2017北京三十一中学高三(上)期中数学(理)

2017北京三十一中学高三（上）期中
数 学（理）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案）
1．已知集合{}1,1,2A =−，{}|10B x x =+≥，则A B =（ ）．
A ．{}1,1,2−
B ．{}1,2
C ．{}1,2−
D ．{}2
2．下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是（ ）．
A ．()f x x =
B ．()ln f x x =
C ．()2x f x =
D ．()tan f x x =
3．在
ABC 中，若tan 2A =−，则cos A =（ ）． A ．55 B ．55− C ．255− D ．255
− 4．函数1(0,1)x y a a a a
=−>≠的图象可能是（ ）． A ． B ．C ． D ．
5．若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ ）．
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）．
A ．πsin 210y x ⎛⎫=− ⎪⎝
⎭ B ．πsin 25y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭ C ．1πsin 210y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭ D ．1πsin 2
20y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭ 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0)O ，(0,1)A ，(1,2)B −，(,0)C m ，若OB AC ，则实数m 的值为（ ）． A ．2− B ．12− C ．12 D ．2
8．已知函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝
⎭的最小正周期为4π，则（ ）． A ．函数()f x 的图象关于原点对称
B ．函数()f x 的图象关于直线π3x =对称
C ．函数()f x 图象上的所有点向右平移π3
个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D ．函数()f x 在区间(0,π)上的单调递增
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上）
9．若
1
2
1
()
log (21)
f x
x
=
+，则()
f x定义域__________．
10．已知
2
log5
a=，23
b=，
3
log2
c=，则a ，b，c的大小关系为__________．
11．曲线sin(0π)
y x x
=≤≤与x轴围成的封闭区域的面积为__________．
12．若sin()
y x
ωϕ
=+的图象如图
π
0,||
2
ωϕ
⎛⎫
><
⎪
⎝⎭
，则ω=__________，ϕ=__________．
13．已知向量a，b满足(,1)
a x
=，(1,1)
b=−，(2)4
b a b
⋅+=，则x=__________，a与a b
−的夹角为__________．14．数列{}n a中，12
a=，
1
n n
a a cn
+
=+（c是常数，1
n=，2，3，），且
1
a，
2
a，
3
a成公比不为1的等比数列，则c=__________，{}n a的通项公式__________．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
15．（本题满分13分）
已知
π
,π
2
α⎛⎫
∈ ⎪
⎝⎭
，tan2
α=−．
（1）求
π
tan
4
α⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
的值．
（2）求sin2cos2
αα
+的值．
16．（本题满分13分）
已知函数2
π
()2sin26sin cos2cos1
4
f x x x x x
⎛⎫
=−++−+
⎪
⎝⎭
，x∈R．
（1）求()
f x的最小正周期．
（2）求()
f x在区间
π
0,
2
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
上的最大值和最小值．
17．（本题满分14分）
在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60A =︒，32b c =，332
ABC S =． （1）求b 的值．
（2）求sin B 的值．
18．（本题满分13分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，(1)()n n S na n n n +=−−∈N ．
（1）求n a 的表达式．
（2）若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和为n T ．
19．（本小题满分13分）
已知函数2()2(1)2ln (0)f x x a x a x a =−++>．
（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程．
（2）求()f x 的单调区间．
（3）若()0f x ≤在区间[1,e]上恒成立，求实数a 的取值范围．
20．（本小题满分14分） 已知函数321()1()3
f x x ax a =−+∈R ． （1）若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线10x y −+=垂直，求a 的值．
（2）若0a >，函数()y f x =在区间2(,3)a a −上存在极值，求a 的取值范围．
（3）若2a >，求证：函数()y f x =在(0,2)上恰有一个零点．
数学试题答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案）
1．
【答案】A
【解析】∵集合{}1,1,2A =−，
集合{}{}|10|1B x x x x =+=−≥≥，
∴集合{}1,1,2A B =−．
