人教版第八章 二元一次方程组单元自检题检测试卷

人教版第八章二元一次方程组单元自检题检测试卷
一、选择题
1．下列各方程中，是二元一次方程的是（）
A．
2
5 3
x
y
x
y
-=+B．x+y=1 C．2
1
1
5
x y
=+D．3x+1=2xy
2．用加减法将方程组
2311
255
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=-
⎩
中的未知数x消去后，得到的方程是（）．A．26
y=B．816
y=C．26
y
-=D．816
y
-=
3．小明去商店购买A B
、两种玩具，共用了10元钱，A种玩具每件1元，B种玩具每件2元．若每种玩具至少买一件，且A种玩具的数量多于B种玩具的数量．则小明的购买方案有（）
A．5种B．4种C．3种D．2种
4．已知∠A、∠B互余，∠A比∠B大30°，设∠A、∠B的度数分别为x°、y°，下列方程组中符合题意的是（）
A．
180
30
x y
x y
+=
⎧
⎨
=-
⎩
B．
180
+30
x y
x y
+=
⎧
⎨
=
⎩
C．
90
30
x y
x y
+=
⎧
⎨
=-
⎩
D．
90
+30
x y
x y
+=
⎧
⎨
=
⎩
5．已知
2
x
y a
=
⎧
⎨
=
⎩
是方程25
x y
+=的一个解，则a的值为( )
A．1
a=-B．1
a=C．
2
3
a=D．
3
2
a=
6．已知关于x、y的二元一次方程组
4
34
ax y
x by
-=
⎧
⎨
+=
⎩
的解是
2
2
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
，则+
a b的值是（）A．1 B．2 C．﹣1 D．0
7．已知方程组111
222
a x
b y c
a x
b y c
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解是
3
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，则方程组111
222
325
325
a x
b y c
a x
b y c
+=
⎧
⎨
+=
⎩
的解是（）A．
1
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
B．
3
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
C．
10
10
3
x
y
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
D．
5
10
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
8．如图，8块相同的小长方形地砖拼成一个长方形，其中每一个小长方形的面积为
（）
A．400cm2B．500cm2C．600cm2D．675cm2
9．已知方程组512x y ax by +=⎧⎨+=⎩和5216
13
x y bx ay +=⎧⎨+=⎩的解相同，则a 、b 的值分别是（ ）
A ．2，3
B ．3，2
C ．2，4
D ．3，4
10．已知关于x ，y 的方程组232x y a
x y a
-=-⎧⎨
+=⎩，其中﹣2≤a≤0．下列结论：①当a ＝0时，
x ，y 的值互为相反数；②2
x y =⎧⎨
=⎩是方程组的解；③当a ＝﹣1时，方程组的解也是方程2x
﹣y ＝1﹣a 的解；其中正确的是（ ） A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
二、填空题
11．三位先生A 、B 、C 带着他们的妻子a 、b 、c 到超市购物，至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测：他们6人，每人花在买商品的钱数（单位：元）正好等于商品数量的平方，而且每位先生都比自己的妻子多花48元钱，又知先生A 比b 多买9件商品，先生B 比a 多买7件商品．则先生A 的妻子是__________．
12．若m 1，m 2，…，m 2019是从0，1，2，这三个数中取值的一列数，
m 1+m 2+…+m 2019=1525，（ m 1-1）2+（m 2-1）2+…+（m 2019-1）2=1510，则在m 1，m 2，…，m 2019中，取值为2的个数为___________．
13．已知点 C 、D 是线段AB 上两点（不与端点A 、B 重合），点A 、B 、C 、D 四点组成的所有线段的长度都是正整数，且总和为29，则线段AB 的长度为__________________ .
14．已知关于x 、y 的方程组135x y a
x y a +=-⎧⎨-=+⎩
，给出下列结论：①当1a =时，方程组的解
也是方程3x y -=的解；②当x 与y 互为相反数时，1a =③不论a 取什么实数，2x y
+的值始终不变；④若1
2
z xy =，则z 的最大值为1.正确的是________（把正确答案的序号全部都填上）
15．小明、小红和小光共解出了100道数学题目，每人都解出了其中的60道题目，如果将其中只有1人解出的题目叫做难题，2人解出的题目叫做中档题，3人都解出的题目叫做容易题，那么难题比容易题多________道.
