7.4 热点题型三 基本不等式-2017年高考数学(理)热点+题型全突破含解析

热点题型三 基本不等式
【基础知识整合】
1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=
(1）调和平均数：12
111n
n
n
H a a a =
+++
（2）几何平均数:2
n
n
G
a =
(3）代数平均数：12n
n
a a a A
n
++
+=
（4)平方平均数：2n
n a Q n
+
+=
2、均值不等式：n
n n n H
G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：
12n a a a ==
=
特别的，当2n =时，2
2G A ≤⇒2
a
b
+≤
即基本不等式 3、基本不等式的几个变形：
（1)),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和
的项存在乘积为定值的情况
（2）2
2a b ab +⎛⎫
≤ ⎪
⎝⎭
:多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的
项存在和为定值的情况 （3）2
22a
b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出,但本
身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈
4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时,变形后的一侧不能
还含有核心变量，例如:当0,x >求2
3
y x x
=+
的最小值。

此时若直接使用均值不等式，则
2
3
y x x
=+
≥右侧依然含有，则无法找到最值。

① 求和的式子→乘积为定值。

例如：上式中2
4y x x
=+
为了乘积消掉,则要将3x
拆为两个2x
，则
22422y x x x x x =+
=++≥= ② 乘积的式子→和为定值，例如302
x <<，求()()32f x x x =-的最大值。

则考虑变积为和后保证能够消掉,所以
()()()2
112329
322322228
x x f x x x x x +-⎛⎫=-=⋅-≤= ⎪⎝⎭(3）等:若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点:
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。

5、常见求最值的题目类型
（1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子
(2)已知1ax by +=（为常数），求m n x
y
+的最值,
此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分
母(或分子）上，则可利用常数“1"将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项,然后利用均值不等式求解。

【典例1】【2014上海，理5】 若实数x,y 满足xy=1，则2
x +2
2y 的最小值为______________.
【答案】
【解析】
2
22x
y +≥==222x y =时
等号成立。

【考点】基本不等式。

【思路点拨】
1．活用几个重要的不等式
a 2＋
b 2≥2ab (a ，b ∈R ）；错误!＋错误!≥2（a ,b 同号）． ab ≤错误!2（a ，b ∈R ）；错误!2≤错误!(a ，b ∈R ）．
2．巧用“拆”“拼"“凑”
在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼"“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正"“定"“等”的条件． 【典例2】【2015高考陕西，理9】设()ln ,0f x x a b =<<，若
p f =,(
)2a b q f +=，1
(()())2
r f a f b =+，则下列关系式中正确的是( ）
A ．q r p =<
B ．q r p =>
C ．p r q =<
D ．p r q =>
【答案】C 【解析】(
)ln p f ab ab ==，(
)ln 22
a b a b
q f ++==，11
(()())ln ln 22
r f a f b ab ab =
+==，函数()ln f x x =在()0,+∞上单调递增,因为2a b ab +>，所以()()2
a b f f ab +>，所以q p r >=，故选C ．
【考点定位】1、基本不等式;2、基本初等函数的单调性． 【思路点拨】本题主要考查的是基本不等式和基本初等函数的单调性，属于容易题．解题时一定要注意检验在使用基本不等式求最值中是否能够取得等号，否则很容易出现错误．本题先判断2
a b +和
ab 的大小关系，再利用
基本初等函数的单调性即可比较大小． 【典例3】已知20a b >>，则4
(2)
a b a b +-的最小值为______________ 【答案】3
【思路点拨】
（1）和式中含有分式，则在使用均值不等式时要关注
分式分母的特点，并在变形的过程中倾向于各项乘积时能消去变量,从而利用均值不等式求解
（2)思路二体现了均值不等式的一个作用，即消元 （3）在思路二中连续使用两次均值不等式，若能取得最值，则需要两次等号成立的条件不冲突。

所以多次使用均值不等式时要注意对等号成立条件的检验 【典例4】已知1,0,0x y y x +=>≠，则1
21
x x y +
+的最小值是___________ 【答案】34
【思路点拨】本题考验学生对表达式特点的观察能力，其中两项的x 互为倒数为突破口，从而联想到均值不等式，在变形时才会奔着分子分母向消出定值的方向进行构造
【典例5】【2014湖北卷14】设()x f 是定义在()+∞,0上的函数，且()0>x f ,对任意0,0>>b a ，若经过点))(,(a f a ,))(,(b f b -的直线与轴的交点为()0,c ，则称为b a ,关于函数()x f 的平均
数，记为),(b a M f ，
例如，当())0(1>=x x f 时，可得2
),(b
a c
b a M f +==，即),(b a M
f
为b a ,的算术平均数.
(1）当())0_____(>=x x f 时，),(b a M f
为b a ,的几何平均数;
(2）当())0_____(>=x x f 时,),(b a M f 为b a ,的调和平均数
b
a ab
+2； (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）
【答案】(1）)0()(>=x x x f ；
（2))0()(>=x x x f . 【解析】
试题分析：设)0,()),(,()),(,(c C b f b B a f a A -，则三点共线： ①依题意，ab c =
，则
b
ab b f a
ab a f -+=
--)(0)(0，0,0>>b a ,化简得
b
b f a a f )()(=，
故可以选择)0()(>=x x x f 。

