云南省玉溪市红塔区第一中学2022-2023学年数学高一上期末质量检测试题含解析

11．当一个非空数集 G 满足“如果 a,b G ，则 a b ， a b ， ab G ，且 b 0 时， a G ”时，我们称 G 就是一个
b
数域，以下关于数域的命题：①0 和 1 都是任何数域的元素；②若数域 G 有非零元素，则 2020G ；③任何一个有限
数域的元素个数必为奇数；④有理数集是一个数域；⑤偶数集是一个数域，其中正确的命题有______________.
A. 25π
B. 50π
）
C.125π
D.都不对
8．锐角三角形的内角 B 、 C 满足： tan B tan C 1 ，则有（） sin 2B
A. sin 2B sin C 0
B. sin 2B sin C 0
C. sin 2B cosC 0
D. sin 2B cosC 0
9．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，小小的折扇传承千年的制扇工艺与书画艺术，折扇可以看作是从一个圆面中剪下
2
3
19 ， b
12
5
3
2
76 ，
所以 cos a,b
a •b 41 3 5
ab
19 76
3
1 2
，故 a 与 b
的夹角为 60
故选 C
【点睛】本题考查了运用平面向量数量积运算求解向量夹角问题，熟记公式准确计算是关键，属于基础题 2、C 【解析】先找到 16384 与 32768 在第一行中的对应数字，进行相加运算，再找和对应第二行中的数字即可. 【详解】由已知可知，要计算 16384×32768，先查第一行的对应数字: 16384 对应 14，32768 对应 15，然后再把第一 行中的对应数字加起来：14＋15＝29，对应第二行中的 536870912， 所以有：16384×32768＝536870912, 故选 C. 【点睛】本题考查了指数运算的另外一种算法，关键是认真审题，理解题意，属于简单题. 3、A
1．已知向量 a 4, 3 ， b 1,5 3 ，则 a 与 b 的夹角为
A. 30
B. 45
C. 60
D. 90
2．在数学史上，一般认为对数的发明者是苏格兰数学家——纳皮尔（Napier，1550-1617 年）．在纳皮尔所处的年代，
哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科．可是由于当时常量数学的局限性，天文
【解析】将 BC1 平移到 AD1 ,则异面直线 AB1 与 BC1 所成的角等于 D1AB1 ,连接 D1B1 在 AD1B1 根据余弦定理易得
cos D1AB1
【详解】设正方体边长为 1，将 BC1 平移到 AD1 ,则异面直线 AB1 与 BC1 所成的角等于 D1AB1 ，连接 D1B1 ．则
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意： 1．请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0．5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答 案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共 10 小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
（1）求 A B ； （2）若 C A ，求实数 a 的取值范围.
20．（1）计算：
1
0.064 3
1 8
0
3
16 4
1
0.252
（2）若10n 2 ，10m 25 ，求 2n m 的值.
21．已知函数 f (x) x 1 .
（1）判断函数 f (x) 在 (0, ) 上的单调性，并用定义证明；
看看下面这个例子：
1 2 3 4 5 6 7 8 … 14
15
… 27
28
29
2 4 8 16 32 64 128 256 … 16384 32768 … 134217728 268435356 536870912
这两行数字之间的关系是极为明确的：第一行表示 2 的指数，第二行表示 2 的对应幂．如果我们要计算第二行中两个
④函数
f
(x)
sin
2 x
3
在区间
12
,
5 12
上是减函数
其中正确的命题是__________（填写所有正确命题的序号）
14．已知圆心为（1,1），经过点（4,5），则圆的标准方程为_____________________.
2
15．已知 y=f(x)是奇函数，当 x≥0 时， f x x3 ，则 f(-8)的值是____.
三、解答题（本大题共 6 小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16．已知函数
，不等式
的解集为
（1）求不等式
的解集；
（2）当 17．已函数
在
上具有单调性，求 的取值范围
.
（1）求 f(x)的最小正周期； （2）求 f(x)的单调递增区间. 18．某城市地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔 t（单
cos B 2sin B cos B 2sin B cos B sin 2B
cos C
sin 2B cos C
即 cos 2BcosC sin 2BsinC 0 ， cos2B C 0 ，
因为内角 B 、 C 都为锐角，则 90 2B C 180，故 2B C 90 ，即
2B 90 C ， sin 2B sin 90 C cosC ，所以 sin 2B cosC 0 .
6．已知函数 f x 的定义域为 R， f x 2 是偶函数， f 4 2 ， f x 在 , 2 上单调递增，则不等式
f 4x 1 2的解集为（）
A.
1 4
,
5 4
C ,1 17,
B.
,
1 4
5 4
பைடு நூலகம்
,
D. 1,17
7．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为 3、4、5，且它的 8 个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（
A.134217728
B.268435356
C.536870912
D.513765802
3．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 ，则异面直线 AB1 与 BC1 所成的角的余弦值为
A. 1
B. 3
2
2
C. 1
D. 3
4
4
4．已知函数
f
x
x 1 , x 0, ln x 1, x 0, 若方程
AD1 AB1 B1D1
2 ，所以
AD1B1
为等边三角形，所以
cos
D1 AB1
1 2
故选 A
【点睛】此题考查立体几何正方体异面直线问题，异面直线求夹角，将其中一条直线平移到与另外一条直线相交形成
的夹角即为异面直线夹角，属于简单题目
4、A
【解析】画出 f x 的图象，数形结合可得求出.