16．我校团委组织初三年级50名团员和鲁能社区36名社区志愿者共同组织了义务植树活动，为了便于管理分别把50名同学分成了甲、乙两组，36名志愿者分成了丙、丁两组.甲、丙两组到A 植树点植树，乙、丁两组到B 植树点植树，植树结束后统计植树成果得知：甲组人均植树量比乙组多2棵，丙、丁两组人均植树量相同，且是乙组人均植树量的2.5倍，A 、B 两个植树点的人均植树量相同，且比甲组人均植树量高25%.已知人均植树量为整数，则我校学生一共植树________棵.
17．一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是2
4x y =⎧⎨=⎩
和
2
4x y =-⎧⎨=-⎩
，试写出符合要求的方程组________（只要填写一个即可）． 18．对于有理数，规定新运算：x ※y =ax +by +xy ，其中a 、b 是常数，等式右边的是通常的加法和乘法运算. 已知：2※1=7 ,（-3）※3=3 ,则
1
3
※b =__________. 19．有两种消费券：A 券，满60元减20元，B 券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元，30元．小敏有一张A 券，小聪有一张B 券，他们都购了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，则所购商品的标价是_____元．
20．有甲乙丙三堆苹果共432个，第一次从甲堆中拿出乙堆的个数给乙，第二次从乙堆中拿出丙堆的个数放入丙堆，第三次从丙堆中拿出现在的甲堆个数放入甲堆，最后甲乙丙三堆苹果数相等，则甲堆原来有____个苹果．
三、解答题
21．当,m n 都是实数，且满足28m n =+，就称点21,
2n P m +⎛⎫
- ⎪⎝⎭
为“爱心点”． （1）判断点()5,3A 、()4,8B 哪个点为“爱心点”，并说明理由；
（2）若点(),4A a -、()4,B b 是“爱心点”，请判断A 、B 两点的中点C 在第几象限？并说明理由；
（3）已知P 、Q 为有理数，且关于x 、y 的方程组333x y p q x y p q
⎧+=+⎪⎨-=-⎪⎩解为坐标的点
(),B x y 是“爱心点”，求p 、q 的值．
22．某县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是20040cm cm ⨯的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A 型与B 型两种板材．如图甲所示．（单位cm ） （1）列出方程（组），求出图甲中a 与b 的值；
（2）在试生产阶段，若将625张标准板材用裁法一裁剪，125张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A 型与B 型板材做侧面和底面，刚好可以做成图乙的竖式与横式两种无盖礼品盒．求可以做竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？
23．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（a,a），点B的坐标（b,c），且
a、b、c满足
346
24 a b c
a b c
+-=
⎧
⎨
-+=-⎩
.
(1)若a没有平方根，判断点A在第几象限并说明理由.
(2)连AB、OA、OB，若△OAB的面积大于5而小于8，求a的取值范围；
(3)若两个动点M（2m,3m-5），N(n-1,-2n-3)，请你探索是否存在以两个动点M、N为端点的线段MN∥AB，且MN=AB．若存在，求出M、N两点的坐标；若不存在，请说明理由.
24．a取何值时(a为整数），方程组
24
20
x ay
x y
+=
⎧
⎨
-=
⎩
的解是正整数，并求这个方程组的解．
25．百脑汇商场中路路通商店有甲、乙两种手机内存卡，买2个甲内存卡和1个乙内存卡用了90元，买3个甲内存卡和2个乙内存卡用了160元．
（1）求甲、乙两种内存卡每个各多少元？
（2）如果小亮准备购买甲．乙两种手机内存卡共10个，总费用不超过350元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
（3）某天，路路通售货员不小心把当天上午卖的甲、乙种手机内存卡的销售量统计单丢失了，但老板记得每件甲内存卡每个赚10元，乙内存卡每个赚15元，一上午售出的内存卡共赚了100元，请你帮助老板算算有几种销售方案？并直接写出销售方案．
26．（1）阅读下列材料并填空：
对于二元一次方程组
4354
{
336
x y
x y
+=
+=
，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数
表
4354
()
1336
，求得的一次方程组的解{
x a
y b
=
=
，用数表可表示为
10
)
01
a
b
（．用数表可
以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白：
从而得到该方程组的解为x= ，y= ．
（2）仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组
236
{
2
x y
x y
+=
+=
的过程．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【解析】
根据二元一次方程的定义对四个选项进行逐一分析． 解：A 、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项错误；
B 、含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，是二元一次方程，故本选项正确；
C 、
D 、含有两个未知数，并且未知数的最高次数是2，是二元二次方程，故本选项错误． 故选B ．
2．D
解析：D 【分析】
方程组两方程相减消去x 即可得到结果． 【详解】
解：2311?