②依题意，b a ab
c +=
2，则b
b
a a
b b f a b a ab a f -++=-+-2)(02)(0，0,0>>b a ,化简得b
b f a a f )
()(=
， 故可以选择)0()(>=x x x f .
考点:两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等. 【思路点拨】以新定义为背景,以函数为依托，重点考查两个数的几何平均数与调和平均数，涉及构造函数，充分体现了函数思想在高中数学中的重要地位,其易错点有二，其一为不能正确理解题意,将新问题转化为所熟悉的数学问题;其二，不具备归纳、猜想、推理、传化等数学能力。

【一题多解】
【2014辽宁理16】对于0c >，当非零实数a ，b 满足
224240a ab b c -+-=,且使|2|a b +最大时，
345
a b c
-+的最小值为 。

【答案】2- 【解析】
2a b +取最大值时,321010c a c b ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩321010c a c b ⎧=⎪
⎪⎨
⎪=⎪⎩
当3210
10c
a c
b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22345210410510552222a b
c c c c c c c -+=-=-≥-， 当3210
10c a c b ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
3452
1041052105
0a b c c c
c c c -+==>，
综上可知当531,,2
4
2
c a b ===时，min
3452a b c ⎛⎫
-+=- ⎪
⎝⎭
当3210
10c
a c
b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,23452104105210510522a b
c c c c c c c ⎛-+==-≥-⎭， 当3210
10c a c b ⎧=⎪
⎪⎨
⎪=⎪⎩
3452
1041052105
0a b c c c
c c c -+==>, 综上可知当531,,2
4
2
c a b ===时，min
3452a b c ⎛⎫
-+=- ⎪
⎝⎭
考点:柯西不等式.
【思路点拨】本题考查柯西不等式、绝对值不等式、函数的最值等.解答本题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想,逐步转化成可用不等式的有关结论解答的情形。

本题属于能力题，是一道难题.在考查柯西不等式、绝对
值不等式、函数的最值等基础知识的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、转化与化归思想。

【变式训练】
1。

设1x >-，求函数(5)(2)1
x x y x ++=+的最小值为
_______________ 【答案】 【解析】
考虑将分式进行分离常数，(5)(2)4
151
1
x x y x x x ++==++
+++,使用均值不等式可得：()421591
y x x ≥+⋅+=+,等号成立条件为
4
111
x x x +=
⇒=+,所以最小值为 2.已知0,0x y >>，且115x y x
y
+++=,则x y +的最大值是________
【答案】4
3、已知实数,m n ，若0,0m n ≥≥，且1m n +=，则22
21
m n m n +++的最小值为（ ）
A 。

14
B.
415
C 。

18
D.
13
【答案】A 【解析】
本题可以直接代入消元解决,但运算较繁琐。

考虑对所求表达式先变形再求值，可用分离常数法将分式进行简
化。

2241
212121m n m n m n m n +=-+-++++++,结合分母可将条件1m n +=，变形为()()214m n +++=，进而利用均值不等式求出
最值
4、已知正实数,x y 满足3x y xy ++=，若对任意满足条件的
,x y ，都有2()()10x y a x y +-++≥恒成立,则实数的取值范围为
________ 【解析】
首先对恒成立不等式可进行参变分离，()1
a x y x y
≤+++。

进而只需求得()1
x y x y
++
+的最小值。

将x y +视为一个整体,将
学必求其心得，业必贵于专精 3x y xy ++=中的xy 利用均值不等式换成x y +，然后解出x y +的范围再求最小值即可 解：()21()
()10x y a x y a x y x y +-++≥⇒≤+++ ,0x y > 22x y xy +⎛⎫∴≤ ⎪⎝⎭ 232x y x y xy +⎛⎫∴++=≤ ⎪⎝⎭ ()()2412x y x y ∴++≤+
解得：6x y +≥或2x y +≤-(舍） ()min 1137666x y x y ⎡⎤∴++=+=⎢⎥+⎣
⎦ （在6x y +=时取得)
376a ∴≤。