=，解得3c b =，
故2
2
2
2
8a c b b =-=，所以双曲线C 的离心率为22
3214
b a +=.
故选：C 【点睛】
本题考查由双曲线的几何性质求离心率，属于简单题.
9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A ．2212π+
B ．2412π+
C ．2612π+
D ．2012π+
【答案】A
【解析】由三视图可知，该几何体为圆柱进行切割了一个半圆柱所得的组合体，再分别计算各个表面的面积之后即可. 【详解】
由三视图可知，该几何体为圆柱进行切割了一个半圆柱所得的组合体， 所以所求表面积为2223425222212ππππ⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯⨯=+.
故选：A 【点睛】
本题考查由三视图还原立体图形并求表面积，属于基础题. 10．在ABC V 中，4
ACB π
∠=，点D 在线段BC 上，212AB BD ==，10AD =，
则AC =（ ） A ．
102
3
B 202
C ．
87
9
D ．
167
3
【答案】D
【解析】在ABD ∆中，由余弦定理求得5cos 9B =，得到214sin 9
B =，再在AB
C ∆中，由正弦定理，即可求解． 【详解】
如图所示，在ABD ∆中，由余弦定理得
222144361005
cos 221269AB BD AD B AB BD +-+-===⋅⨯⨯，所以
2214
sin 1cos 9
B B =-=
， 在ABC ∆中，由正弦定理，得sin sin AB AC C B =，解得167
3
AC =． 故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解．
11．已知函数()sin 2cos (0)f x m x x ωωω=+>图象的一个对称中心到相邻对称轴的
距离为
6π
，且(0)69f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭
，则函数()f x 在下列区间单调递减的是（ ） A ．0,
4π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,24ππ⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭ C ．,32ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．52,63ππ
⎛⎫
-
- ⎪⎝
⎭
【答案】B
【解析】根据条件图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为
6
π
可得周期T 即可求出ω的值，再由(0)69
f f π⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
求出m 的值，从而可得函数()f x 的解析式，
【详解】
依题意，图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为
6π得46
T π=， 则23
T π
=
， 所以23T
π
ω=
=， 因为(0)69f f π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3216++=，解得3m = 所以()332cos34sin 36f x x x x π⎛
⎫
=+=+ ⎪⎝
⎭
， 令
32322
6
2
k x k π
π
π
ππ+<+
<
+，k Z ∈，
解得：
2429393
k k x π
πππ
+
<<+，k Z ∈，
令1k =-，得5299
x ππ-<<-， 因为,24ππ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭
n 52,99ππ
⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
所以函数()f x 的一个单调递减区间是,24ππ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
故选：B 【点睛】
本题考查了利用函数图像性质求参数以及求三角函数的单调区间，考查了学生的计算能力，属于一般题.
12．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过y 轴上的一点E 作直线EF 与抛物线C 交于,A B 两点若EA AF =u u u r u u u r
，且||12BF =，则点A 的横坐标为（ ） A ．1 B ．3
C ．2
D ．4
【答案】C
【解析】由题可设直线:2p EF y k x ⎛
⎫
=-
⎪⎝
⎭
，将其与抛物线方程联立，由韦达定理可知12x x ，再由已知和抛物线的性质可分别表示12,x x ，最后带入韦达定理的关系式中解得
答案. 【详解】
设直线:2p EF y k x ⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
，交点()()1122,,,A x y B x y ， 将其与2
2y px =联立可得()222
2
2
204
p k k x p k x -++=，则2
124p x x =. 又焦点,0,2p F EA AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭
u u
u r u u u r ，即点A 为EF 的中点，则14p x =.
由|12|BF =，得2122
p
x =-
， 所以2
1212424
p p p x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得8p =（0p =舍去），
故12x =.
故选：C 【点睛】
本题考查直线与抛物线的相交关系，并由抛物线性质求交点横坐标，属于中档题.
二、填空题
13．已知向量()3,2m =-u r ，()1,n λ=r ，若m n ⊥u r r
，则n =r ______.
【解析】根据m n ⊥u r r
得到320m n λ⋅=-=u r r ，得到31,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭
r ，计算模长得到答案.
