内蒙古准格尔旗世纪中学高三数学上学期第二次月考试题 理

世纪中学高三第二次月考数学（理科）试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合}082|{2
≤--=x x x M ，集合}0lg |{≥=x x N ，则=N M
（A ）}42|{≤≤-x x （B ）}1|{≥x x （C ）}41|{≤≤x x （D ）}2|{-≥x x
（2）复数
122i
i
+-的共轭复数是 （A ）35
i
（B ）35i - （C ）i （D ）i -
（3）下列函数中，在其定义域内既是偶函数，又在)0,(-∞上单调递增的函数是
（A ）2
)(x x f = （B ）|
|2)(x x f = （C ）||1
log )(2x x f = （D ）x x f sin )(=
（4）设R ∈ϕ，则“2
π
ϕ=
”是“)2cos()(ϕ+=x x f 为奇函数”的
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（5）由曲线x y =，直线x y =所围成的封闭图形的面积是
（A ）
61 （B ）21 （C ）32
（D ）1
（6）已知02<<-απ，51cos sin =+αα，则αα2
2sin cos 1
-的值为 （A ）57 （B ）257 （C ）725 （D ）25
24
（7）已知命题“R ∈∃x ，使02
1
)1(22≤+-+x a x ”是假命题，则实数a 的取值范围是
（A ）)1,(--∞ （B ）)3,1(- （C ）),3(+∞- （D ）)1,3(-
（8）将函数)62sin(π
-
=x y 的图象向左平移
4
π
个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程为
（A ）3π=x （B ）6π=x （C ）12π=x （D ）12
π
-=x
（9）函数x e y sin =(-π≤x ≤π)的大致图象为
（10）已知(,)42
ππ
α∈，3log sin a α=， sin 2b α=，cos 2c α=，则 A ．a b
c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c a b >>
（11）已知向量2=|a |=|b |，2⋅-=-（）a b a ，则|2|-=a b
A. 2
B.
C. 4
D. 8
（12）定义在R 上的函数()f x 满足：()()1,(0)4,f x f x f '+>=则不等式()3x
x
e f x e >+（其中
e 为自然对数的底数）的解集为
A ．()0,+∞
B ．()
(),03,-∞+∞ C ．()(),00,-∞+∞ D ．()3,+∞
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分。

（13）已知数列{a n }满足a 1＝1，121n n a a +=+，则数列{a n }的通项公式为________ （14）在等差数列{}n a 中，331n a n =-，记||n n b a =，则数列{}n b 的前30项和________. （15）在△ABC 中，M 是BC 的中点，1=AM ，点P 在AM 上,且满足2-=，则
()PA PB PC ⋅+=_________________.
（16）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若
B
C
b c a cos cos 2=-，b =4，则a +c 的最大值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分12分）已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ； (2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的投影．
18. （本小题满分12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3，点(S n ，S n ＋1)在直线y ＝n ＋1
n
x ＋n ＋1(n ∈N *
)上．
(1)求证：数列{S n n
}是等差数列； (2)求S n .
19. (本小题满分12分）已知函数)4
sin()4
sin(2)3
2cos()(π
π
π
+
-
+-
=x x x x f
（1）求函数)(x f 的最小正周期和图象的对称轴方程． （2）求函数)(x f 在区间⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-12,12ππ上的值域．
20.（本小题满分12分）已知在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且
()22sin 3cos 0
A B C ++=.
（1）求角A 的大小；
（2）若ABC ∆的面积S a ==求sin sin B C +的值.
21.（本小题满分12分）设函数x x a x f ln )(-=)0(>a ． （Ⅰ）若)(x f 在[),1+∞上单调递增，求实数a 的取值范围; （Ⅱ）求)(x f 在[],14上的最小值．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
θθρcos 2sin :2
=C ，过点)1,2(-P 的直线)(45
sin 145cos 2:为参数t t y t x l ⎩⎨⎧+-=+=︒
︒与曲线C 交于M 、N 两点.
（1）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求2
2
PN PM +的值.
参考答案 一、选择题
二、填空题
13. 21n
n a =- 14. 610 15. 4
3
-
16.
三、解答题
17.（本小题满分12分）已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)． (1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ； (2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的投影．
解：（1）4(6,6),()[(2,2)(6,6)](1,2)0a b a b c +=⋅=-⋅= （2）a b λ+与a 垂直，所以(),()0a b a a b a λλ+⊥∴+=
5
(12)1(22)20,2
λλλ+⨯+-⨯=∴=
（3）cos ,105a b a b a b
<>=
=
=-⨯
向量a 在b 方向上的投影为cos ,5(102
a a
b <>=⨯-=-
18. （本小题满分12分）数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝3，点(S n ，S n ＋1)在直线y ＝n ＋1
n
x ＋n ＋1(n ∈N *
)上．
(1)求证：数列{S n n
}是等差数列； (2)求S n .
解（1）点(S n ，S n ＋1)在直线y ＝n ＋1
n
x ＋n ＋1上 所以111
1,11n n n n S S n S S n n n n
+++=
++∴=++
所以{S n n
}是以3为首项，公差为1的等差数列。

