第二十届(2009年) 希望杯初一年级第二试试题(含答案)

第二十届(2009年) 希望杯初一年级第二试试题
初一 第2试
一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将正确答案
的英文字母写在每题后面的圆括号内.
1．=--2
22239
614753（ ） （A ）
113 （B ）115 （C ）117 （D ）11
9 2．每只玩具熊的售价为250元．熊的四条腿上各有两个饰物，标号依次为1，2，3，…，8．卖家说：“1，2，3，4，…，8号饰物依次要收1，2，4，8，…，128元．如果购买全部饰物，那么玩具熊就免费赠送．”若按这样的付费办法，这只熊比原售价便宜了（ ）
（A ）5元 （B ）-5元 （C ）6元 （D ）-6元 3．如图1，直线MN ∥PQ ．点O 在PQ 上．射线OA ⊥OB ，分别交MN 于点C 和点D ．∠BOQ=30°．若将射线OB 绕点O 逆时针旋转30°，则图中60°的角共有（ ） （A ）4个 （B ）5个 （C ）6个 （D ）7个 4．如果有理数a ，b 使得
01
1
=-+b a ，那么（ ） （A ）b a +是正数（B ）b a -是负数 （C ）2
b a +是正数（D ）2
b a -是负数 5．As in figure 2．In the circular ring of which center is point O ．if AO ⊥BO ，and the area of the shadowy part is 25cm 2 ，then the area of the circuiar ring equals to ( ) ()14.3≈π
（A ）147cm 2 （B ）157cm 2 （C ）167cm 2 （D ）177cm 2
6．已知多项式152)(2
1+-=x x x p 和43)(2-=x x p ，则)()(21x p x p ⨯的最简结果为（ ） （A ）4232362
3
-+-x x x （B ）4232362
3
--+x x x
O
N M 图1
P
D
C
B
A
（C ）42323623+--x x x （D ）4232362
3+++x x x
7．若三角形的三边长a ，b ，c 满足c b a <<，且212t bc a =+，2
22t ca b =+，
232t ab c =+，则21t 、2
2t 、23t 中（ ）
（A ）21t 最大（B ）22t 最大（C ）23t 最大（D ）2
3t 最小 8．如图3，边长20m 的正方形池塘的四周是草场，池塘围栏的M 、N 、P 、Q 处各有一根铁桩，QP=PN=MN=4m ，用长20m 的绳子将一头牛拴在一根铁桩上，若要使牛的活动区域的面积最大，则绳子应拴在（ ） （A ）Q 桩 （B ）P 桩 （C ）N 桩 （D ）M 桩
9．电影票有10元、15元、20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多（ ）
（A ）20张 （B ）15张 （C ）10张 （D ）5张
10．将图4中的正方体的表面展开到平面内可以是下列图形中的（ ）
(D)
(C)(B)
(A)图4
二、填空题（每小题4分，共40分）
11．据测算，11瓦节能灯的照明效果相当于80瓦的白炽灯．某教室原来装有100瓦的白炽灯一只．为了节约能源，并且保持原有的照明效果，可改为安装 瓦（取整数）的节能灯一只． 12．将五个有理数
32，85-，2315，1710-，19
12
每两个的乘积由小到大排列，则最小的 是 ；最大的是 ．
图3
13．十进制的自然数可以写成2的方幂的降幂的多项式，如：
)2(0
1
2
3
4
)10(100112121202021121619=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=++=，
即十进制的数19对应二进制的数10011．按照上述规则，十进制的数413对应二进制的数是 ．
14．如图5，点P 在正方形ABCD 外，PB=10cm ，△APB 的面积是60cm 2，
△BPC 的面积是30cm 2,则正方形ABCD 的面积是 cm 2． 15．若522
++x x 是q px x ++24
的一个因式，则pq 的值是 ． 16．若0≠abc ，则
abc
abc c c b b a a +++的最大值是 ； 最小值是 ．
17．已知)(x F 表示关于x 的运算规律：3
)(x x F =，（例如 ,273)3(,82)2(33====F F ）．又规定)()1()(x F x F x F -+=∆，则=+∆)(b a F ．
18．一条公交线路从起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．则从前6站上车而在终点站下车的乘客有 人．
19．If the product of a simple binomial m x + and a quadratic 2
)1(-x is a cubic multinomial b ax x ++3，then a = ，b = ，m = ． 20．方程20092009
2132121=++++++++++
x
x x x 的解是=x ． 三、解答题（每题都要写出推算过程） 21．（本题满分10分）
如果两个整数x ，y 的和、差、积、商的和等于100．那么这样的整数有几对？求x 与
y 的和的最小值，及x 与y 的积的最大值．
22．（本题满分15分）
某林场安排了7天的植树工作．从第二天起每天都比前一天增加5个植树的人，但从第二天起每人每天都比前一天少植5棵树，且同一天植树的人，植相同数量的树．若这7天共植树9947棵，则植树最多的那天共植了多少棵树？植树最少的那天，有多少人在植树？
23．（本题满分15分）
5个有理数两两的乘积是如下的10个数：
-，6000
-，21
.0，84，100．
-，15
10
-，168
.0，2.0，80，6.
