2020年武汉市数学高二第二学期期末检测试题含解析

2020年武汉市数学高二第二学期期末检测试题
一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．若6234560123456(2)(1)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++，则2a = A ．10 B ．15 C ．30 D ．60
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
分析：由于()()()()()6
6
2
6
01
26666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ，与已知对比可得2a 的
值1．
详解：由于()()()()()6
6
2
6
0126666621111...1x x C C x C x C x +=++=+++++++ ，与已知
()
()()()()()()6
23456
01234562111111x a a x a x a x a x a x a x +=++++++++++++对比可得
22615.a C ==
故选B.
点睛：本题考查二项式定理的应用，观察分析得到6r
r a C =是关键，考查分析与转化的能力，属于中档题．
2．函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且为奇函数，若(1)2f =-，则满足2(21)2f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）
A ．[]22-,
B ．[]1,1-
C ．[]0,1
D ．[]1,2
【答案】C 【解析】 【分析】
先由函数是奇函数求出(1)2f -=，化原不等式为(1)(21)(1)≤-≤-f f x f ，再由函数的单调性，即可得出结果. 【详解】
因为()f x 为奇函数，若(1)2f =-，则(1)2f -=，
所以不等式2(21)2f x -≤-≤可化为(1)(21)(1)≤-≤-f f x f ， 又()f x 在(,)-∞+∞上单调递减， 所以1211-≤-≤x ，解得01x ≤≤. 故选C
本题主要考查由函数的单调性与奇偶性解不等式，熟记函数基本性质即可，属于常考题型. 3．某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：
使用智能手机 不使用智能手机 合计 学习成绩优秀 4 8 12 学习成绩不优秀 16 2 18 合计 20
10
30
附表：
20()P K k ≥
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k 2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
经计算210K =，则下列选项正确的是
A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响
B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响
C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响
D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】
根据附表可得2107.879K =>,所以有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响，选A
4．函数()y f x =的图象过原点且它的导函数()y f x '=的图象是如图所示的一条直线, 则()y f x =的图象的顶点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【答案】A 【解析】
设2
()(0)f x ax bx a =+≠，则()'2f x ax b =+，由图可知0,0a b <>，从而可得顶点2,24b b a a ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
在第一象限. 【详解】
因为函数()y f x =的图象过原点， 所以可设2
()(0)f x ax bx a =+≠，
()'2f x ax b =+，
由图可知0,0a b <>,
22
40,0244b ac b b a a a
--->=>， 则函数2
()(0)f x ax bx a =+≠的顶点2
,24b b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
在第一象限，故选A. 【点睛】
本题主要考查导数公式的应用，考查了直线与二次函数的图象与性质，属于中档题. 5．在极坐标中，为极点，曲线：
上两点
对应的极角分别为
，则
的面积为
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【解析】 【分析】
将、两点的极角代入曲线的极坐标方程，求出、
，将、的极角作差取绝对值得出
，
最后利用三角形的面积公式可求出的面积。

【详解】 依题意得：
、
，
，
所以，故选：A 。

【点睛】
本题考查利用极坐标求三角形的面积，理解极坐标中极径、极角的含义，体会数与形之间的关系，并充分
利用正弦、余弦定理以及三角形面积公式求解弦长、角度问题以及面积问题，能起到简化计算的作用。

6．在平面直角坐标系中，不等式组
(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足
上述约束条件，则z ＝的最小值为( )
A ．－1
B ．－
C ．
D ．－ 【答案】D 【解析】
作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知
，解得
．因为目标函数
表示区域内上的点与点连线的斜率加上1，由图知当区域内的点与点的连线
与圆相切时斜率最小．设切线方程为，即，则有，解得
或（舍），所以，故选D ．
7．命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是( ) A ．2,x x R e x ∀∈≤ B ．0
200,x x R e
x ∃∈>
C ．0
200,x x R e x ∃∈≤
D ．2,x x R e x ∀∈<
【答案】C 【解析】 【分析】
命题的否定：任意变存在，并对结论进行否定.
【详解】
命题的否定需要将限定词和结论同时否定，
题目中：∀为限定词，x ∈R 为条件，2e x x >为结论；而∀的否定为∃，2e x x >的否定为2x e x ≤， 所以2
,x
x R e x ∀∈>的否定为0
200,x x R e x ∃∈≤
故本题正确答案为C. 【点睛】
本题考查了命题的否定,属于简单题.
8．掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ） A ．
118
B ．
19
C ．
16
D ．
112
【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：掷两颗均匀的骰子，共有36种基本事件，点数之和为5的事件有（1,4），（2,3），（3,2），（4,1）这四种，因此所求概率为，选B ．
考点：概率问题 9．()6
2111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
展开式中2x 的系数为（） A ．15 B ．20
C ．30
D ．35
【答案】C 【解析】 【分析】
利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数. 【详解】
根据二项式定理展开式通项为1C r n r r r n T a b -+=
()()()666
22111111x x x x x ⎛⎫++=++⋅+ ⎪
⎝⎭
则()6
1x +展开式的通项为16r r
r T C x +=
则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的项为22446621C x C x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭
则()6
2111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选:C
【点睛】
本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.
10．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母都不与他相邻,则不同坐法的总数为（ ） A ．12 B ．36
C ．84
D ．96
【答案】B 【解析】 【分析】
记事件小明的父亲与小明相邻，事件小明的母亲与小明相邻，利用捆绑法计算出事件、事件、事件
的排法种数
、
、
，利用容斥原理可得出所求的坐法种数为
，于此可计算出所求坐法种数。

