【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-5对数与对数函数课后强化作业 新人教B版

【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-5对数与对数函数课后
强化作业 新人教B 版
基础巩固强化
一、选择题
1．为了得到函数y ＝ln x －3
e 的图象，只需把函数y ＝ln x 的图象上所有的点( )
A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 [答案]D
[解析]由y ＝ln x －3
e 得到y ＝ln(x －3)－1，由y ＝ln x 图象上所有点向右平移3个单位，得
到y ＝ln(x －3)的图象，再向下平移一个单位得到y ＝ln(x －3)－1的图象．故选D.
2．函数y ＝
ln (x ＋1)
－x 2－3x ＋4的定义域为( )
A ．(－4，－1)
B ．(－4,1)
C ．(－1,1)
D ．(－1,1] [答案]C
[解析]要使函数有意义，须⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1>0，
－x 2
－3x ＋4>0，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x >－1，
－4<x <1，∴－1<x <1. 3．(文)(2013·某某模拟)下面不等式成立的是( ) A ．log 32<log 23<log 25 B ．log 32<log 25<log 23 C ．log 23<log 32<log 25 D ．log 23<log 25<log 32 [答案]A
[解析]log 32<1<log 23<log 25，故选A.
(理)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则() A ．a >b >c B ．a >c >b
C ．b >a >c
D ．c >a >b [答案]B
[解析]∵a ＝log 23.6>1，c ＝log 43.6<1.∴a >c . 又∵c ＝log 43.6>log 43.2＝b .∴a >c >b .
4．(文)定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2014x ＋log 2014x ，则方程f (x )＝0的实根的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．5 [答案]C
[解析]当x >0时，f (x )＝0即2014x ＝－log 2014x ，在同一坐标系下分别画出函数f 1(x )＝2014x ，f 2(x )＝－log 2014x 的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f (x )＝0只有一个实根，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以当x <0时，方程f (x )＝0也有一个实根，又因为f (0)＝0，所以方程f (x )＝0的实根的个数为3.
(理)设f (x )是定义在R 上的偶函数，对∀x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝(1
2)x －1，若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数
根，则实数a 的取值X 围是( )
A ．(1,2)
B ．(2，＋∞)
C ．(1，34)
D ．(3
4，2) [答案]D
[解析]∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )的周期为4，当x ∈[0,2]时，－x ∈[－2,0]，∴f (－x )＝2x －1，又f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，依据其周期性和对称性，画出f (x )在(－2,6]上的图象，当y ＝log a (x ＋2)的图象与f (x )在(－2,6]上的图象恰有3个交点时，应有⎩⎪⎨⎪
⎧
a >1，log a (6＋2)>3，log a
(2＋2)<3，
∴3
4<a <2.
5．(文)(2013·某某一模)已知f (x )是奇函数，且f (2－x )＝f (x )，当x ∈(2,3)时，f (x )＝log 2(x －1)，则当x ∈(1,2)时，f (x )＝( )
A ．－log 2(4－x )
B ．log 2(4－x )
C ．－log 2(3－x )
D ．log 2(3－x ) [答案]C
[解析]依题意得f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．
当x ∈(1,2)时，x －4∈(－3，－2)，4－x ∈(2,3)，故f (x )＝f (x －4)＝－f (4－x )＝－log 2(4－x －1)＝－log 2(3－x )，选C.
(理)(2013·某某省五市十校联考)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
log 2(x ＋1)，x >3
2x －3＋1，x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －
5)的值为( )
A ．log 23 B.17
16
C.3
2D ．1 [答案]C
[解析]∵f (a )＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤3，
2a －3
＋1＝3，①
或⎩
⎪⎨⎪⎧
a >3，
log 2(a ＋1)＝3.② ①无解，由②得，a ＝7，所以f (a －5)＝22－3＋1＝3
2，选C.
6．(文)(2013·某某某某)函数y ＝log 22－x
2＋x 的图象( )
A ．关于原点对称
B ．关于直线y ＝－x 对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线y ＝x 对称 [答案]A [解析]由2－x 2＋x >0得－2<x <2，f (－x )＝log 22＋x 2－x ＝－log 22－x
2＋x
＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∴选A.