【详解】
根据题意，向量()3,2m =-u r ，()1,n λ=r ，m n ⊥u r r ，则320m n λ⋅=-=u r r ，解得3
2
λ=，
则31,2n ⎛⎫= ⎪⎝⎭r
，则2
n ==r
故答案为：2
. 【点睛】
本题考查了根据向量垂直求参数，向量的模，意在考查学生的计算能力.
14．已知函数223,3
()818,3
x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为
_________． 【答案】2
【解析】在同一直角坐标系中分别画出()y f x =和2y =的图象，结合图象的交点的个数，即可求解． 【详解】
由题意，在同一直角坐标系中分别作出函数()y f x =和函数2y =的图象， 如图所示，
又由当3x ≥时，函数()2
2
818(4)2f x x x x =-+=-+，
当4x =时，函数取得最小值()min (4)2f x f == 所以由图象可得()y f x =与2y =的图象有2个交点，
即函数()()2g x f x =-恰有2个零点． 故答案为:2．
【点睛】
本题主要考查了函数的零点个数的判定，以及函数图象的应用，其中解答中把函数的零点问题转化为两个函数的图象的交点个数，结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想．
15．如图，在边长为2的正六边形内随机地撒一把豆子，落在正六边形ABC DEF -内的豆子粒数为626，落在阴影区域内的豆子粒数为313，据此估计阴影的面积为_______.
【答案】33【解析】由正六边形的面积公式求得总的面积，再由几何概型概率的计算公式构建方程，求得满足条件的部分的面积，即阴影的面积. 【详解】
边长为2的正六边形的面积13
62232S =⨯
⨯⨯⨯=据题设分析即几何概型的概率可知阴影区域面积0313
6333626
S ==故答案为：33【点睛】
本题考查由几何概型的概率求图形的面积，属于基础题.
16．在四棱锥S ABCD -中，底面四边形ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，P ，Q 分别是线段BS AD ，的中点，点R 在线段SD 上，若4AS =，2AD =，AR PQ ⊥，则
AR =____________.
【答案】
45
5
【解析】取SA 的中点E ，连接,PE QE ，则//PE AB ，可证AB ⊥平面SAD ，从而可得PE ⊥平面SAD ，即可得PE AR ⊥，进而可证AR ⊥平面PEQ ，可得AR EQ ⊥，在直角ASD V 中，利用等面积法即可求出AR 的长. 【详解】
取SA 的中点E ，连接,PE QE ，则//PE AB
因为SA ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，所以SA AB ⊥， 又AB AD ⊥，AD SA A =I ，所以AB ⊥平面SAD ， 所以PE ⊥平面SAD ，又AR ⊂平面SAD ，所以PE AR ⊥. 又AR PQ ⊥，PE PQ P =I ，,PQ PE ⊂平面PEQ ,
所以AR ⊥平面PEQ ，因为EQ ⊂平面PEQ ，所以AR EQ ⊥. 因为E Q ，分别为SA AD ，的中点，所以//EQ SD ，所以AR SD ⊥, 在直角ASD V 中，42AS AD ==，，所以2216425SD AS AD =+=+=
所以45
25
AD AS AR SD ⋅=
=. 45
【点睛】
本题主要考查线面垂直的判定定理，等面积法，属于中档题.
三、解答题
17．某学校高中三个年级共有4000人，为了了解各年级学周末在家的学习情况，现通过分层抽样的方法获得相关数据如下（单位：小时），其中高一学生周末的平均学习时
间记为x .
高一：14 15 15.5 16.5 17 17 18 19 高二：15 16 16 16 17 17 18.5 高三：16 17 18 21.5 24 (1)求每个年级的学生人数；
(2)从高三被抽查的同学中随机抽取2人，求2人学习时间均超过x 的概率. 【答案】(1)高一年级1600人；高二年级1400人；高三年级1000人；(2)
35
【解析】(1)根据已知求出三个年级被抽查的人数，再利用分层抽样求解即可；
(2)根据已知求出x ，用列举法列出在高三被抽查的同学中，随机抽取2人的所有可能的情况，再列出2人学习时间均超过x 的所有可能情况，根据古典概型计算公式即可求出答案. 【详解】
(1)由于三个年级被抽查的人数分别是8，7，5， 故高一年级的学生人数为8
40001600875
⨯=++；
高二年级的学生人数为7
40001400875⨯=++；
高三年级的学生人数为5
40001000875
⨯
=++.