255? x y x y -=⎧⎨+=-⎩
①②
②-①得：8y=-16，即-8y=16， 故选D ． 【点睛】
本题考查解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3．C
解析：C 【分析】
设A 种玩具的数量为x ，B 种玩具的数量为y ，根据共用10元钱，可得关于x 、y 的二元
一次方程，继而根据1
1x y x y ≥≥，，＞以及x 、y 均为正整数进行讨论即可得. 【详解】
设A 种玩具的数量为x ，B 种玩具的数量为y ， 则210x y +=， 即52
x
y =－
， 又x 、y 均为正整数，且11x y x y ≥≥，，＞， 当2x ＝时，4y ＝
，不符合； 当4x ＝时，3y ＝，符合； 当6x ＝时，2y ＝，符合；
当8x ＝时，1y ＝，符合， 共3种购买方案， 故选C. 【点睛】
本题考查了二元一次方程的应用——方案问题，弄清题意，正确进行分析是解题的关键.
4．D
解析：D 【解析】
试题解析：∠A 比∠B 大30°， 则有x=y+30， ∠A ，∠B 互余， 则有x+y=90． 故选D ．
5．B
解析：B 【分析】
直接把2x y a =⎧⎨=⎩
代入方程，即可求出a 的值．
【详解】
解：根据题意，
∵2
x y a
=⎧⎨
=⎩是方程25x y +=的一个解， ∴225a ⨯+=， ∴1a =； 故选：B ． 【点睛】
本题考查了二元一次方程的解，以及解一元一次方程，解题的关键是掌握运算法则进行解题．
6．B
解析：B 【分析】 将22x y =⎧⎨
=-⎩代入4
34ax y x by -=⎧⎨+=⎩
即可求出a 与b 的值； 【详解】
解：将22x y =⎧⎨=-⎩代入434ax y x by -=⎧⎨+=⎩
得：
1
1a b =⎧⎨=⎩
， ∴2a b +=； 故选B ． 【点睛】
本题考查二元一次方程组的解；熟练掌握方程组与方程组的解之间的关系是解题的关键．
7．D
解析：D 【分析】 将方程组变形，设32,55
x y
m n ==，结合题意得出m=3，n=4，即可求出x ，y 的值． 【详解】
解：方程组111222325325a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩可以变形为：方程组11122232··55
32··5
5x
y a b c x y a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
设
32,55
x y
m n ==， 则方程组可变为111222·
··
·a m b n c a m b n c +=⎧⎨
+=⎩，
∵方程组111222a x b y c a x b y c +=⎧⎨
+=⎩的解是3
4
x y =⎧⎨=⎩，
∴方程组1112
22····a m b n c a m b n c +=⎧⎨+=⎩的解是3
4m n =⎧⎨=⎩，
∴
323,455x y ==，解得：x=5，y=10， 故选：D ． 【点睛】
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．弄清题意是解本题的关键．
8．D
解析：D 【解析】
试题分析：设小长方形的宽为xcm ，则长为3xcm ，根据图示列式为x+3x=60cm ，解得x=15cm ，因此小长方形的面积为15×15×3=675cm 2. 故选D.
点睛：此题主要考查了读图识图能力的，解题时要认真读图，从中发现小长方形的长和宽
的关系，然后根据关系列方程解答即可.