(理)(2013·某某模拟)设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝log 12a ，(12)b ＝log 12b ，(12)c
＝log 2c ，则( )
A ．a <b <c
B ．c <b <a
C ．c <a <b
D ．b <a <c [答案]A
[解析]由2a ＝log 12a 可知a >0⇒2a >1⇒log 12a >1⇒0<a <12；由(12)b ＝log 12b 可知b >0⇒0<(1
2)b <1
⇒0<log 12b <1⇒12<b <1；由(12)c ＝log 2c 可知c >0⇒0<(1
2
)c <1⇒0<log 2c <1⇒1<c <2，从而a <b <c .∴
选A.
二、填空题
7．(文)(2013·某某某某一模)若正整数m 满足10m
－
1
<2512<10m ，则m ＝
________.(lg2≈0.3010)
[答案]155 [解析]不等式10
m －1
<2512
<10m
两边同时取以10为底的对数，则⎩
⎪⎨⎪⎧
m －1<512lg2，
m >512lg2，∴
154.112<m <155.112，
∴m ＝155.
(理)(2013·某某塘沽一模)若f (x )＝ax －1
2
，且f (lg a )＝10，则a ＝________. [答案]10或
10
10
[解析]f (lg a )＝a lg a －12＝a lg a
a
＝10，
∴a lg a ＝(10a )1
2 ，两边同时取对数得：(lg a )2＝12(1＋lg a )，得lg a ＝1或lg a ＝－1
2，∴a ＝10
或10
10
. 8．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (1－x )＝f (1＋x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x －1，则f (2014)＋f (2015)的值为________．
[答案]－1
[解析]∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x ＋2)＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )．即f (x )是周期为4的周期函数，∴f (2014)＋f (2015)＝f (2)＋f (－1)＝f (0)－f (1)＝20－1－(21－1)＝－1.
[点评] (1)一般地，若f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，且可变形为f (x ＋2a )＝f (－x )．如果同时知道f (x )为奇函数(或偶函数)，则利用奇偶性可得出f (－x )＝±f (x )，从而可知f (x )为周期函数且可得出其周期．
(2)本题将指数函数求值与函数的周期性、奇偶性融为一体，这是高考命题的常见模式． 9．(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
log 3
x ，x >0，(13
)x ，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________．
[答案]{x |x ≤0或x ≥3}
[解析]f (x )≥1化为⎩⎪⎨⎪⎧
x >0，
log 3x ≥1，或⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤0，(13)x
≥1，
∴x ≥3或x ≤0.
(理)设a >0，a ≠1，函数f (x )＝ax 2＋x ＋1有最大值，则不等式log a (x －1)>0的解集为________．
[答案]{x |1<x <2}
[解析]∵t ＝x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥3
4，
f (x )＝ax 2＋x ＋1有最大值，∴0<a <1， ∴不等式lo
g a (x －1)>0化为0<x －1<1， ∴1<x <2. 三、解答题
10．(2013·某某期末)已知f (x )＝log 3x 2＋ax ＋b
x ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使
f (x )同时满足下列条件：①在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数；②f (x )的最小值是1.若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由．
[解析]假设存在实数a ，b 使命题成立，
∵f (x )在(0,1)上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数， ∴x ＝1时，f (x )取得最小值1， ∴log 31＋a ＋b 1＝1，∴a ＋b ＝2.
∵f (x )在(0,1)上是减函数， 设0<x 1<x 2<1， ∴f (x 1)>f (x 2)恒成立，
即x 21＋ax 1＋b x 1>x 22＋ax 2＋b x 2
恒成立，
整理得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2>0恒成立．
∵0<x 1<x 2<1，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>0，
∴x 1x 2－b <0恒成立，即x 1x 2<b 恒成立， 而x 1x 2<1，∴b ≥1.
同理，f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 可得b ≤1，∴b ＝1.又∵a ＋b ＝2，∴a ＝1. 故存在a ＝1，b ＝1同时满足题中条件.