(2)1
(141515.516.517171819)16.58
x =+++++++=.
在高三被抽查的同学中随机抽取2人，所有可能的情况为 (16,17)，(16,18)，(16,21.5)，(16,24)，(17,18)，
(17,21.5)，(17,24)，(18,21.5)，(18,24)，(21.5,24)，共10种，
其中满足条件的为
(17,18)，(17,18)，(17,21.5)，(17,24)，(18,21.5)，(18,24)，(21.5,24)，共6种，
故所求概率63105
P ==. 【点睛】
本题主要考查分层抽样的应用、古典概型概率的计算,考查运算求解能力，属于基础题． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2
23n S n n =+.
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列112n n a a +⎧
⎫⎨
⎬+⎩⎭
的前n 项和为n T ，求证1
15n
T <. 【答案】（1）(
)*
31,n a n n N
=-∈（2）证明见解析；
【解析】（1）利用1n n n a S S -=-求通项公式，注意检验n =1是否成立； （2）由（1）表示数列11
2n n a a +⎧
⎫⎨⎬+⎩⎭
的通项公式，再由裂项相消法求其前n 项和，即可
证明. 【详解】
解：（1）当1n =时，11224S a ==，解得12a =；
当2n …
时，22123,23(1)(1)n n S n n S n n -=+=-+-， 两式相减，得262n a n =-，解得31n a n =-. 又1n =时，13112a =⨯-=， 故(
)*
31n a n n N
=-∈.
证明：（2）依题意，得1211111(32)(35)33235n n a a n n n n ++⎛⎫
==- ⎪++++⎝⎭
，
则
11111113588113235n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪++⎝⎭L 1113535n ⎛⎫=- ⎪
+⎝⎭
111153(35)15
n =
-<+， 即115
n T <
. 【点睛】
本题考查数列中利用n S 求通项公式n a ，还考查了裂项相消法求数列前n 项和进而证明不等式，属于中档题.
19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D ，E ，F 分别是1BC ，
AB ,1AA 的中点，点G 在线段BC 上，A ABC CB =∠∠.
(1)求证：//EF 平面1A BC ；
(2)若平面//EFG 平面1A BD ，90BAC ∠=o ，14AB AA ==，求点1B 到平面FEG 的距离.
【答案】(1)证明见解析；(2)23【解析】(1)由E ，F 分别是AB ，1AA 的中点，可得1//EF A B ，再由线面平行的判定定理即可证出；
(2)根据平面//EFG 平面1A BD ，可得点G 是线段BC 上靠近B 的四等分点，从而可求得12三棱锥G B EF V -=，利用等体积法即可求出点1B 到平面FEG 的距离. 【详解】
(1)因为在1A AB V 中，E ，F 分别是AB ，1AA 的中点， 所以1//EF A B ，又1A B ⊂平面1A BC ，EF ⊄平面1A BC ， 所以//EF 平面1A BC .
