04-积化和差与和差化积（教案）

四、 积化和差与和差化积
【知识提要】【知识提要】
积化和差与和差化积等公式：积化和差与和差化积等公式：
积化和差：积化和差： 和差化积：和差化积：
sin α·cos β=12[sin(α+β)+sin(α-β)]； sin α+sin β=2sin 2b a +·cos
2b
a -； cos α·sin β=12[sin(α+β)-sin(α-β)]； sin α-sin β=2cos 2b
a +·sin
2b a -； cos α·cos β=12[cos(α+β)+cos(α-β)]； cos α+cos β=2cos 2b a +·cos
2b
a -； sin α·sin β= -12[cos(α+β)-cos(α-β)] 。

cos α-cos β= -2sin
2b a +·sin 2
b
a -。

【例题解析】【例题解析】
1． 求证：sin3θsin 3θ+cos3θcos 3θ=cos 32θ.（课本例题）（课本例题）
证明：左边=sin 2θ(sin3θsin θ)+cos 2θ(cos3θcos θ) =12sin 22
θ(cos2θ-cos4θ)+12
cos 22
θ(cos4θ+cos2θ) 
=12cos2θ(sin 2θ+ cos 2θ)+12cos4θ(cos 2θ- sin 2
θ) 
=12cos2θ+12cos4θcos2θ=12cos2θ(1+cos4θ)=12
cos2θ×2 cos 22θ= cos 3
2θ=右边。

右边。

∴ 原式成立。

原式成立。

2． 已知α+β=2
3
p ，且0≤α≤2
p ，求y =sin αsin β的最大值和最小值。

的最大值和最小值。

解：由α+β=23p ，得β=23
p
-α, ∴ y =sin αsin β=12-[cos 23p -cos(2α-23p )]=14+12cos(2α-23p
) 
∵ 0≤α≤
2p
，-23p ≤2α-23p ≤
3p
当α=3
p
时，y 取得最大值34；当α=0时，y 取得最小值0. 
3． 求证：在△ABC 中，cos A +cos B +cos C =1+4sin
2
A sin
2B
sin
2
C
.（课本例题）（课本例题）
证明：∵A +B +C =π，∴，∴
C =π-A -B ∴ 2C =2p -2
A B
+. 
cos A +cos B +cos C = cos A +cos B -cos(A +B )=2cos 2A B +cos 2A B -+1-2cos 22
A B + =1+2cos 2
A B +( cos
2
A B -- cos
2
A B +)==1+4 sin 2
A sin
2
B sin
2
C . 
4． 已知sin sin 3(cos cos ),,(0,)2p
a b b a a b +=
-Î，求
a b -的值的值 解：2sin()cos()23sin()sin()2222a b a b a b b a
+-+-×=-×
,(0,)2p
a b Î， sin()02a b +¹，3tan()23a b -=，a b -=3p
5． 已知3sin sin 5a b +=
，4
cos cos 5
a b +=， 分别求出cos(α-β),cos(),sin()a b a b ++,tan αtan β的值的值 解：3sin sin 5a b += （1） 4
cos cos 5
a b += （2） (1)2+(2)2得：2+2 cos(
α-β)=1，∴，∴ cos(α-β)=1
2
-
由（1）得：2sin()2a b +cos()2a b -=35 (3) 
由（2）得：2cos()2a b +cos()2a b -=4
5
(4) (3)(4): 3tan()24a b +=, ∴ cos()a b +=725,sin()a b +=2425
. cos(α-β)=12-ècos αcos β+sin αsin β=1
2- (5) 
cos()a b +=725 è cos αcos β-sin αsin β=7
25
(6) 
由（5）、（6）解得：cos αcos β=11100- ，sin αsin β=39100- ∴ tan αtan β=3911
6． 若a 、b 为锐角，且满足2cos(a +b )+2(sin a +sin b )-3=0，求a ，b 的值。

的值。

解：
22(12sin )4sin cos 30
2
22
a b a b a b ++--+×-= 2
4sin 4sin cos 10222a b
a b a b
++-\-×+=（*）
22(2sin cos )sin 0222a b a b a b +---+=
2sin cos 22
sin 02a b a b
a b a b +-ì
=ïï
í
-ï=\=ïî
6
p
a b ==
另解：对（*）式，可利用20cos 12a b -³Þ³ ，又(,)222
a b p p
-Î-
cos 12
a b a b -\=Þ=
此时2
14sin 4sin 10sin 26
p
a a a a -+=Þ=Þ=
7、 求证：cos x +cos2x +…+cos nx =
2
sin 2sin
2)1(cos
x nx x
n ×+。

证：(cos x +cos2x +…+cos nx )·)·sin sin 2
x
=
21[(sin 23x -sin 2x )+(sin 25x -sin 23x
)+…+(sin 2)12(x n +-sin 2
)12(x n -)] 
=21[sin 2)12(x n +-sin 2x ]=cos 2)1(x n +·sin 2
nx )。

∴cos x +cos2x +…+cos nx =2sin 2sin
2)1(cos x nx x n ×+。

▋
【补充练习】【补充练习】
1、 求函数y =sin(x +6p )sin(x -6
p )的最大值和最小值. 
解：y =1
2-cos2x +
14,∴ y max =34,y min =14
-. 
2、 求值：cos 2
α-cos(α+60°+60°)·
)·)·cos(cos(α-60°-60°)=___________)=___________。

解：cos 2
α-cos(α+60°+60°)·)·)·cos(cos(α-60°-60°)=)=22cos 1a
+-2120cos 2cos °-a =4
1。

▋
3、 求函数cos3cos ()cos x x f x x
-=的值域。

的值域。

解：由和差化积公式，得cos3cos ()cos x x f x x -=2
2sin(2)sin 4sin cos x x x x
-×
==-。

又cos x ≠0，∴x ≠k π+2p
（k ∈Z ），函数cos3cos ()cos x x f x x -=的值域为的值域为((-4，0]0]。

▋。

▋。

▋
4、 求函数y =sin 2x +sin 2
(x +
6
p
)的最大值和最小值。

的最大值和最小值。

解：y =
12(1-cos2x )+ 12[1-cos(2x +3p )]=1-12[cos2x + cos(2x +3
p )] =1-1
2×2×2×cos cos 6p cos(2x +
6p )=1-32cos(2x +6
p ) ∴ 最大值为1+
32，最小值1-32。