故选A ．
2．
【答案】C
【解析】A 项，()f x x =的值域是[0,)+∞；
B 项，()ln f x x =的值域是R ；
C 项，()2x f x =的值域是(0,)+∞；
D 项，()tan f x x =的值域是R ．
故选C ．
3．
【答案】B 【解析】由题意可知，sin tan 20cos A A A =
=−<， 即sin 2cos A A =−，
又22sin cos 1A A +=， 所以21cos 5
A =，A 为钝角， 所以5cos 5
A =−
． 故选B ．
4．
【答案】D 【解析】函数1x y a a =−（0a >且1a ≠）的图象可以看成把函数x y a =的图象向下平移1a
个单位得到的． 当1a >时，函数1x y a a
=−在R 上是增函数，且图象过点(1,0)−，故排除A ，B ； 当01a <<时，函数1x y a a =−
在R 上是减函数，且图象过点(1,0)−，故排除C ． 故选D ．
5．
【答案】B
【解析】“2a a >”等价于“0a <或1a >”，
所以“2a a >”是“1a >”的必要不充分条件．
故选B ．
6．
【答案】C
【解析】将函数sin y x =的图像上所有的点向右平行移动
π10个单位长度可得到πsin 10y x ⎛⎫=− ⎪⎝
⎭的图象， 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍， 得到函数1πsin 210y x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭的图象． 故选C ．
7．
【答案】C
【解析】由已知可得(1,2)OB =−，(,1)AC m =−，
因为OB AC ，
所以21m −=−， 解得12
m =． 故选C ．
8．
【答案】C 【解析】已知函数π()sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭的最小正周期是4π， 所以2π
4πω=，可得12ω=．则1π()sin 2
6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． A 项，因为π1(0)sin 062
f ==≠，所以函数()f x 的图象不关于原点对称，故A 项错误； B 项，因为π5π1sin 1362f ⎛⎫==≠± ⎪⎝⎭
，所以函数()f x 的图象不关于直线π3x =对称，故B 错误； C 项，函数()f x 图象上所有的点向右平移π3个单位长度后得到1ππ1sin sin 2362y x x ⎡⎤⎛⎫=−+= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦的图象，关于原点对称，故C 项正确；
D 项，当0πx <<时，1ππ2π,2663x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭
， 令
π1ππ6262x <+<，得2π03x <<， 令π1π2π2263x <+<，得2ππ3
x <<， 所以函数()f x 在2π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2π,π3⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减，故D 项错误． 故选C ．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上） 9． 【答案】1,02⎛⎫− ⎪⎝⎭
【解析】要使函数有意义，则
1221
0log (21)0x x +>⎧⎪⎨+>⎪⎩，
解得102
x −<<， 故()f x 的定义域为1,02⎛⎫− ⎪⎝⎭．
10．
【答案】a b c >>
【解析】22log 5log 42a =>=，2log 3(1,2)b =∈，33log 2log 31c =<=，
故a b c >>．
11．
【答案】2
【解析】sin (0π)y x x =≤≤与x 轴所围成的封闭区域的面积
π
0πsin d cos cos πcos020S x x x ==−=−+=⎰．
12．
【答案】12；π6
【解析】由图象可知2πππ433
T =+=， 所以2π
4πT ω==，故12ω=
． 1()sin 2f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
， 因为2ππsin 133f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 所以ππ2π32k ϕ+=+，k ∈Z ，π2π6
k ϕ=+，k ∈Z ． 又π||2ϕ<
，故π6ϕ=．
13．
【答案】1
【解析】已知(,1)a x =，(1,1)b =−，则2(2,3)a b x +=−，
由于(2)4b a b ⋅+=，
所以(2)34x −−+=，解得1x =．
14．
【答案】2；22n a n n =−+
【解析】∵12a =，1n n a a cn +=+，
∴212a a c c =+=+，32223a a c c =+=+，
∵1a ，2a ，3a 成公比不为1的等比数列，
∴22
13a a a =，即2(2)2(22)c c +=+， 解得0c =（舍去）或2c =．
∴12n n a a n +=+，即12n n a a n +−=，
则121321()()n n n a a a a a a a a −=+−+−+
+− 2242(1)n =+++
+− 22(1)2(1)2
n n +−=+⨯− 22n n =−+，
故数列{}n a 的通项公式为22n a n n =−+．
三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．
【答案】见解析．
【解析】（1）∵tan 2α=−， ∴π
tan tan
πtan 12114tan π41tan 1(2)31tan tan 4ααααα++−+⎛⎫+====− ⎪−−−⎝
⎭−+． （2）由π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，tan 2α=−， 得2sin 5α=，1cos 5
α=−， ∴22437sin 2cos22sin cos cos sin 555
αααααα+=+−=−−=−．
16．
【答案】见解析．