【详解】
记事件小明的父亲与小明相邻，事件小明的母亲与小明相邻，
对于事件，将小明与其父亲捆绑，形成一个元素，与其他四个元素进行排序， 则，同理可得
，
对于事件，将小明父母与小明三人进行捆绑，其中小明居于中间，形成一个元素，与其他两个元素
进行排序，则
，由容斥原理可知，所求的坐法种数为
，故选：B.
【点睛】
本题考查排列组合综合问题，考查捆绑法以及容斥原理的应用，解题时要合理利用分类讨论思想与总体淘汰法，考查逻辑推理能力，属于中等题。

11．函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（ ） A ．（－∞，2）
B ．（2，+∞）
C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）
D ．（－2，2）
【答案】D 【解析】
【分析】
根据偶函数的性质,求出函数()0f x <在(－∞，0]上的解集,再根据对称性即可得出答案. 【详解】
由函数()f x 为偶函数,所以()()220f f -==,又因为函数()f x 在(－∞，0]是减函数,所以函数
()0f x <在(－∞，0]上的解集为(]2,0-,由偶函数的性质图像关于y 轴对称,可得在(0,+ ∞)上()0f x <的解集为(0,2),综上可得,() 0f x <的解集为(-2,2).
故选:D. 【点睛】
本题考查了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题. 12．下列有关命题的说法正确的是( )
A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x≠1”
B ．“x＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件
C ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y”的逆否命题为真命题
D ．命题“∃x 0∈R 使得2
0010x x ++<”的否定是“∀x∈R，均有x 2＋x ＋1<0”
【答案】C 【解析】
命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x≠1”，A 不正确；由x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或6，因此“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，B 不正确；命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y”为真命题，其逆否命题为真命题，C 正确；命题“∃x 0∈R 使得2
0x ＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，D 不正确．综上可得只有C 正确．
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．曲线x y xe =在x=1处的切线方程是____________. 【答案】20ex y e --= 【解析】
分析：根据求导公式求出导数，再求出切线的斜率和切点的坐标，代入点斜式方程化为一般式即可. 详解：由题意得，x
x
y e xe ='+，
∴在1x =处的切线的斜率是2e ，且切点坐标是()1,e ，
则在1x =处的切线方程是：()21y e e x -=-， 即20ex y e --=.
故答案为：20ex y e --=.
点睛：1.对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握.2.对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解. 14．函数()2
1
40y x x x
=+>的最小值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】
对函数求导，然后判断单调性，再求出最小值即可． 【详解】
∵()2
140y x x x =+
>，∴21
8y x x
'=-（0x >）
， 令0y '>，解得12x >，令0y '<，解得1
02
x <<
即原函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
递增， 故1
2
x =
时取得最小值3，故答案为3. 【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，正确求导是解题的关键，属于基础题． 15．已知C 是以AB 为直径的半圆弧上的动点，O 为圆心，P 为OC 中点，若4AB =，则
(
)
PA PB PC +⋅=u u u v u u u v u u u v
__________．
【答案】2- 【解析】 【分析】
先用中点公式的向量式求出PA PB +u u u v u u u v
，再用数量积的定义求出()
PA PB PC +⋅u u u v u u u v u u u v 的值．
【详解】
2PA PB PO +=u u u v u u u v u u u v Q ，
()
2211cos1802PA PB PC PO PC ο∴+⋅=⋅=⨯⨯⨯=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v 【点睛】
本题主要考查向量中的中点公式应用以及数量积的定义．
16．设函数()y f x =的定义域为D ，若对于任意1x ，2x D ∈，当122x x a +=时，恒有12()()2f x f x b +=，
则称点(,)a b 为函数()y f x =图象的对称中心.研究函数()23cos()32
f x x x π
=+-的某一个对称中心，
并利用对称中心的上述定义，可得到1240344035
()()()()2018201820182018
f f f f ++++L 的值为_______________.
【答案】4035-. 【解析】 【分析】 【详解】
分析：根据题意知函数f （x ）图象的对称中心坐标为（1，﹣1），即x 1+x 2=2时，总有f （x 1）+f （x 2）=﹣2，再利用倒序相加，即可得到结果． 详解：
解：函数()2332
f x x cos x π
⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
， f （1）＝2﹣3＝﹣1， 当x 1+x 2＝2时，
f （x 1）+f （x 2）＝2x 1+2x 2+3cos （
2πx 1）+3cos （2
π
x 2）﹣6＝2×2+0﹣6＝﹣2， ∴f （x ）的对称中心为（1，﹣1）， ∴12403440352018201820182018f f f f ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L ＝f （
12018）+f （40352018）+f （22018）+f （40342018）+…+f （2018
2018
） ＝﹣2×（2017）﹣1 ＝﹣1． 故答案为﹣1．
点睛：这个题目考查了函数的对称性，一般()()f x a f a x +=-⇒ 函数的对称轴为a ，
()()f x a f a x +=--⇒ 函数的对称中心为（a,0）；
三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知函数()ln x m
f x x e +=-在1x =处有极值，求m 的值及()f x 的单调区间.
【答案】见解析. 【解析】
试题分析:由极值定义得()10f '=，解得1m =-，再根据导函数符号确定函数单调区间：当()0,1x ∈时，
()()0,?f x f x >'单调递增；当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减.
试题解析:()f x 的定义域为()0,+∞，()1x m
f x e x
+-'=， 由题意可得()1110m
f e
+'=-=，解得：1m =-，从而()1
1x f x e x
--'=
， 显然()f x '在()0,+∞上是减函数，且()10f '=，所以当()0,1x ∈时，()0,f x '>
()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()()0,f x f x '<单调递减. 故()f x 的单调增区间是()0,1，()f x 的单调减区间是()1,+∞ 18．已知函数()21f x x x =+--. （1）求不等式()2f x ≥的解集；
（2）若不等式()2
2f x m m ≥+的解集非空，求m 的取值范围．
【答案】（1）12x x ⎧
⎫
≥⎨⎬⎩⎭
；（2）{}31m m -≤≤ 【解析】 【分析】
将函数()21f x x x =+--写出分段函数形式，再分段解不等式。