9．B
解析：B 【分析】
由于这两个方程组的解相同，所以可以把这两个方程组中的第一个方程联立再组成一个新的方程组，然后求出x 、y 的解，把求出的解代入另外两个方程，得到关于a ，b 的方程组，即可求出a 、b 的值． 【详解】 根据题意，得：5
5216
x y x y +=⎧⎨
+=⎩，
解得：2
3
x y =⎧⎨
=⎩， 将2x =、3y =代入12
13
ax by bx ay +=⎧⎨
+=⎩，
得：2312
2313a b b a +=⎧⎨
+=⎩，
解得：3
2
a b =⎧⎨
=⎩， ∴a 、b 的值分别是3、2． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了二元一次方程组的解，理解方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值是解题的关键．
10．B
解析：B 【分析】
把a ＝0代入方程组，可求得方程组的解，把2
0x y =⎧⎨=⎩
代入方程组，可得a ＝1，可判断②；
把a ＝﹣1代入方程可求得a 的值为2，可判断③；可得出答案． 【详解】
解：①当a ＝0时，原方程组为230x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得1
1x y =-⎧⎨=⎩
，
②把2
0x y =⎧⎨
=⎩
代入方程组得到a ＝1，不符合题意． ③当a ＝﹣1时，原方程组为242x y x y -=⎧⎨
+=-⎩，解得0
2x y =⎧⎨=-⎩
，
当02x y =⎧⎨=-⎩
时，代入方程组可求得a ＝﹣1，
把02x y =⎧⎨=-⎩
与a ＝﹣1代入方程2x ﹣y ＝1﹣a 得，方程的左右两边成立，
综上可知正确的为①③． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解是解题的关键．
二、填空题
11．【分析】
设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且与有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y 的值，再找出符合和 解析：c
【分析】
设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，妻子买了y 件商品，列出关于x 、y 的二元二次方程，再根据x 、y 都是正整数，且x y +与x y -有相同的奇偶性，即可得出关于x 、y 的二元一次方程组，求出x 、y 的值，再找出符合9x y -=和7x y -=的情况即可进行解答． 【详解】
设一对夫妻，丈夫买了x 件商品，则钱数为2x ，妻子买了y 件商品，则钱数为2
y ，
依题意有x 2-y 2=48，即()()48x y x y +-=， ∵x 、y 都是正整数，且x y +与x y -有相同的奇偶性， 又∵x y x y +>-，48=24×2=12×4=8×6，
∴242x y x y +=⎧⎨-=⎩或124x y x y +=⎧⎨-=⎩或86x y x y +=⎧⎨-=⎩
，
解得13x =，11y =或8x =，4y =或7x =，1y =，
符合9x y -=的只有一种，可见A 买了13件商品，b 买了4件， 同时符合7x y -=的也只有一种，可知B 买了8件，a 买了1件， ∴C 买了7件，c 买了11件．
由此可知三对夫妻的组合是：A 、c ；B 、b ；C 、a ． 故答案为：c ． 【点睛】
本题考查了不定方程组的解及数的奇偶性，根据题意列出关于x 、y 的不定方程是解答此题的关键．
12．508
【分析】
先设0有a个，1有b个，2有c个，根据据题意列出方程组求解即可．【详解】
解：设0有a个，1有b个，2有c个，
由题意得：
解得：
故取值为2的个数为508个，
故答案为：508
解析：508
【分析】
先设0有a个，1有b个，2有c个，根据据题意列出方程组
2019
21525
1510
a b c
b c
a c
++=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩
求解即
可．
【详解】
解：设0有a个，1有b个，2有c个，
由题意得：
2019
21525
1510
a b c
b c
a c
++=
⎧
⎪
+=
⎨
⎪+=
⎩
解得：
1002
509
508 a
b
c
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
故取值为2的个数为508个，
故答案为：508．
【点睛】
此题主要考查了三元一次方程组的应用，会根据题意设未知数列方程并正确求解是解题的关键．
13．8或9
【分析】
根据题意画出图形，可得图中共有线段6条，分别为AC、CD、DB，AD、BC、AB，然后根据所有线段的和为29可得关于AB、CD的等式，继而根据所有线段的长都是正整数以及AB>CD利
解析：8或9
【分析】
根据题意画出图形，可得图中共有线段6条，分别为AC、CD、DB，AD、BC、AB，然后根据所有线段的和为29可得关于AB、CD的等式，继而根据所有线段的长都是正整数以及
AB>CD 利用二元一次方程的解的概念进行求解即可.
【详解】
如图，图中共有线段6条，分别为AC 、CD 、DB ，AD 、BC 、AB ，
由题意得：AC+CD+DB+AD+BC+AB=29，
∵AC+CD+DB=AB ，AD=AC+CD ，BC=CD+DB ，
∴3AB+CD=29，
又∵所有线段的长度都是正整数，AB>CD ，
∴AB=8，CD=5或AB=9，CD=2，
即AB 的长度为8或9，
故答案为：8或9.