(2)设点1B 到平面EFG 的距离为2h ，点G 到平面1B EF 的距离为1h ，则12
2
h BG =
取BC 的中点H 连结AH ,DH ,则//1AH A D ,
又1⊂A D 平面1A BD ，AH ⊄平面1A BD ，所以//AH 平面1A BD ， 又平面//EFG 平面1A BD ，而AH ⊄平面EFG ，
所以//AH 平面EFG ，又AH ⊂平面ABC ，所以//AH EG ， 又E 为AB 的中点，所以G 为BH 的中点， 所以点G 是线段BC 上靠近B 的四等分点，所以2BG =
,
所以11111
16233
△三棱锥E E B F F B G V h S -=⋅⋅=⨯⨯=，22EF =
在ABG V 中，由余弦定理，得 222
2cos 162242102
=
+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯
=AG AB BG AB BG ABG 所以2241014FG AF AG =++ 在EFG V 中，由余弦定理，得
22257
cos 222214EF FG EG EFG EF FG +-∠===⋅⨯⨯
所以221
sin 1cos 14
EFG EFG ∠-∠=
， 所以12211121
22142332△三棱锥GEF B GEF V h S h -=⋅⋅=⋅⋅⋅=，
解得223h =1B 到平面FEG 的距离3【点睛】
本题主要考查线面平行的判定定理，等体积法求点到面的距离，属于中档题. 20．已知函数()ln (1)f x x m x =--. (1)若3m =，求函数()f x 的极值；
(2)当[1,)x ∈+∞时，()x
e e
f x e +≥，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)详见解析；(2)(,2]-∞
【解析】(1)当3m =时，()ln 3(1)f x x x =--，先求定义域，再求导并判断单调性，即可求出函数()f x 的极值；
(2)将()f x 代入得[ln (1)]x e e x m x e +--≥，即1ln (1)1x e x m x -+--≥，令1()ln (1)x g x e x m x -=--+，只需求出min ()1g x ≥即可，11
()x g x e m x
-'=+
-，令11
()e x F x m x
-=+
-，利用导数研究其单调性可得所以()F x 在[1,)+∞上单调递增，且()()121F m g '=-=，对m 分2m ≤和2m >，即可求出答案. 【详解】
(1)当3m =时，()ln 3(1)f x x x =--，函数()f x 的定义域为(0,)+∞， 所以113()3x f x x x
-'=
-=. 当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，()0f x '>，所以函数()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增；
当1
,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0f x '<，函数()f x 在1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减. 所以当13
x =
时，函数()f x 有极大值111ln 312ln 3333f ⎛⎫⎛⎫
=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极小值.
(2)依题意，得[ln (1)]x
e e x m x e +--≥，即1
ln (1)1x e x m x -+--≥，
令1()ln (1)x g x e x m x -=--+， 所以1
1()x g x e
m x -'=+
-，令11
()e x F x m x
-=+-，则121()x F x e x -'=-. 令1
21()()(0)x x F x e x x ϕ-'==-
>，所以1
3
2()0x x e x
ϕ-'=+>， 所以()F x '在[
)1,+∞上单调递增，又(1)0F '
=，当[)1,x ∈+∞时，()0F x '≥，
所以()F x 在[1,)+∞上单调递增，且()()121F m g '=-=.
当2m ≤时，[1,)x ∈+∞，()0g x '≥，()g x 在[
)1,+∞上单调递增，
()()11g x g ≥=，满足条件；
当2m >时，()120-g m '=<.
又因为ln 11
(ln 1)e
0ln 1ln 1
'+=-+
=>++m
g m m m m ，
所以0(1,ln 1)x m ∃∈-，使得()00g x '=，
当()01,,()0x x g x '∈<，当()0,ln 1,()0x x m g x ∈->，
所以()g x 在()01,x 上单调递减，()01,x x ∈，都有()()11g x g <=，不符合题意. 综上所述，实数m 的取值范围为(,2]-∞. 【点睛】
本题主要考查利用导数求函数的极值，由恒成立求参数取值范围，属于中档题．对于第(2)问进行一次求导运算后，很难判断出一阶导数的正负，也就很难对原函数的单调性作出判断，若对一阶导数继续求导，往往可以收到很好的效果，使得我们能通过二阶导数的正负，判断出一阶导数的正负，进而判断出原函数的单调性，使问题得以解决.
