高考数学一轮总复习 第6章 不等式、推理与证明 第7节 数学归纳法课件 理 新人教版

(4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n
＝k＋1时，项数都增加了一项
()
(5)用数学归纳法证明等式“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，
验证n＝1时，左边式子应为1＋2＋22＋23
()
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
1．(易错题)用数学归纳法证明：
1 2×4
＋
1 4×6
＋
1 6×8
＋…＋
2n2n1＋2＝4nn＋1(n∈N*)．
证明
2．设 f(n)＝1＋12＋13＋…＋n1(n∈N*)．求证：f(1)＋f(2)＋… ＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
证明
已知函数f(x)＝ax－
3 2
x2的最大值不大于
1 6
，又当x∈
＋an＋1－1
＝a2n，求证：当n∈N*时，an＋1<an.
证明：(1)当 n＝1 时，∵a2 是 a22＋a2－1＝0 的负根， ∴a1>a2. (2)假设当 n＝k(k∈N*)时，ak＋1<ak， ∵ak2＋1－ak2＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)，ak＋1<ak≤0， ∴ak2＋1－ak2>0， 又∵ak＋2＋ak＋1＋1<－1＋(－1)＋1＝－1， ∴ak＋2－ak＋1<0，∴ak＋2<ak＋1，即当 n＝k＋1 时，命题成立． 由(1)(2)可知，当 n∈N*时，an＋1<an.
数学归纳法． 3．解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前
若干具体项，这是归纳、猜想的基础．否则将会做大量 无用功．
判断正误
(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成
立
()
(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明
(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用
() ()
时，
1＋212＋312＋…
＋k12＋k＋1 12<2－
1 k
＋
k＋1 12<2－1k＋kk1＋1＝2－1k＋1k－k＋1 1
＝2－k＋1 1命题成立． 由(1)(2)知原不等式在 n∈N*，n≥2 时均成立．
2．已知数列
a
n

，当n≥2时，an<－1，又a1＝0，a
2 n＋1
第七节
数学归纳法
k＋1
第一个值n0(n0∈N*)
1．用数学归纳法证明 12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2
＋…＋22＋12＝n2n32＋1时，由 n＝k 的假设到证明 n＝k
＋1 时，等式左边应添加的式子是
()
A．(k＋1)2＋2k2
B．(k＋1)2＋k2
C．(k＋1)2
D．13(k＋1)[2(k＋1)2＋1]
已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝a2n＋a1n－1，且an＞0， n∈N*. (1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．
解析
解析
解析：由n＝k到n＝k＋1时，左边增加(k＋1)2＋k2.
答案：B
2．(教材习题改编)用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1
＝
1－an＋2 1－a
(a≠1)”．当验证n＝1时，上式左端计算所得
为________．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ答案：1＋a＋a2
1．数学归纳法证题时初始值 n0 不一定是 1. 2．推证 n＝k＋1 时一定要用上 n＝k 时的假设，否则不是
14，12
时，f(x)≥18.
(1)求a的值；
(2)设0＜a1＜12，an＋1＝f(an)，n∈N*，证明：an＜n＋1 1.
解析
证明：(1)当 n＝2 时，1＋212＝54<2－12＝32，命题成立． (2)假设 n＝k 时命题成立，即
1＋212＋312＋…＋k12<2－1k.
当
n＝k＋1