【详解】画出 f x 的图象
（1）求 p(t) 的表达式，并求当发车时间间隔为 6 分钟时，地铁的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为 Q 6 p(t) 3960 350 （元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收
t
益最大？每分钟的最大净收益为多少？
19．已知集合 A y y 2x , 1 x 2 ，集合 B x 1 lnx 2 ，集合 C x x2 3ax 2a2 0, a 0 .
f
x
m(m R)
恰有三个不同的实数解
a，b，c（ a
b
c ），则 a bc
的取值范围是（）.
A.
2,
2 e
B.e 1,2
C. 2,2e
D. e, 2
5．若直线 l 过点 2,3且倾角为 45，若直线 l 与 y 轴交于点 P ，则点 P 的坐标为（）
A. 1,0
B. 1,0
.C.0,1
D. 0,1
所以方程 f x mmR 恰有三个不同的实数解 a，b，c（ a b c ），
可知 m 的取值范围为 0,1 ，由题意可知 a b 2， 0 ln c 11，
所以 1 c 1，所以 2 a bc 2
e
e
故选：A.
5、C
【解析】利用直线过的定点和倾斜角写出直线的方程，求出与 y 轴的交点，得出答案
的扇形制作而成，设折扇的面积为
S1 ，圆面中剩余部分的面积为 S2
，当 S1
:
S2
3 时，折扇的圆心角的弧度数为（） 5
A.
2 3
C.
4
2 B.
3 5 D. 6
10．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）
A.6
B.8
C.12
D.18
二、填空题（本大题共 5 小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
（2）记函数 g(x) f (x) log2 x ，证明：函数 g(x) 在 (0, ) 上有唯一零点.
参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.） 1、C
【解析】利用夹角公式进行计算
【详解】由条件可知， a 42
1 4
,
5 4
.
故选：A
7、B 【解析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球 的表面积 【详解】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3，4，5，且它的 8 个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为： 9 16 25 5 2 ，
位：分钟）满足 2 t 20,t N .经测算，地铁载客量与发车时间间隔 t 相关，当10 t 20 时地铁为满载状态，载客
量为1300 人，当 2 t 10 时，载客量会减少，减少的人数与 10 t 的平方成正比，且发车时间间隔为 2 分钟时的载
客量为 660 人，记地铁载客量为 p(t) .
12．若函数 f (x) ax2 6x 1 在 (1,1) 内恰有一个零点，则实数 a 的取值范围为______
13．下列四个命题：
①函数
f
(x)
3sin
2x
4
与
g(x)
3
cos
2x
4
的图象相同；
②函数 f (x) sin4 x cos4 x 的最小正周期是 ；
③函数 f (x) 2x cos x 的图象关于直线 x 对称；
学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间．纳皮尔也是
当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜心研究大数字的计算技术，终于独立发明了对数．在那个时代，计
算多位数之间的乘积，还是十分复杂的运算，因此纳皮尔首先发明了一种计算特殊多位数之间乘积的方法．让我们来
数的乘积，可以通过第一行对应数字的和来实现.比如，计算 64×256 的值，就可以先查第一行的对应数字:64 对应 6，
256 对应 8，然后再把第一行中的对应数字加和起来：6＋8＝14；第一行中的 14，对应第二行中的 16384，所以有：64×256
＝16384,按照这样的方法计算：16384×32768=
所以球的半径为： 5 2 ；则这个球的表面积是： 4 (5 2 )2 50
2
2
故选： B
8、C
【解析】根据三角恒等变换及诱导公式化简变形即可.
【详解】将 tan B tan C 1 ，变形为 tan B 1 tan C 则
sin 2B
sin 2B
sin B
1
2sin2 B 1 cos 2B ，又 tan C sin C ，故 cos 2B sin C ，
【详解】∵ f x 2 是偶函数，∴函数 f x 关于 x 2 对称，∴ f 0 f 4 2 ，又∵ f x 在 , 2 上单调递
增，∴ f x 在 2, 单调递减，∴ f 4x 1 2可化为 0 4x 1 4 ，解得 1 x 5 ，∴不等式 f 4x 1 2解
4
4
集为
【详解】由三视图可得如下几何体 P ABC ：底面等腰直角三角形 ABC ，高为 4 的三棱锥，
故选：C. 9、C
【解析】设折扇的圆心角为 ，则圆面中剩余部分的圆心角为 2π α ，根据扇形的面积公式计算可得； 【详解】解：设折扇的圆心角为 ，则圆面中剩余部分的圆心角为 2π α ，圆的半径为 r ，依题意可得
1r2 2
1 2 r2
3 5
，解得
3 4
；
2
故选：C
10、A
【解析】由三视图还原几何体：底面等腰直角三角形 ABC ，高为 4 的三棱锥，应用棱锥的体积公式求体积即可.
【详解】直线 l 过点 2,3且倾角为 45，则直线方程为 y 3 1 x 2，化简得 y x 1
令 x 0 ，解得 y 1，点 P 的坐标为 0,1
故选：C 【点睛】本题考查点斜式直线方程的应用，考查学生计算能力，属于基础题 6、A
【解析】由题意判断出函数 f x 关于 x 2 对称，结合函数的对称性与单调性求解不等式.