21．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆1C 上，
112PF F F ⊥，11PF =，且1C 的离心率为2
，抛物线22:4x C y =，点, M N 在2C 上．
（1）求椭圆1C 的方程；
（2）过点,M N 作2C 的切线12,l l ，若12l l ⊥，直线MN 与1C 交于,P Q 两点，求POQ △面积的最大值．
【答案】（1）22
142
x y +=（2．
【解析】（1）依题意，列出方程组，求得2,a b ==
（2）设MN ：y kx m =+，联立方程组，利用根与系数的关系，求得
12124,4x x k x x m +==-， 结合导数，求得1212,22
l l x x
k k =
=，得到1m =，求得MN 的方程，再利用弦长公式和点到直线的距离公式，表示出三角形POQ ∆，结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】
（1）依题意，椭圆22
122:1(0)x y C a b a b
+=>>，点P 在椭圆1C 上，
1121,1PF F F PF ⊥=，且1C
的离心率为2，
可得222
2
1c a a b c b a
⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩ ，
解得2,a b == 故椭圆1C 的方程为22
142
x y +=．
（2）设直线:MN y kx m =+，()11,M x y ，()22,N x y ，()33,P x y ，()44,Q x y ，
由24y kx m
x y =+⎧⎨=⎩，整理得2440x kx m --=，则12124,4x x k x x m +==-， 由24
x y =，可得2x y '
=，所以1212,22l l x x k k ==，
因为12l l ⊥，可得12
14
x x =-， 又12
4x x m =-，所以1m =，即直线:1MN y kx =+，
联立22114
2y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22
12420k x kx ++-=，
所以3434
22
42
,1212k x x x x k k +=-
=-++，
所以
34||PQ x =-=
又由原点到直线PQ 的距离d =
，
故
11||22OPQ S d PQ =⋅⋅==
V ，
设2
12(1)t k t =+≥，则212
t k -=，
代入上式可得OPQ
S ==≤V ，
当1t =，即0k =
时，OPQ △． 【点睛】
本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，
此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．
22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为3x y t ⎧=⎪⎨=⎪⎩t 为参数），以坐
标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
2
2
3sin 12ρρθ+=.
(1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的参数方程；
(2)若()1,0P ，直线l 与曲线C 交于,M N 两点，求PM PN +的值.
【答案】（1
）2cos 6πρθ⎛
⎫-= ⎪
⎝⎭
；2cos x y αα
=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）；（2）165 【解析】(1)先将直线l 的参数方程消去参数t 化为普通方程，再直角坐标方程与极坐标方程的互化公式，即求出直线l 的极坐标方程；同样由直角坐标方程与极坐标方程的互化公式，先将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，进而可求出曲线C 的参数方程； (2)求出直线l 的参数方程的标准形式，然后利用参数t 的几何意义，即可求出
PM PN +的值.
【详解】
(1)
依题意，得直线0l y -=
cos sin 0θρθ--=， 所以直线l
的极坐标方程为2cos 6πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
因为2
2
2
3sin 12ρρθ+=，则2
2
3412x y +=，即22
143
x y +=.
所以曲线C
的参数方程为2cos x y α
α
=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数).
(2)
因为直线0l y --=经过点()1,0P ，
故直线l
的参数方程的标准形式为1122x t y t
⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，代入22
143x y +=，
可得254120t t +-=，所以1245t t +=-
，12125
t t =-，
所以1216
||||||5
PM PN t t +=-==.
【点睛】
本题主要考查参数方程化为极坐标方程的互化，关键是掌握互化方法，同时考查直线参数方程中参数t 的几何意义，属于中档题． 23．已知函数()|2 ||2 2|f x x m x =-++. (1)若3m =，求不等式()8f x <的解集；
(2)若12,(0,)x x ∀∈∃∈+∞R ，使得()2
12232f x x x -≥-，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)79,44⎛⎫
- ⎪⎝⎭
；(2)(,4][0,)-∞-+∞U
【解析】(1) 若3m =，则()|2 3||2 2|f x x x =-++，然后对()f x 分为1x <-，
312
x -≤≤
，3
2x >三种情况讨论去掉绝对值，解不等式即可；
(2)问题转为1()3f x -的最小值大于等于2
222x x -最小值，利用绝对值不等式可求出1()f x 的最小值，利用二次函数的性质可求出2
222x x -最小值，从而问题转化为
|2|31m +-≥-，解此不等式即可．
【详解】
(1)当3m =时，|2 3|+|2 2|8x x -+<，
若1x <-，则32228x x ---<，得74x >-，所以7
14
x -<<-；
若312x -≤≤
，则322258x x -++=<，所以3
12
x -≤≤； 若32
x >，则2 3 2 28x x -++<，得94x <，所以39
24x <<，
综上所述，不等式的解集为79,44⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
(2)()11132223|2|3f x x m x m -=-++-≥+-，
而当2(0,)x ∈+∞时，()2
2
222
2111x x x -=--≥-， 所以()2
12232f x x x -≥-，等价于|2|31m +-≥-，
解得0m ≥或4m ≤-，即实数m 的取值范围为(,4][0,)-∞-+∞U . 【点睛】
本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的应用，同时考查双变量不等式恒成立的处理方法，属于中档题.。