【点睛】
本题考查了线段的和差，二元一次方程的正整数解等知识，正确画出图形，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
14．①③④
【分析】
根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】
解：当a=1时，
，解得： ，
则，
∴①错误；
当x 与y 互为相反数时，，得，
∴②正确；
解析：①③④
【分析】
根据题目中的条件代入原来的方程组中，即可判断结论是否成立，从而可以解答本题．
【详解】
解：当a=1时，
08x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得：44
x y =⎧⎨=-⎩ ， 则()448x y -=--=，
∴①错误；
当x 与y 互为相反数时，01a =-，得1a =，
∴②正确；
∵135x y a x y a +=-⎧⎨-=+⎩，解得：322x a y a =+⎧⎨=--⎩
， 则()()223224x y a a +=++--=，
∴③正确； ∴()()()21132221122
z xy a a a ==+--=-++≤， 即若12
z xy =
则z 的最大值为1， ∴④正确，
综上说述，正确的有：①③④，
故答案为： ①③④. 【点睛】
本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程的解，解答本题的关键是明确题意，可以判断题目中的各个结论是否成立．
15．【分析】
本题可设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题，因为小明、小林和小颖共解出100道数学题，所以x+y+z=100①，又因每人都解出了其中的60道，只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档
解析：【分析】
本题可设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题，因为小明、小林和小颖共解出100道数学题，所以x+y+z =100①，又因每人都解出了其中的60道，只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，所以有x+2y+3z =180②，①×2-②，得x-z =20，所以难题比容易题多20道．
【详解】
设x 道难题，y 道中档题，z 道容易题。

10023180x y x x y z ++=⎧⎨++=⎩
①② ①×2−②，得x−z =20，
∴难题比容易题多20道.
故填20.
【点睛】
本题考查三元一次方程组的应用，本题中列方程组时有三个未知数，但只能列两个方程，所以不能把所有的未知数都解出来，只需要解出x-z 即可.
16．320
【解析】
【分析】
设甲组分得a 人，则乙组为（50-a ）人，丙组为b 人，则丁组为（36-b ）人；再
设全部人均种树x棵，则甲组人均种x÷（1+25%）=0.8x棵，乙组人均种
（0.8x-2）棵
解析：320
【解析】
【分析】
设甲组分得a人，则乙组为（50-a）人，丙组为b人，则丁组为（36-b）人；再设全部人均种树x棵，则甲组人均种x÷（1+25%）=0.8x棵，乙组人均种（0.8x-2）棵，丙、丁两组人均植树2.5（0.8x-2）=（2x-5）棵，根据题意列出方程，整理后可得a=140-13x，再根据a 和x的取值范围确定a和x的值，从而得到植树的数量。

【详解】
解：设甲组分得a人，则乙组为（50-a）人，丙组为b人，则丁组为（36-b）人；再设全部人均种树x棵，则甲组人均种x÷（1+25%）=0.8x棵，乙组人均种（0.8x-2）棵，丙、丁两组人均植树2.5（0.8x-2）=（2x-5）棵。

根据题意得：
0.8xa+（0.8x-2）（50-a）+36（2x-5）=(50+36)x
整理得：13x+a=140
a=140-13x
因为x,0.8x都是正整数，可得x是5的倍数，又因为0＜a＜50,a是正整数,
经试算可得x=10，a=10,
所以我校学生一共植树: 0.8xa+（0.8x-2）（50-a）
=0.8×10×10+（0.8×10-2）（50-10）
=320棵
故答案为320.
【点睛】
本题考查了代数式，多元一次方程，和求二元一次方程的特殊解。

题中数量关系比较复杂，难度较大。

17．【分析】
从方程组的两组解入手，找到两组解之间的乘积关系为二元二次方程，倍数关系为二元一次方程，联立方程组即可.
【详解】
解：根据方程组的解可看出：xy=8，y=2x，
∴符合要求的方程组为.
解析：
2
8 y x xy
=
⎧
⎨
=⎩
【分析】
从方程组的两组解入手，找到两组解之间的乘积关系为二元二次方程，倍数关系为二元一次方程，联立方程组即可.
【详解】
解：根据方程组的解可看出：xy=8，y=2x，
∴符合要求的方程组为
2
8 y x xy
=
⎧
⎨
=⎩
.