不等式()2
2f x m m ≥+的解集非空即()2
max 2f x m m ≥+。

【详解】
(1)212x x +--≥
232x ≤-⎧⇒⎨-≥⎩或21212x x -<<⎧⎨+≥⎩或132x ≥⎧⎨≥⎩
⇒无解或21
12x x -<<⎧⎪
⎨≥⎪⎩或1x ≥
1
12
x ⇒
<<或1x ≥ 12
x ⇒≥
∴原不等式的解集为12x x ⎧
⎫≥
⎨⎬⎩
⎭
(2)若要()2
2f x m m ≥+的解集非空 只要()2
max 2f x m m ≥+即可
()()21213x x x x +--≤+--=Q
()max 3f x ∴=
故2223230m m m m +≤⇒+-≤
31m ⇒-≤≤
m ∴的取值范围为{}31m m -≤≤
【点睛】
本题考查含绝对值的不等式，考查逻辑推理能力与计算能力，属于基础题。

19．已知函数2()22ln (0)f x ax x x a =-++>
（1）若()f x 在其定义域上是单调增函数，求实数a 的取值集合；
（2）当38
a =时，函数()y f x =在[,)()n e n Z +∞∈有零点，求n 的最大值 【答案】（1）12a a ⎧
⎫≥
⎨⎬⎩⎭；（2）最大值为2- 【解析】
【分析】
（1）确定函数定义域，求导，导函数大于等于0恒成立，利用参数分离得到答案.
（2）当38a =
时，代入函数求导得到函数的单调区间，依次判断每个区间的零点情况，综合得到答案. 【详解】
解：（1）()f x 的定义域为()()10,,'220f x ax x +∞=+-≥在()0,∞+上恒成立，即 2112a x x
≥-即 12a ≥∴实数a 的取值集合是12a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩
⎭ （2）38a =时，()()()322'4x x f x x
--=，即()f x 在区间20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦和[)2,+∞单调增，()f x 在区间2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调减.
()f x 在2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭最小值为()2f 且()231ln 412242ln 2ln 20822
f -=⨯-++=-=> ()f x ∴在2,3
x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭上没有零点. ∴要想函数()f x 在)
(),n e n Z ⎡+∞∈⎣上有零点，并考虑到()f x 在区间20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调且 2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单减，只须23n e <且()0n f e ≤，易检验()1213108f e e e ---=••+> ()22423122ln 8f e e e e
--=•-+2213108e e ⎛⎫=•-< ⎪⎝⎭ 当2n ≤-时，且n Z ∈时均有()0n f e <，即函数()f x 在上有)()1,,n n e e e n Z -⎡⎤⎡⊂+∞∈⎣⎦⎣上有零点. n ∴的最大值为2-
【点睛】
本题考查了函数单调性，恒成立问题，参数分离法，零点问题，综合性强难度大，需要灵活运用导数各个
知识点.
20．已知函数()322124(2f x x mx m x m =+--为常数，且0m >)有极大值52
-，求m 的值． 【答案】1
【解析】
【分析】
求导，解出导数方程()0f x '=的两根，讨论导数在这两个点左右两边导数的符号，确定极大值点，再将极大值点代入函数解析式，可求出实数m 的值．
【详解】
()3221242