（2）由（1）得
3(1)12n
S n n n
=+-⨯=+ 所以2
2n S n n =+
19. (本小题满分12分）已知函数)4
sin()4
sin(2)3
2cos()(π
π
π
+
-
+-
=x x x x f
（1）求函数)(x f 的最小正周期和图象的对称轴方程． （2）求函数)(x f 在区间⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡-12,12ππ上的值域． 解（1）()cos(2)2sin()sin()344
f x x x x π
ππ
=-
+-+
cos(2)2sin()cos()344x x x πππ
=-+--
cos(2)2sin()cos()344x x x π
π
π
=-+-- cos(2)sin(2)32x x ππ
=-+-
12cos 2sin(2)26
x x x π=
-=- 所以最小正周期22T ππ==，由2,62
x k k z ππ
π-=+∈得 对称轴方程为,23
k x k z ππ
=+∈ （2）由12
12
x π
π
-
≤≤
得203
6
x π
π
-
≤-
≤
所以sin(2)026x π-≤-≤得函数()f x 在区间[,]1212
ππ
-上的值域[2-
20. 20.（本小题满分12分）已知在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且
()22sin 3cos 0
A B C ++=.
（1）求角A 的大小；
（2）若ABC ∆的面积S a ==
求sin sin B C +的值.
解（1）由2
2sin 3cos()0A B C ++=得22
2sin 3cos 02cos 3cos 20A A A A -=∴+-=
1cos ,cos 22A A ==-（舍去）3
A π
∴=
（2）由S a ==得20,9bc b c =+=所以
,,sin sin sin sin a b a c b B c C A B A C
==∴==
sin )9sin sin 14
b c B C B C ∴+=+=∴+=
21.（本小题满分12分）设函数x x a x f ln )(-=)0(>a ． （Ⅰ）若)(x f 在[),1+∞上单调递增，求实数a 的取值范围; （Ⅱ）求)(x f 在[],14上的最小值． 解：（1）定义域为0x >
'1()
f x x =
-
=若)(x f 在[),1+∞上单调递增
≥)(x f 在[),1+∞上恒成立，[1,)a x ∴≥∈+∞恒成立 即2a ≥
（2）令'
24()0f x x a >>
得，()f x ∴在24(0,)a 单调递减，在2
4
(,)a
+∞单调递增 当2a ≥时，()f x 在[],14上单调增，()f x 最小值是(1)f a =
当01a <≤时，()f x 在[],14上单调减，()f x 最小值是(4)2ln 4f a =-
当12a <<时，()f x 在,a 24⎡⎤1⎢⎥⎣⎦上单调减，在
,a 24⎡⎤
4⎢⎥⎣⎦
上单调增，()f x 最小值是2
4
(
)22l n
2l n 2
f a a =+-
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线
θθρcos 2sin :2
=C ，过点)1,2(-P 的直线)(45sin 145cos 2:为参数t t y t x l ⎩
⎨⎧+-=+=︒
︒
与曲线C 交于M 、N
两点.
（2）求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）求2
2PN PM +的值.
解（1）由2
sin 2cos ρθθ=得2
2
2
sin 2cos ,2y x ρθρθ=∴=
由)(45
sin 145cos 2:为参数t t y t x l ⎩⎨⎧+-=+=︒
︒
，消去参数得3,30x y x y -=∴--= （2
）22cos 4521sin 4512
x x t y t y t ︒︒
⎧
=+
⎪⎧=+⎪⎨⎨=-+⎩⎪
=-+⎪⎩
即代入22y x =
得：260t -=
12126t t t t ∴+==-，2
2
2
2
22212121212()2321244PM PN t t t t t t t t +=+=+=+-=+=。