【点睛】
根据未知数的解写方程组的题目通常是利用解之间的数量关系（和差关系或倍数关系等）来表示方程组的解.
18．【解析】
由题意得：，
解得：a=,b=，
则※b=a+b²+=，
故答案为 .
点睛：此题考查二元一次方程组的解法和新运算的问题，解题的关键是要弄明白新的运算顺序及运算规律，并根据运算顺序结合
解析：61 3
【解析】
由题意得：
227
{
3393 a b
a b
++=
-+-=
，
解得：a=1
3
,b=
13
3
，
则1
3
※b=
1
3
a+b²+
1
3
=
11691361
9993
++=，
故答案为61 3
.
点睛：此题考查二元一次方程组的解法和新运算的问题，解题的关键是要弄明白新的运算顺序及运算规律，并根据运算顺序结合已知条件得到方程组，求出a、b的值.
19．100或85．
【分析】
设所购商品的标价是x元，然后根据两人共付款150元的等量关系，分所购商品的标价小于90元和大于90元两种情况，分别列出方程求解即可．
【详解】
解：设所购商品的标价是x元，
解析：100或85．
【分析】
设所购商品的标价是x元，然后根据两人共付款150元的等量关系，分所购商品的标价小于90元和大于90元两种情况，分别列出方程求解即可．
【详解】
解：设所购商品的标价是x元，则
①所购商品的标价小于90元，
x ﹣20+x ＝150，
解得x ＝85；
②所购商品的标价大于90元，
x ﹣20+x ﹣30＝150，
解得x ＝100．
故所购商品的标价是100或85元．
故答案为100或85．
【点睛】
本题主要考查了一元一次方程的应用，正确运用分类讨论思想是解答本题的关键．
20．【分析】
可设甲堆原来有x 个苹果，乙堆原来有y 个苹果，丙堆原来有z 个苹果，根据等量关系：甲乙丙三堆苹果共432个，第一次从甲堆中拿出乙堆的个数给乙，第二次从乙堆中拿出丙堆的个数放入丙堆，第三次从丙
解析：【分析】
可设甲堆原来有x 个苹果，乙堆原来有y 个苹果，丙堆原来有z 个苹果，根据等量关系：甲乙丙三堆苹果共432个，第一次从甲堆中拿出乙堆的个数给乙，第二次从乙堆中拿出丙堆的个数放入丙堆，第三次从丙堆中拿出现在的甲堆个数放入甲堆，最后甲乙丙三堆苹果数相等，列出方程即可求解．
【详解】
解：设甲堆原来有x 个苹果，乙堆原来有y 个苹果，丙堆原来有z 个苹果，依题意有 ()432x y z x y x y y y z z z x y ++=⎧⎨-+-=+-=+--⎩
， 解得19812688x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩
．
故甲堆原来有198个苹果．
故答案为：198．
【点睛】
考查了三元一次方程组的应用，在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程．
三、解答题
21．（1）()5,3A 为爱心点，理由见解析；（2）第四象限，理由见解析；（3）0p =，q =23
- 【分析】
（1）分别把A、B点坐标，代入（m﹣1，
2
2
n+
）中，求出m和n的值，然后代入2m＝
8+n检验等号是否成立即可；
（2）把点A（a，﹣4）、B（4，b）各自代入（m﹣1，
2
2
n+
）中，分别用a、b表示出
m、n，再代入2m＝8+n中可求出a、b的值，则可得A和B点的坐标，再根据中点坐标公式即可求出C点坐标，然后即可判断点C所在象限；
（3）解方程组，用q和p表示x和y，然后代入2m＝8+n可得关于p和q的等式，再根据p，q为有理数，即可求出p、q的值．
【详解】
解：（1）A点为“爱心点”，理由如下：
当A（5，3）时，m﹣1＝5，
2
2
n+
＝3，
解得：m＝6，n＝4，则2m＝12，8+n＝12，所以2m＝8+n，
所以A（5，3）是“爱心点”；
当B（4，8）时，m﹣1＝4，
2
2
n+
＝8，
解得：m＝5，n＝14，显然2m≠8+n，
所以B点不是“爱心点”；
（2）A、B两点的中点C在第四象限，理由如下：∵点A（a，﹣4）是“爱心点”，
∴m﹣1＝a，
2
2
n+
＝﹣4，
解得：m＝a+1，n＝﹣10．
代入2m＝8+n，得2（a+1）＝8﹣10，解得：a＝﹣2，所以A点坐标为（﹣2，﹣4）；
∵点B（4，b）是“爱心点”，
同理可得m＝5，n＝2b﹣2，
代入2m＝8+n，得：10=8+2b﹣2，解得：b＝2．
所以点B坐标为（4，2）．
∴A、B两点的中点C坐标为（
2442
,
22
-+-+
），即（1，﹣1），在第四象限．
（3）解关于x，y
的方程组
3
x y q
x y q
⎧+=+
⎪
⎨
-=-
⎪⎩
，
得：
2
x q
y q
⎧=-