12
请确定这5个有理数，并简述理由．
第二十届“希望杯”全国数学邀请赛
参考答案及评分标准
初一 第2试
一、选择题（每小题4分）
二、填空题（每小题4分，第12、16题，每空2分，第19题，前两空各1分，后一空2分）
21．由题意得，100)()(=+
+-++y
x
xy y x y x （)0≠y ， 即2225212⨯⨯=+
+y x xy x ，亦即2222521)1(⨯⨯=+y y
x
， 因为x ，y 为整数，所以y x +，y x -，xy 都是整数，(2分) 又它们与
y x 的和是整数100，故y
x
也是整数. （1）
y x =25，2
22)1(=+y 时21±=+y ，所以⎩⎨⎧==125y x 或⎩
⎨⎧-=-=375y x
（2）y x =4，2
25)1(=+y 时51±=+y ，所以⎩
⎨⎧==416y x 或⎩⎨⎧-=-=624y x
（3）
y x =1，2
210)1(=+y 时101±=+y ，所以⎩
⎨⎧==99y x 或⎩⎨⎧-=-=1111y x
（4）y x =100，2
21)1(=+y 时11±=+y ，所以⎩⎨⎧==00y x （舍去）或⎩
⎨⎧-=-=2200y x
由上可知，满足题意的整数x ，y 共7对. (8分)
其中y x +的最小值为-200+（-2）=-202
xy 的最大值为：
（-200）×（-2）=400 (10分) 22．设第4天有m 人植树，每人植树n 棵，则第4天共植树mn 棵.
于是第3天有（5-m ）人植树，每人植树（5+n ）棵，则第3天共植树)5)(5(+-n m 棵. 同理，第2天共植树)10)(10(+-n m 棵； 第1天共植树)15)(15(+-n m 棵； 第5天共植树)5)(5(-+n m 棵； 第6天共植树)10)(10(-+n m 棵； 第7天共植树)15)(15(-+n m 棵. 由7天共植树9947棵，知：
)15)(15(+-n m +)10)(10(+-n m +)5)(5(+-n m +mn +)5)(5(-+n m +)10)(10(-+n m +)15)(15(-+n m =9947.
化简得99477007=-mn ，即1521=mn
因为1521=32×132，又每天都有人植树，所以15>m ，15>n .故39==n m .(9分) 因为第4天植树的棵数为39×39=1521.
其它各天植树的棵数为1521152139)39)(39(2
2
2
<-=-=+-a a a a (※) (其中5=a 或10或15).
所以第4天植树最多,这一天共植树1521棵. (12分) 由(※)知,当15=a 时,2
2
39a -的值最小.
又当15=a 时,植树人数为39+15=54或39-15=24,所以植树最少的那天有54人或24人植树. (15分)
23.将5个有理数两两的乘积由小到大排列: -6000<-15<-12.6<-12<0.168<0.2<0.21<80<84<100.
因为5个有理数的两两乘积中有4个负数且没有0,所以这5个有理数中有1个负数和4个正数,或者1个正数和4个负数. (3分)
(1) 若这5个有理数是1负4正,不妨设为543210x x x x x <<<<<,则
54534
35
24232213141510x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x <<⎩⎨⎧<<<<<<<
(其中52x x 和43x x 的大小关系暂时还不能断定) 所以51x x =-6000,41x x =-15,54x x =100, 三式相乘,得6
2
541109)(⨯=x x x ,
又01<x ,04>x ,05>x ,所以3000541-=x x x , 则301-=x ,5.04=x ,2005=x .
再由301-=x ,1221-=x x ,6.1231-=x x ,得4.02=x ，42.03=x .
经检验301-=x ，4.02=x ，42.03=x ，5.04=x ，2005=x 满足题意.(9分) （2）若这5个有理数是4负1正.不妨设为：543210x x x x x <<<<<，
则21313
24
14
243545352510x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x <<⎩⎨⎧<<<<<<< (其中41x x 和32x x 的大小关系暂时还不能断定) 所以600051-=x x ，1552-=x x ，10021=x x 三式相乘，得6
2
521109)(⨯=x x x ，
又01<x ，02<x ，05>x ，解得 3000521=x x x ， 所以2001-=x ，5.02-=x ，305=x ， 再由305=x ，6.1253-=x x ，1254-=x x 得
42.03-=x ，4.04-=x .
经检验, 2001-=x ，5.02-=x ，42.03-=x ，4.04-=x ，305=x 满足题意.(15分)。