【解析】（1）∵1sin cos sin 22x x x =，21cos (1cos2)2
x x =+， ∴2π()2sin 26sin cos 2cos 14f x x x x x ⎛⎫=−++−+ ⎪⎝
⎭ sin 2cos23sin 2(1cos2)1x x x x =−−+−++
2sin 22cos 2x x =−
π22sin 24x ⎛⎫=− ⎪⎝
⎭， ∴()f x 的最小正周期2ππ2
T =
=． （2）∵π02x ≤≤，
∴ππ3π2444
x −−≤≤， ∴当0x =时，πsin 24x ⎛⎫− ⎪⎝⎭取得最小值22
−； 当3π8x =时，πsin 24x ⎛⎫− ⎪⎝
⎭取得最大值1， ∴当3π8x =
时，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上取得最大值，max 3π()228f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭． 当0x =时，()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上取得最小值，min ()(0)2f x f ==−．
17．
【答案】见解析．
【解析】（1）∵60A =︒，332
ABC S =， ∴11333sin602222
bc bc ︒=⋅=，整理得：6bc =， 又∵32b c =，
∴2b =，3c =．
（2）∵2b =，3c =，60A =︒，
∴由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+−，即2222367a =+−=，解得7a =， 由正弦定理得：
sin sin a b A B =，即72sin 60sin B =︒， 解得21sin 7
B =
．
18．
【答案】见解析．
【解析】（1）当2n ≥时11(1)2(1)n n n n n a S S na n a n −−=−=−−−−，
∴12(2)n n a a n −−=≥，
∴数列{}n a 是以11a =为首项，以2为公差的等差数列，
∴21n a n =−．
（2）数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ， 则1223
1111n n n T a a a a a a +=+++ 1111335(21)(21)n n =+++⨯⨯−+ 11111111121335572121n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−+−+−++− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥−+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎣⎦ 111221n ⎛⎫=− ⎪+⎝⎭
21
n n =+．
19．
【答案】见解析．
【解析】（1）∵1a =，
∴2
()42ln f x x x x =−+，22242()24x x f x x x x −+'=−+=（其中0x >）， ∴(1)3f =−，(1)0f '=，
∴曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为3y =−．
（2）∵2()2(1)2ln f x x a x a x =−++（其中0a >）， ∴2()22(1)a f x x a x
'=−++ 222(1)2x a x a x
−++= 2(1)()x x a x
−−=（其中0x >）， 由()0f x '=，得1x a =，21x =；
①当01a <<时，
在(0,)x a ∈和(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，
在(,1)x a ∈时，()0f x '<，
∴()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ；
②当1a =时，在(0,)x ∈+∞时，()0f x '≥，
∴()f x 的单调增区间是(0,)+∞；
③当1a >时，在(0,1)x ∈和(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，在(1,)x a ∈时，()0f x '<， ∴()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a ．
综上所述，当01a <<时，()f x 的单调增区间是(0,)a 和(1,)+∞，单调减区间是(,1)a ；
当1a =时，()f x 的单调增区间是(0,)+∞；
当1a >时，()f x 的单调增区间是(0,1)和(,)a +∞，单调减区间是(1,)a ．
（3）由（2）知：
当01a <≤时，()f x 在区间[1,e]上是增函数，最大值是(e)f ；
当1a >时，()f x 在区间[1,e]上只可能有极小值点，最大值只能在区间的端点处取到， 即有(1)12(1)210f a a =−+=−−≤， ∴12
a −≥， 且22(e)e 2(1)e 2e 2e 2(e 1)0f a a a =−++=−−−≤， 整理得2e 2e 2e 2
a −−≥． 综上，a 的取值范围是2e 2e ,2e 2⎡⎫−+∞⎪⎢−⎣⎭
．
20．
【答案】见解析．
【解析】（1）2()2f x x ax '=−，(1)12f a '=−，
∵曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线10x y −+=垂直，
∴(1)121f a '=−=−，
∴1a =．
（2）令()0f x '=，即(2)0x x a −=，得0x =或2x a =．
∵0a >，所以0x =不在区间2(,3)a a −内，要使函数在区间2(,3)a a −上存在极值， 只需223a a a <<−．
解得3a >．
（3）证明：令()0f x '=，得0x =或2x a =，
∵2a >，
∴24a >，
∴()0f x '<在(0,2)上恒成立，函数()f x 在(0,2)内单调递减，
又∵(0)10f =>，1112(2)03a
f −=<，
∴()f x 在(0,2)上恰有一个零点．
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