⎪
⎨
=
⎪⎩
．
∵点B（x，y）是“爱心点”，
∴m﹣1
﹣q，
2
2
n+
＝2q，
解得：m
﹣q+1，n＝4q﹣2．
代入2m＝8+n，得：﹣2q+2＝8+4q﹣2，
整理得﹣6q＝4．
∵p，q为有理数，若使p﹣6q结果为有理数4，
则P＝0，所以﹣6q＝4，解得：q＝﹣2
3
．
所以P＝0，q＝﹣2
3
．
【点睛】
本题是新定义题型，以“爱心点”为载体，主要考查了解二元一次方程组、中点坐标公式等知识以及阅读理解能力和迁移运用能力，正确理解题意、熟练掌握二元一次方程组的解法是关键．
22．（1）
50
40
a
b
；（2）竖式无盖礼品盒200个，横式无盖礼品盒400个．
【分析】
（1）由图示利用板材的长列出关于a、b的二元一次方程组求解；
（2）根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数，然后根据竖式与横式礼品盒所需要的A、B两种型号板材的张数列出关于x、y的二元一次方程组，然后求解即可．
【详解】
解：（1）由题意得：310200
330200
a b
a b
，
解得：
50
40
a
b
，
答：图甲中a与b的值分别为：50、40；
（2）由图示裁法一产生A型板材为：3×625=1875，裁法二产生A型板材为：1×125=125，所以两种裁法共产生A型板材为1875+125=2000（张），
由图示裁法一产生B型板材为：1×625=625，裁法二产生A型板材为，3×125=375，
所以两种裁法共产生B型板材为625+375=1000（张），
设裁出的板材做成的竖式有盖礼品盒有x个，横式无盖礼品盒有y个，
则A型板材需要（4x+3y）个，B型板材需要（x+2y）个，
则有432000
21000
x y
x y
，解得
200
400
x
y
．
【点睛】
本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，根据图示列出算式以及关于x、y的二元一次方程组．+
23．（1）第三象限；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据平方根的意义得到a＜0，然后根据各象限点的坐标点的特征可判断点A在第三
象限；（2）先利用方程组34624a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩
，用a 表示b 、c ，得b=2+a.c=a, 则B 点的坐标为（2+a ，a ）,故AB //x 轴，AB=|2+a-a|=2，故11|y |2||||22
OAB B S AB a a =⨯⨯=⨯⨯= 由若△OAB 的面积大于5而小于8，可得5||8a <<计算即可得a 的取值范围；
（3）由AB //x 轴即MN ∥AB 可得MN ∥x 轴，则M 、N 的y 坐标，以及MN=AB =2，可得方程组解得m 、n 的值，即可得出结论；
【详解】
（1）∵a 没有平方根，
∴a ＜0，
∴点A 在第三象限；
（2）解方程组34624a b c a b c +-=⎧⎨-+=-⎩
用a 表示b 、c ，得2b a c a =+⎧⎨
=⎩ ∵点B 坐标为（b ，c ）
∴点B 坐标为（2+a ，a ）
∵点A 的坐标为（a ，a ）
∴AB =|2+a-a|=2，AB 与x 轴平行 ∴11|y |2||||22
OAB B S
AB a a =⨯⨯=⨯⨯= ∵△OAB 的面积大于5而小于8，
∴5||8a << 解得：58a <<或85a -<<-
(3) ∵AB ∥x 轴
又∵MN ∥AB
∴MN ∥x 轴
∵M(2m, 3m-5) N(n-1, -2n-3), MN=AB=2 ∴3523122m n n m -=--⎧⎨--=⎩
∴3523122m n n m -=--⎧⎨--=⎩ 3523122m n n m -=--⎧⎨--=-⎩
∴47137m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或4717m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
∴847647,,7774M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、 或823623,,777
7M N ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、
本题考查了坐标与图形的性质，平方根，解三元一次方程组，三角形的面积，解不等式，审清题意，能灵活运用各个知识点之间的联系是解决的关键.