能力拓展提升
一、选择题
11．(文)(2013·某某威海期末)下列四个数中最大的是( ) A ．(ln2)2B ．ln(ln2) C ．ln 2D ．ln2 [答案]D
[解析]由0<ln2<1，得ln(ln2)<0，因此ln(ln2)是最小的一个；由于ln x 为增函数，因此ln 2<ln2；那么最大的只能是A 或D ；因为0<ln2<1，故(ln2)2<ln2.
(理)若x ∈(e
－1,
1)，a ＝ln x ，b ＝(1
2
)ln x ，c ＝e ln x ，则( )
A ．c >b >a
B ．b >a >c
C ．a >b >c
D ．b >c >a [答案]D
[解析]∵x ∈(e －1,1)，∴a ＝ln x ∈(－1,0)； c ＝e ln x ＝x ∈(1
e ，1)；
b ＝(1
2)ln x ∈(1,2)．
∴a <c <b .
12．(2013·某某模拟)设a >1，若对于任意的x ∈[a,2a ]，都有y ∈[a ，a 2]满足方程log a x ＋log a y ＝3，这时a 的取值集合为()
A ．{a |1<a ≤2}
B ．{a |a ≥2}
C ．{a |2≤a ≤3}
D ．{2,3} [答案]B
[解析]易得y ＝a 3
x ，且在[a,2a ]上单调递减，所以y ∈[a 2
2
，a 2]，故⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
2≥a ，a >1
⇒a ≥2，故
选B.
13．(2013·东城区检测)给出下列命题：①在区间(0，＋∞)上，函数y ＝x －
1，y ＝x 12 ，y
＝(x －1)2，y ＝x 3中有3个是增函数；②若log m 3<log n 3<0，则0<n <m <1；③若函数f (x )是奇
函数，则f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称；④已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
3x －
2，x ≤2log 3(x －1)，x >2
，则方程f (x )
＝1
2
有2个实数根，其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案]C
[解析]命题①中，在(0，＋∞)上只有y ＝x 1
2，y ＝x 3为增函数，故①不正确；②中第1个
不等式等价于log 31>log 3m >log 3n ，故0<n <m <1，②正确；③中函数y ＝f (x －1)的图象是把y ＝f (x )的图象向右平移1个单位得到的，由于函数y ＝f (x )的图象关于坐标原点对称，故函数y ＝f (x －1)的图象关于点A (1,0)对称，③正确；④中当3x －2＝12时，x ＝2＋log 31
2<2，当log 3(x
－1)＝12时，x ＝1＋3>2，故方程f (x )＝1
2
有2个实数根，④正确．故选C.
二、填空题
14．已知函数f (x )是R 上的单调递增函数且为奇函数，则f (1)的值________(把所有可能的序号都填上)．
①恒为正数； ②恒为负数； ③恒为0; ④可正可负． [答案]①
[解析]∵f (x )在R 上为奇函数，∴f (0)＝0， 又∵f (x )在R 上为增函数， ∴f (1)>f (0)＝0. ∴f (1)的值恒为正数．
15．(文)(2013·某某)lg 5＋lg 20的值是________． [答案]1
[解析]lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg10＝1.
(理)(2013·某某师大附中、某某一中联考)已知函数f (x )的定义域为A ，若其值域也为A ，则称区间A 为f (x )的保值区间．若g (x )＝x ＋m ＋ln x 的保值区间是[e ，＋∞)，则m 的值为
________．
[答案]－1
[解析]由题意得，g (x )的值域为[e ，＋∞)，由x ≥e 时，g ′(x )＝1＋1
x >0，所以当x ≥e 时，
g (x )为增函数，由题意可得g (e)＝e ＋m ＋1＝e ，解得m ＝－1.
三、解答题
16．(文)已知函数f (x )＝log 4(4x ＋1)＋2kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；
(2)若方程f (x )＝m 有解，求m 的取值X 围． [解析](1)由函数f (x )是偶函数可知，f (－x )＝f (x )， ∴log 4(4x ＋1)＋2kx ＝log 4(4－x ＋1)－2kx ， 即log 44x ＋1
4－x ＋1
＝－4kx ，
∴log 44x ＝－4kx ，∴x ＝－4kx ，即(1＋4k )x ＝0， 对一切x ∈R 恒成立，∴k ＝－1
4.