f x x mx m x =+--Q ，则()()()223232f x x mx m x m x m '=+-=-+， 令()0f x '=，得12m x =，2x m =-，0m >Q ，2m m ∴>-，列表如下：
所以，函数()y f x =在x m =-处取得极大值，即()3422
f m m -=
-=-，解得1m =． 【点睛】
本题考查利用导数求函数的极值，基本步骤如下： （1）求函数的定义域；（2）求导；（3）求极值点并判断导数在极值点附近的符号，确定极值点的属性；（4）将极值点代入函数解析式可求出极值．
21．已知圆22:(3)64M x y ++=圆心为M ，定点()3,0N ，动点A 在圆M 上，线段AN 的垂直平分线交线段MA 于点P ．
()1求动点P 的轨迹C 的方程；
()2若点Q 是曲线C 上一点，且60MQN ∠=︒，求QMN V 的面积．
【答案】()1221167x y +=；()2. 【解析】
【分析】
()1由已知||||PA PN =，故||||||||||8||PM PN PM PA MA MN +=+==>，即P 点轨迹是以M 、N 为
焦点的椭圆，根据4a =，3c =，27b =得出椭圆方程；
()2由()1知| |||28QM QN a +==，又因为60MQN ∠=︒，得出236MN =，进而求出28||||3
QM QN ⋅=
，算出面积即可. 【详解】 ()1由已知||||PA PN =，故||||||||||8||PM PN PM PA MA MN +=+==>
∴P 点轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆. 设其方程为22
221(0)x y a b a b
+=>> 则28a =即4a =，
又3c =，故21697b =-=．
∴点P 的轨迹C 的方程为：221167
x y +=． ()2由()1知| |||28QM QN a +==.①
又60MQN ∠=︒ ∴222
2cos 36QN QM QN MQN M N Q M +-⋅∠==.② 22-①②有28||||3
QM QN ⋅=，
∴1||||sin 23
QMN S QM QN MQN =⋅⋅∠=V ． 【点睛】
本题考查椭圆得方程求法，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题.
22．已知函数()2
ln f x x ax x =+-，a R ∈. （I ）若1a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；
（Ⅱ）若函数()f x 在[]1,3上是减函数，即()0f x '…在[]1,3上恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（Ⅰ）20x y -= （Ⅱ） 17,3⎛⎤-∞-
⎥⎝⎦
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，计算f （1），f′（1）的值，写出切线方程即可（2）求出函数的导数，根据函数的
单调性求出a 的范围即可.
【详解】
（1）当1a =时，2()ln f x x x x =+-， 所以1()21f x x x
'=+-， 所以(1)2f '=，又(1)2f =，
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为20x y -=； （2）因为函数f （x ）在[1，3]上是减函数， 所以2121()20x ax f x x a x x '
+-=+-=≤在[1，3]上恒成立， 令2
()21h x x ax =+-， 则 (1)0(3)0
h h ⎧⎨⎩„„，解得173a -„，故17,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦. 所以实数a 的取值范围17,3⎛⎤-∞-
⎥⎝⎦
. 【点睛】
本题主要考查了函数的单调性，函数的最值，导数的应用，恒成立问题，属于中档题.。