24．当a=0时，
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；当a=-2时，
4
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
；当a=-3时，
8
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
【分析】
先把a当作已知求出x、y的值，再根据方程组有正整数解，得到关于a的一元一次不等式组，求出m的取值范围，再找出符合条件的正整数a的值即可．
【详解】
解：方程组
24
20 x ay
x y
+=⎧
⎨
-=⎩
解得:
8
4
4
4 x
a
y
a
⎧
=
⎪⎪+⎨
⎪=
⎪+⎩
∵方程组的解是正数，
∴a＞-4，
∵方程组的解是正整数，a＞-4，∴a=-3，-2，0，
它的所有正整数解为：
8
4
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
4
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
，
2
1
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
.
【点睛】
本题考查的是解二元一次方程组及解二元一次不等式组，解答此题的关键是先把m当作已知表示出x、y的值，再根据方程组有正整数解得出关于m的不等式组，求出m的正整数解即可．
25．(1)甲内存卡每个20元，乙内存卡每个50元;(2) 有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低;(3) 共有4种销售方案：方案一：卖了甲内存卡10个，乙内存卡0个；方案二：卖了甲内存卡7个，乙内存卡2个；方案三：卖了甲内存卡4个，乙内存卡4个；方案四：卖了甲内存卡1个，乙内存卡6个．
【解析】
【分析】
（1）设甲内存卡每个x元，乙内存卡每个y元，依据“买2个甲内存卡和1个乙内存卡共用了90元，买了3个甲内存卡和2个乙内存卡用了160元”列出方程组并解答；
（2）设小亮准备购买A甲内存卡a个，则购买乙内存卡（10-a）个，根据关系式列出一元一次不等式方程组．求解再比较两种方案．
（3）设老板一上午卖了c个甲内存卡，d个乙内存卡，根据“甲内存卡每个赚10元，乙内存卡每个赚15元，一上午售出的内存卡共赚了100元”列出方程组，并解答．
（1）解：设甲内存卡每个x 元，乙内存卡每个y 元，则
29032160x y x y +⎧⎨+⎩＝，＝
，
解得2050x y ⎧⎨⎩＝＝ ． 答：甲内存卡每个20元，乙内存卡每个50元
（2）解：设小亮准备购买A 甲内存卡a 个，则购买乙内存卡（10﹣a ）个，则 ()()205010300205010350
a a a a ⎧+-≥⎪⎨+-≤⎪⎩， 解得5≤a≤623
， 根据题意，a 的值应为整数，所以a=5或a=6．
方案一：当a=5时，购买费用为20×5+50×（10﹣5）=350元；
方案二：当a=6时，购买费用为20×6+50×（10﹣6）=320元；
∵350＞320
∴购买A 商品6件，B 商品4件的费用最低．
答：有两种购买方案，方案一：购买A 商品5件，B 商品5件；方案二：购买A 商品6件，B 商品4件，其中方案二费用最低
（3）解：设老板一上午卖了c 个甲内存卡，d 个乙内存卡，
则10c+15d=100．
整理，得2c+3d=20．
∵c 、d 都是正整数，
∴当c=10时，d=0；
当c=7时，d=2；
当c=4时，d=4；
当c=1时，d=6．
综上所述，共有4种销售方案：
方案一：卖了甲内存卡10个，乙内存卡0个；
方案二：卖了甲内存卡7个，乙内存卡2个；
方案三：卖了甲内存卡4个，乙内存卡4个；
方案四：卖了甲内存卡1个，乙内存卡6个．
【点睛】
此题考查二元一次方程组及一元一次不等式方程组的应用，解题关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的大小关系．
26．(1) 6，10；(2)02x y =⎧⎨
=⎩。

【解析】
【分析】
（1）下行-上行后将下行除以3将y的系数化为1即可得方程组的解；
（2）类比（1）中方法通过加减法将x、y的系数化为1可得.
【详解】
解：（1）下行﹣上行，，
故答案为：6，10；
（2）
所以方程组的解为．
【点睛】
本题主要考查矩阵法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键.。