(2)由m ＝f (x )＝log 4(4x ＋1)－1
2x
＝log 44x ＋12x ＝log 4(2x ＋12x )，
∵2x >0，∴2x ＋12x ≥2，∴m ≥log 42＝1
2
.
故要使方程f (x )＝m 有解，m 的取值X 围为[1
2，＋∞)．
(理)已知函数f (x )＝log a (3－ax )．
(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，某某数a 的取值X 围．
(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．
[解析](1)由题意，3－ax >0对一切x ∈[0,2]恒成立，∵a >0且a ≠1，
∴g (x )＝3－ax 在[0,2]上是减函数，从而g (2)＝3－2a >0得a <3
2
.∴a 的取值X 围为(0,1)∪
⎝⎛⎭
⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.
由题设f (1)＝1，即log a (3－a )＝1，
∴a ＝32，此时f (x )＝log 3
2⎝⎛⎭⎫3－32x ，当x ＝2时，函数f (x )没有意义，故这样的实数a 不存在．
考纲要求
1．理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．
2．理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点． 3．知道对数函数是一类重要的函数模型．
4．了解指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a >0，且a ≠1)． 补充材料
1．掌握对数函数图象过定点(1,0)且过(a,1)；熟悉对数的性质、运算法则和换底公式；会用对数函数单调性比较对数式的大小和解对数不等式；熟练进行指对互化；清楚对数函数图象的分布规律．
2．恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来． 3．忽视对数函数的定义域是解题过程中常犯的错误，要引起足够重视． 4．(1)同底数的对数比较大小用单调性．
(2)同真数的对数比较大小用图象或换底或转化为指数式． (3)作差或作商法
(4)利用中间量0、1比较．
5．对数函数图象在第一象限内底数越小，图象越靠近y 轴(逆时针底数依次变小)，在直线x ＝1右侧，底大图低(区分x 轴上方与下方)．
6．在对数运算中，常常先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指对互化的运用．
备选习题
1．(2013·某某某某一模)若log m n ＝－1，则m ＋3n 的最小值是( ) A ．22B ．2 3 C ．2 D.5
2
[答案]B
[解析]由log m n ＝－1，得m －1＝n ，则mn ＝1.
由于m >0，n >0，∴m ＋3n ≥23mn ＝2 3.故选B.
2．(2013·某某)函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 [答案]C
[解析]画出两函数的大致图象，可得两图象的交点个数为2.
3．(2013·某某省七校联考)设a ＝0.64.2，b ＝70.6，c ＝log 0.67，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <b <a B ．c <a <b C ．a <c <b D ．a <b <c [答案]B
[解析]依题意，0<0.64.2<0.60＝1,70.6>70＝1，log 0.67<log 0.61＝0，因此c <a <b ，选B. 4．(2013·某某二十四中期中)已知函数f (x )＝ax ＋ln x (a ∈R )． (1)若a ＝2，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处切线的斜率．
(2)设g (x )＝x 2－2x ＋2，若对任意x 1∈(0，＋∞)，均存在x 2∈[0,1]，使得f (x 1)<g (x 2)，求a 的取值X 围．
[解析](1)∵a ＝2，∴f (x )＝2x ＋ln x ，∴f ′(x )＝2＋1
x ，∴f ′(1)＝3，故y ＝f (x )在x ＝1处切线
的斜率为3.
(2)由条件知，f (x )max <g (x )max .
∵g (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[0,1]，∴g (x )max ＝g (0)＝2，
当a ≥0时，f (x )＝ax ＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增，值域为R ，故无最大值，不合题意． 当a <0时，∵f ′(x )＝a ＋1x ；当x ∈(0，－1a )时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(－1a ，＋
∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，
∴f (x )在x ＝－1a 时取到极大值，f (－1
a )＝－1－ln(－a )．也是f (x )的最大值，
∴－1－ln(－a )<2，∴a <－1
e 3.。